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#rst2hooktail_source
=========================================================...
点と面の距離(非正方行列の逆行列についての一つの提案)
=========================================================...
正方行列でない行列の逆行列とは、どんなものか。という疑問...
注意として、世間一般で言われるランクがnより小さいn次正方...
2つのベクトルの張る平面
===========================
三次元空間内で、
原点を通る二本のベクトル $\bm{a}=(a_1,a_2,a_3)^T$ [*]_ ...
張られる平面 $(x,y,z)^T=s\bm{a}+t\bm{b}$ と、点P $\bm{r}=...
との距離 $X$ が最短距離を示す時の $s$ と $t$ の値を求めま...
つまり、
.. [*] 右上の $ T $ は、転置を表します。
<tex>
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2 \\
a_3 & b_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
s \\
t
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1 \\
z_1
\end{pmatrix}
\leftrightarrow
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
が最も近づく時を考えます。
それには、距離 $X^2$ が最小値を取る時を考えればよいです。
つまりは、 $s,t$ の二次式なので、平方完成を行います。
実際に計算してみると、
<tex>
X^2 &= (x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2 \\
&= (a_1s+b_1t-x_0)^2+(a_2s+b_2t-y_0)^2+(a_3s+b_3t-z_0)^2 \\
&= (a_1^2+a_2^2+a_3^2)s^2+2(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)st+(b_1^...
&- 2(a_1x_0+a_2y_0+a_3z_0)s- 2(b_1x_0+b_2y_0+b_3z_0)t+(x_...
&= |\bm{a}|^2s^2+2\bm{a}\cdot\bm{b}st+|\bm{b}|^2t^2-2\bm{...
&\equiv \alpha s^2+ 2 \beta st + \gamma t^2 - 2 \delta s ...
</tex>
最後の行で、ギリシャ文字 $\alpha,\beta, \cdots ,\zeta$ を...
順番に、アルファ、ベータ、ガンマ、デルタ、イプシロン、ゼ...
さらに計算を続けると、
<tex>
X^2 &= \alpha s^2+ 2 \beta st + \gamma t^2 - 2 \delta s -...
&= \alpha(s+\frac{\beta t -\delta}{\alpha})^2-\frac{(\bet...
&= \alpha(s+\frac{\beta t -\delta}{\alpha})^2+(\gamma -\f...
-\varepsilon)t+\zeta -\frac{\delta^2}{\alpha} \\
&= \alpha(s+\frac{\beta t -\delta}{\alpha})^2+(\gamma -\f...
\left( t+\dfrac{\dfrac{\beta \delta}{\alpha}-\varepsilon}...
\zeta -\frac{\delta^2}{\alpha}- \dfrac{(\dfrac{\beta \del...
{\gamma - \dfrac{\beta^2}{\alpha}} \\
&= \alpha(s+\frac{\beta t -\delta}{\alpha})^2 + (t+\frac{...
+\zeta-\frac{\delta^2(\alpha \gamma-\beta^2)}{\alpha (\al...
-\frac{\beta^2 \delta^2 - 2 \alpha \beta \delta \varepsil...
&= \alpha(s+\frac{\beta t -\delta}{\alpha})^2 + (t+\frac{...
+\zeta-\frac{\alpha \varepsilon^2 -2 \beta \delta \vareps...
</tex>
と、この様になります。
最後の行の最初から二つの項は $\theta$ をベクトル $\bm{a}$...
sとtの決定
===================
ここで、 $s$ と $t$ を決定する(二乗内の値をゼロにする)...
<tex>
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta \\
0 & \alpha \gamma - \beta^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
s \\
t
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\delta \\
\varepsilon \alpha - \beta \delta
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
逆に解いて、
<tex>
\begin{pmatrix}
s \\
t
\end{pmatrix}
&=
\frac{1}{\alpha(\alpha \gamma - \beta^2)}
\begin{pmatrix}
\alpha \gamma - \beta^2 & - \beta \\
0 & \alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\delta \\
\varepsilon \alpha - \beta \delta
\end{pmatrix} \\
&=
\frac{1}{\alpha(\alpha \gamma - \beta^2)}
\begin{pmatrix}
(\alpha \gamma - \beta^2)\delta
- (\varepsilon \alpha - \beta \delta)\beta \\
\alpha(\varepsilon \alpha - \beta \delta)
\end{pmatrix} \\
&=
\frac{1}{\alpha \gamma - \beta^2}
\begin{pmatrix}
\gamma\delta - \beta \varepsilon \\
\alpha \varepsilon - \beta \delta
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
ベクトルでの表記
=====================
ここから、ベクトルを使って表現することにします。
<tex>
\begin{pmatrix}
s \\
t
\end{pmatrix}
&=
\frac{1}{|\bm{a} \times \bm{b}|^2}
\begin{pmatrix}
|\bm{b}|^2(\bm{a} \cdot \bm{r})-(\bm{a}\cdot \bm{b})(\bm{...
|\bm{a}|^2(\bm{b} \cdot \bm{r})-(\bm{b}\cdot \bm{a})(\bm{...
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
ここで、ベクトルの演算を練習しておきます。スカラー三重積...
<tex>
\bm{a} \cdot (\bm{b} \times \bm{c}) =
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{vmatrix}
=(\bm{a} \times \bm{b}) \cdot \bm{c}
\tag{##}
</tex>
と言うように、スカラー積とベクトル積の入れ替えができます。
そして、ベクトル三重積は、
<tex>
(\bm{a} \times \bm{b}) \times \bm{c}=\bm{b}(\bm{a} \cdot ...
\tag{##}
</tex>
ですから、これと新たなベクトル $\bm{d}$ とのスカラー積を...
<tex>
(\bm{a} \times \bm{b}) \times \bm{c} \cdot \bm{d} =(\bm{a...
\tag{##}
</tex>
これと、式( $6$ )の右辺の上段を見比べて、
<tex>
(\bm{b} \cdot \bm{b})(\bm{a} \cdot \bm{r}) - (\bm{b} \cdo...
(\bm{b} \times \bm{a}) \times \bm{b} \cdot \bm{r}
\tag{##}
</tex>
下段は、これの $\bm{a}$ と $\bm{b}$ を入れ替えたものだか...
<tex>
\begin{pmatrix}
s \\
t
\end{pmatrix}
&=
\frac{1}{|\bm{a} \times \bm{b}|^2}
\begin{pmatrix}
(\bm{b} \times \bm{a}) \times \bm{b} \cdot \bm{r} \\
(\bm{a} \times \bm{b}) \times \bm{a} \cdot \bm{r}
\end{pmatrix} \\
&=
\frac{1}{|\bm{a} \times \bm{b}|^2}
\begin{pmatrix}
-(\bm{a} \times \bm{b}) \times \bm{b} \cdot \bm{r} \\
(\bm{a} \times \bm{b}) \times \bm{a} \cdot \bm{r}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。そして、
<tex>
\bm{p} \equiv
\bm{a} \times \bm{b} =
\begin{pmatrix}
a_2b_3-a_3b_2 \\
a_3b_1-a_1b_3 \\
a_1b_2-a_2b_1
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
l \\
m \\
n
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
であります。
ここで、もう一つの外積の行列での表現、
<tex>
-\bm{p} \times \bm{b} =
-
\begin{pmatrix}
0 & -n & m \\
n & 0 & -l \\
-m & l & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
を用います。これは、三次元の列ベクトルなので、 $\bm{r}$