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電位差を生じたレール上を動く金属棒と特殊相対論
=========================================================...
.. image :: chromel-railAndRod-01-t.png
上の図のようなレールと金属棒からなる系を考えます。
電池の電圧を $V$ 、回路を流れる電流を $I$ 、
レールの間隔を $L$ 、そのレールの間に掛かる上向きの磁束密...
棒の質量を $m$ 、抵抗を $R$ 、左向きの速度を $v$ とします。
この系がどんな振る舞いをするか、いろいろな立場で考えます。
特殊相対論以前の考え方
==========================
これからしたいことは、棒の運動速度 $v$ を時間 $t$ で表す...
すると、回路の方程式は $B \equiv |\bm{B}|$ として、
<tex>
V - BLv= R I \tag{##}
</tex>
です。この式は(起電力)=(抵抗損失)となっています。
右辺はいいですね?抵抗損失は(抵抗)×(電流)なので、 $RI...
起電力の方は、 $V$ だけでなく、金属棒が磁束密度中を動くこ...
生じる起電力 $BLv$ が加わっています。符号のチェックは、
棒が速く動く( $v$ が大きくなる)と、起電力がゼロに近づい...
ので、これでOKです。
また、棒の運動方程式は、重力加速度 $g$ 、動摩擦係数を $\m...
<tex>
m \dot{v}= BLI - \mu mg \tag{##}
</tex>
です。磁束密度 $B$ 中を電流 $I$ が流れると、長さ $L$ それ...
比例した力が生じるというものです。今回の場合、力は右に働...
それは、ローレンツ力 $\bm{F}=q(\bm{v} \times \bm{B})$ の...
確認できます。
さて、式 $(1)$ と式 $(2)$ を見てみると、
時間依存する未知量は棒の速度 $v$ と電流 $I$ だと分かりま...
解くには $I$ を消去するのが簡単そうです。やってみましょう。
式 $(2)$ より、
<tex>
I = \dfrac{m (\dot{v}+ \mu g)}{BL} \tag{##}
</tex>
となります。
これを式 $(1)$ に代入して、
<tex>
\dfrac{m R}{BL}\dot{v}= V - B L v - \dfrac{R \mu m g}{BL}...
</tex>
ここで、 $V-\dfrac{R \mu mg}{BL} \geq 0$ と仮定します [*]...
つまり棒は終端速度 $v=\dfrac{V}{BL} \left(1-\dfrac{R \mu ...
いつまでたっても、 $v \leq \dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{...
.. [*] この仮定が成り立たない時は、棒を駆動する電力が摩擦...
さて、これは変数分離形ですね。( $v$ の関数)=( $t$ の...
<tex>
\dfrac{1}{BL}\dfrac{\dfrac{dv}{dt}}{\dfrac{V}{BL} \left( ...
</tex>
初期条件として $t=0$ で、棒は静止している、つまり、 $v=0$...
不定積分として一時的に積分定数を持ち出すこともできますが、
ここは、定積分で求めることにします。
<tex>
\int_0^v \dfrac{1}{BL}\dfrac{dv}{\dfrac{V}{BL} \left( 1-\...
</tex>
と、このように実行すると、
<tex>
\log \left| \dfrac{\dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg...
</tex>
ここで、対数関数の引数の絶対値を外すのに少し考えなければ...
先ほど、 $v \leq \dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg}{...
どうやら、
<tex>
\log \left( \dfrac{\dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg...
</tex>
ということでよいようです。
さて、この両辺を指数関数の肩に乗せましょう。
すると、
<tex>
\dfrac{\dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg}{VBL} \righ...
</tex>
となります。これを $v$ について解いてやれば、
<tex>
v = \dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg}{VBL} \right) ...
</tex>
.. image :: chromel-railAndRod-02-t.png
確認のため、いろいろチェックしてみます。
まず、 $t=0$ の時に $v=0$ 、いいですね。
そして、十分時間がたつと、終端速度 $\dfrac{V}{BL} \left( ...
また、一番最初の棒が運動していない時、 $I_0 \equiv I(t=0)...
<tex>
m \dot{v} = \left( \dfrac{BLV}{R} - \mu mg \right)e^{-\df...
</tex>
より、
<tex>
m \dot{v}(t=0) = BLI_0 - \mu mg \tag{##}
</tex>
となり、式 $(2)$ と比較すれば、正しい結果であることが分か...
一応、 $I$ も確認しておくと、
<tex>
I &= \dfrac{m \dot{v} + \mu mg}{BL} \\
&= \left( \dfrac{V}{R} - \dfrac{\mu mg}{BL} \right) e^{...
</tex>
.. image :: chromel-railAndRod-03-t.png
と、このようになりました。
特殊相対論の見方(1)
=======================
ここで、見方を変えてみましょう。
慣性系を二つ考えます。一つは今まで考えてきた系( $x$ 系)...
もう一つは、棒の終端速度 $\bm{v}$ に一致する $z$ 方向への...
電磁場は二階のテンソルであり、反変テンソルとして表すと、
<tex>
f^{ik} =
\begin{pmatrix}
0 & \dfrac{E_x}{c}& \dfrac{E_y}{c}& \dfrac{E_z}{c} \\
\dfrac{- E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\
\dfrac{- E_y}{c} & -B_z & 0 & B_x \\
\dfrac{- E_z}{c} & B_y & -B_x & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ここで、座標変換を行うと、
<tex>
f^{\prime mn}(x^\prime) = \dfrac{\partial x^{\prime m}}{\...
</tex>
となります。
ここで、 $\dfrac{\partial x^{\prime m}}{\partial x^{i}} $...
今の式を行列で書くと、 $\beta \equiv \dfrac{v}{c}$ 、 $\t...
<tex>
\dfrac{\partial x^{\prime m}}{\partial x^{i}}
= A_{mi}
= \begin{pmatrix}
A_{00} & A_{01} &A_{02} & A_{03} \\
A_{10} & A_{11} &A_{12} & A_{13} \\
A_{20} & A_{21} &A_{22} & A_{23} \\
A_{30} & A_{31} &A_{32} & A_{33}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\theta & - \eta & 0 & 0 \\
- \eta & \theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
などとなります。
よって、式 $ (15) $ は、行列の積で書くと、
<tex>
f^{\prime mn}(x^\prime) &= \begin{pmatrix}
0 & \dfrac{E_x^\prime}{c}& \dfrac{E_y^\prime}{c}& \dfrac{...
\dfrac{- E_x^\prime}{c} & & B_z^\prime & -B_y^\prime \\
\dfrac{- E_y^\prime}{c} & -B_z^\prime & 0 & B_x^\prime \\
\dfrac{- E_z^\prime}{c} & B_y^\prime & -B_x^\prime & 0
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{\partial x^{\prime m}}{\partial x^{i}} f^{ik} \...
&=\begin{pmatrix}
A_{00} & A_{01} &A_{02} & A_{03} \\
A_{10} & A_{11} &A_{12} & A_{13} \\
A_{20} & A_{21} &A_{22} & A_{23} \\
A_{30} & A_{31} &A_{32} & A_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f_{00} & f_{01} &f_{02} & f_{03} \\
f_{10} & f_{11} &f_{12} & f_{13} \\
f_{20} & f_{21} &f_{22} & f_{23} \\
f_{30} & f_{31} &f_{32} & f_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A_{00} & A_{10} &A_{20} & A_{30} \\
A_{01} & A_{11} &A_{21} & A_{31} \\
A_{02} & A_{12} &A_{22} & A_{32} \\
A_{03} & A_{13} &A_{23} & A_{33}
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\theta & - \eta & 0 & 0 \\
- \eta & \theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & \dfrac{E_x}{c}& \dfrac{E_y}{c}& \dfrac{E_z}{c} \\
\dfrac{- E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\
\dfrac{- E_y}{c} & -B_z & 0 & B_x \\
\dfrac{- E_z}{c} & B_y & -B_x & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\theta & - \eta & 0 & 0 \\
- \eta & \theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
(\theta \eta - \theta \eta) \dfrac{E_x}{c} & (\theta^2 - ...
(-\theta^2 + \eta^2) \dfrac{E_x}{c} & (\theta \eta - \the...
- \theta \dfrac{E_y}{c} + \eta B_z & \eta \dfrac{E_y}{c...
- \theta \dfrac{E_z}{c} - \eta B_y & \eta \dfrac{E_z}{c...
\end{pmatrix} \\&=
\begin{pmatrix}
0 & \dfrac{E_x}{c} & \theta \dfrac{E_y}{c} -\eta B_z & \t...
\dfrac{-E_x}{c} & 0 & - \eta \dfrac{E_y}{c} + \theta B_z ...
- \theta \dfrac{E_y}{c} + \eta B_z & \eta \dfrac{E_y}{c...
- \theta \dfrac{E_z}{c} - \eta B_y & \eta \dfrac{E_z}{c...
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
となり、つまり、 $c^2=\dfrac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}$ 、 ...
<tex>
E_x^\prime &= E_x \\
E_y^\prime &= \dfrac{E_y - v B_z}{\sqrt{1-\beta^2}} \\
E_z^\prime &= \dfrac{E_z + v B_y}{\sqrt{1-\beta^2}} \\
H_x^\prime &= H_x \\
H_y^\prime &= \dfrac{H_y + v D_z}{\sqrt{1-\beta^2}} \\
H_z^\prime &= \dfrac{H_z - v D_y}{\sqrt{1-\beta^2}}
</tex>
となります。
この式の非相対論的極限は、 $x$ 系の電場 $\bm{E}$ 、磁束密...
とし、 $x^\prime$ 系の
電場 $\bm{E}^\prime$ 、磁束密度 $\bm{B}^\prime$ 、磁場 $\...
<tex>
\bm{E}^\prime = \bm{E} + \bm{v} \times \bm{B} \tag{##}
</tex>
<tex>
\bm{H}^\prime = \bm{H} - \bm{v} \times \bm{D} \tag{##}
</tex>
となります。式 $(17)$ より一番最初の配置では、磁束密度 $\...
また、式 $(18)$ より、電位差の付いたレールが作り出す電束...
磁場 $\bm{H}^\prime$ を打ち消す方向に働くようです。
ここで重要なことはなんでしょうか?それは、 $x^\prime$ 系...
ふるまいを調べるものは電子なので電場が打ち消される方が重...
つまり、起電力 $V-BLv=L(E-Bv)=RI$ が終端値 $RI_{end}=R\df...
金属棒は電流が手前から奥に少し流れているということで、右...
それが、摩擦力 $\mu mg $ とつりあっているのです。確かに、...
このとき、 $\bm{H}^\prime$ が減るということは、あまり問題...
この時、左方向への力は $\mu mg$ で一定、右方向への力は $B...
さて、何が変わったのか。図にしてみました。
.. image :: chromel-railAndRod-04-t.png
黒矢印は力、白抜き矢印は速度、赤矢印は電位差を表していま...
注目すべきは、 $x^\prime$ 系には速度 $\bm{v}$ に依存する...
棒も静止しており、レールとの摩擦力が起源の弱い電位差 $RI$...
レールが左へ動いているため、摩擦力が出てきます。
なかなか面白いですね。
特殊相対論の見方(2)
========================
次に金属棒中の電子が流れている速度 $v_e$ で動いている慣性...
少し定性的な話になります。
バルクの金属はプラスに荷電したイオンが格子を成していて、...
電子が静止する座標で考えると、イオン格子は速度を持ちます。
すると、ごく少しローレンツ収縮が起きるのです。
つまり、電子の間隔はそのままイオン格子が収縮すると、
棒はプラスに電荷を帯びます。それが棒の手前から奥に向けて...
この場合、収縮はわずかですが、イオンが密集しているので、...
この描像では、式 $(17)$ 、式 $(18)$ の助けは借りません。
変化がごくわずかだからです。
注目すべきは、電流が電子の移動だった $ x $ 系に比べ、
今度は、電流がイオンの格子の運動に置き換えられた点です。
ふぅ、久々に長文を書いた気がします。
それでは皆様、お疲れ様でした。今日はこの辺で。
@@reference: 川村清,「岩波基礎物理シリーズ3」電磁気学, ...
@@reference: 佐藤勝彦,「岩波基礎物理シリーズ9」相対性理...
@@author:クロメル@@
@@accept:2012-06-10@@
@@category:電磁気学@@
@@id:railAndRod@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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電位差を生じたレール上を動く金属棒と特殊相対論
=========================================================...
.. image :: chromel-railAndRod-01-t.png
上の図のようなレールと金属棒からなる系を考えます。
電池の電圧を $V$ 、回路を流れる電流を $I$ 、
レールの間隔を $L$ 、そのレールの間に掛かる上向きの磁束密...
棒の質量を $m$ 、抵抗を $R$ 、左向きの速度を $v$ とします。
この系がどんな振る舞いをするか、いろいろな立場で考えます。
特殊相対論以前の考え方
==========================
これからしたいことは、棒の運動速度 $v$ を時間 $t$ で表す...
すると、回路の方程式は $B \equiv |\bm{B}|$ として、
<tex>
V - BLv= R I \tag{##}
</tex>
です。この式は(起電力)=(抵抗損失)となっています。
右辺はいいですね?抵抗損失は(抵抗)×(電流)なので、 $RI...
起電力の方は、 $V$ だけでなく、金属棒が磁束密度中を動くこ...
生じる起電力 $BLv$ が加わっています。符号のチェックは、
棒が速く動く( $v$ が大きくなる)と、起電力がゼロに近づい...
ので、これでOKです。
また、棒の運動方程式は、重力加速度 $g$ 、動摩擦係数を $\m...
<tex>
m \dot{v}= BLI - \mu mg \tag{##}
</tex>
です。磁束密度 $B$ 中を電流 $I$ が流れると、長さ $L$ それ...
比例した力が生じるというものです。今回の場合、力は右に働...
それは、ローレンツ力 $\bm{F}=q(\bm{v} \times \bm{B})$ の...
確認できます。
さて、式 $(1)$ と式 $(2)$ を見てみると、
時間依存する未知量は棒の速度 $v$ と電流 $I$ だと分かりま...
解くには $I$ を消去するのが簡単そうです。やってみましょう。
式 $(2)$ より、
<tex>
I = \dfrac{m (\dot{v}+ \mu g)}{BL} \tag{##}
</tex>
となります。
これを式 $(1)$ に代入して、
<tex>
\dfrac{m R}{BL}\dot{v}= V - B L v - \dfrac{R \mu m g}{BL}...
</tex>
ここで、 $V-\dfrac{R \mu mg}{BL} \geq 0$ と仮定します [*]...
つまり棒は終端速度 $v=\dfrac{V}{BL} \left(1-\dfrac{R \mu ...
いつまでたっても、 $v \leq \dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{...
.. [*] この仮定が成り立たない時は、棒を駆動する電力が摩擦...
さて、これは変数分離形ですね。( $v$ の関数)=( $t$ の...
<tex>
\dfrac{1}{BL}\dfrac{\dfrac{dv}{dt}}{\dfrac{V}{BL} \left( ...
</tex>
初期条件として $t=0$ で、棒は静止している、つまり、 $v=0$...
不定積分として一時的に積分定数を持ち出すこともできますが、
ここは、定積分で求めることにします。
<tex>
\int_0^v \dfrac{1}{BL}\dfrac{dv}{\dfrac{V}{BL} \left( 1-\...
</tex>
と、このように実行すると、
<tex>
\log \left| \dfrac{\dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg...
</tex>
ここで、対数関数の引数の絶対値を外すのに少し考えなければ...
先ほど、 $v \leq \dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg}{...
どうやら、
<tex>
\log \left( \dfrac{\dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg...
</tex>
ということでよいようです。
さて、この両辺を指数関数の肩に乗せましょう。
すると、
<tex>
\dfrac{\dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg}{VBL} \righ...
</tex>
となります。これを $v$ について解いてやれば、
<tex>
v = \dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg}{VBL} \right) ...
</tex>
.. image :: chromel-railAndRod-02-t.png
確認のため、いろいろチェックしてみます。
まず、 $t=0$ の時に $v=0$ 、いいですね。
そして、十分時間がたつと、終端速度 $\dfrac{V}{BL} \left( ...
また、一番最初の棒が運動していない時、 $I_0 \equiv I(t=0)...
<tex>
m \dot{v} = \left( \dfrac{BLV}{R} - \mu mg \right)e^{-\df...
</tex>
より、
<tex>
m \dot{v}(t=0) = BLI_0 - \mu mg \tag{##}
</tex>
となり、式 $(2)$ と比較すれば、正しい結果であることが分か...
一応、 $I$ も確認しておくと、
<tex>
I &= \dfrac{m \dot{v} + \mu mg}{BL} \\
&= \left( \dfrac{V}{R} - \dfrac{\mu mg}{BL} \right) e^{...
</tex>
.. image :: chromel-railAndRod-03-t.png
と、このようになりました。
特殊相対論の見方(1)
=======================
ここで、見方を変えてみましょう。
慣性系を二つ考えます。一つは今まで考えてきた系( $x$ 系)...
もう一つは、棒の終端速度 $\bm{v}$ に一致する $z$ 方向への...
電磁場は二階のテンソルであり、反変テンソルとして表すと、
<tex>
f^{ik} =
\begin{pmatrix}
0 & \dfrac{E_x}{c}& \dfrac{E_y}{c}& \dfrac{E_z}{c} \\
\dfrac{- E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\
\dfrac{- E_y}{c} & -B_z & 0 & B_x \\
\dfrac{- E_z}{c} & B_y & -B_x & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ここで、座標変換を行うと、
<tex>
f^{\prime mn}(x^\prime) = \dfrac{\partial x^{\prime m}}{\...
</tex>
となります。
ここで、 $\dfrac{\partial x^{\prime m}}{\partial x^{i}} $...
今の式を行列で書くと、 $\beta \equiv \dfrac{v}{c}$ 、 $\t...
<tex>
\dfrac{\partial x^{\prime m}}{\partial x^{i}}
= A_{mi}
= \begin{pmatrix}
A_{00} & A_{01} &A_{02} & A_{03} \\
A_{10} & A_{11} &A_{12} & A_{13} \\
A_{20} & A_{21} &A_{22} & A_{23} \\
A_{30} & A_{31} &A_{32} & A_{33}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\theta & - \eta & 0 & 0 \\
- \eta & \theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
などとなります。
よって、式 $ (15) $ は、行列の積で書くと、
<tex>
f^{\prime mn}(x^\prime) &= \begin{pmatrix}
0 & \dfrac{E_x^\prime}{c}& \dfrac{E_y^\prime}{c}& \dfrac{...
\dfrac{- E_x^\prime}{c} & & B_z^\prime & -B_y^\prime \\
\dfrac{- E_y^\prime}{c} & -B_z^\prime & 0 & B_x^\prime \\
\dfrac{- E_z^\prime}{c} & B_y^\prime & -B_x^\prime & 0
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{\partial x^{\prime m}}{\partial x^{i}} f^{ik} \...
&=\begin{pmatrix}
A_{00} & A_{01} &A_{02} & A_{03} \\
A_{10} & A_{11} &A_{12} & A_{13} \\
A_{20} & A_{21} &A_{22} & A_{23} \\
A_{30} & A_{31} &A_{32} & A_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f_{00} & f_{01} &f_{02} & f_{03} \\
f_{10} & f_{11} &f_{12} & f_{13} \\
f_{20} & f_{21} &f_{22} & f_{23} \\
f_{30} & f_{31} &f_{32} & f_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A_{00} & A_{10} &A_{20} & A_{30} \\
A_{01} & A_{11} &A_{21} & A_{31} \\
A_{02} & A_{12} &A_{22} & A_{32} \\
A_{03} & A_{13} &A_{23} & A_{33}
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\theta & - \eta & 0 & 0 \\
- \eta & \theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & \dfrac{E_x}{c}& \dfrac{E_y}{c}& \dfrac{E_z}{c} \\
\dfrac{- E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\
\dfrac{- E_y}{c} & -B_z & 0 & B_x \\
\dfrac{- E_z}{c} & B_y & -B_x & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\theta & - \eta & 0 & 0 \\
- \eta & \theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
(\theta \eta - \theta \eta) \dfrac{E_x}{c} & (\theta^2 - ...
(-\theta^2 + \eta^2) \dfrac{E_x}{c} & (\theta \eta - \the...
- \theta \dfrac{E_y}{c} + \eta B_z & \eta \dfrac{E_y}{c...
- \theta \dfrac{E_z}{c} - \eta B_y & \eta \dfrac{E_z}{c...
\end{pmatrix} \\&=
\begin{pmatrix}
0 & \dfrac{E_x}{c} & \theta \dfrac{E_y}{c} -\eta B_z & \t...
\dfrac{-E_x}{c} & 0 & - \eta \dfrac{E_y}{c} + \theta B_z ...
- \theta \dfrac{E_y}{c} + \eta B_z & \eta \dfrac{E_y}{c...
- \theta \dfrac{E_z}{c} - \eta B_y & \eta \dfrac{E_z}{c...
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
となり、つまり、 $c^2=\dfrac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}$ 、 ...
<tex>
E_x^\prime &= E_x \\
E_y^\prime &= \dfrac{E_y - v B_z}{\sqrt{1-\beta^2}} \\
E_z^\prime &= \dfrac{E_z + v B_y}{\sqrt{1-\beta^2}} \\
H_x^\prime &= H_x \\
H_y^\prime &= \dfrac{H_y + v D_z}{\sqrt{1-\beta^2}} \\
H_z^\prime &= \dfrac{H_z - v D_y}{\sqrt{1-\beta^2}}
</tex>
となります。
この式の非相対論的極限は、 $x$ 系の電場 $\bm{E}$ 、磁束密...
とし、 $x^\prime$ 系の
電場 $\bm{E}^\prime$ 、磁束密度 $\bm{B}^\prime$ 、磁場 $\...
<tex>
\bm{E}^\prime = \bm{E} + \bm{v} \times \bm{B} \tag{##}
</tex>
<tex>
\bm{H}^\prime = \bm{H} - \bm{v} \times \bm{D} \tag{##}
</tex>
となります。式 $(17)$ より一番最初の配置では、磁束密度 $\...
また、式 $(18)$ より、電位差の付いたレールが作り出す電束...
磁場 $\bm{H}^\prime$ を打ち消す方向に働くようです。
ここで重要なことはなんでしょうか?それは、 $x^\prime$ 系...
ふるまいを調べるものは電子なので電場が打ち消される方が重...
つまり、起電力 $V-BLv=L(E-Bv)=RI$ が終端値 $RI_{end}=R\df...
金属棒は電流が手前から奥に少し流れているということで、右...
それが、摩擦力 $\mu mg $ とつりあっているのです。確かに、...
このとき、 $\bm{H}^\prime$ が減るということは、あまり問題...
この時、左方向への力は $\mu mg$ で一定、右方向への力は $B...
さて、何が変わったのか。図にしてみました。
.. image :: chromel-railAndRod-04-t.png
黒矢印は力、白抜き矢印は速度、赤矢印は電位差を表していま...
注目すべきは、 $x^\prime$ 系には速度 $\bm{v}$ に依存する...
棒も静止しており、レールとの摩擦力が起源の弱い電位差 $RI$...
レールが左へ動いているため、摩擦力が出てきます。
なかなか面白いですね。
特殊相対論の見方(2)
========================
次に金属棒中の電子が流れている速度 $v_e$ で動いている慣性...
少し定性的な話になります。
バルクの金属はプラスに荷電したイオンが格子を成していて、...
電子が静止する座標で考えると、イオン格子は速度を持ちます。
すると、ごく少しローレンツ収縮が起きるのです。
つまり、電子の間隔はそのままイオン格子が収縮すると、
棒はプラスに電荷を帯びます。それが棒の手前から奥に向けて...
この場合、収縮はわずかですが、イオンが密集しているので、...
この描像では、式 $(17)$ 、式 $(18)$ の助けは借りません。
変化がごくわずかだからです。
注目すべきは、電流が電子の移動だった $ x $ 系に比べ、
今度は、電流がイオンの格子の運動に置き換えられた点です。
ふぅ、久々に長文を書いた気がします。
それでは皆様、お疲れ様でした。今日はこの辺で。
@@reference: 川村清,「岩波基礎物理シリーズ3」電磁気学, ...
@@reference: 佐藤勝彦,「岩波基礎物理シリーズ9」相対性理...
@@author:クロメル@@
@@accept:2012-06-10@@
@@category:電磁気学@@
@@id:railAndRod@@
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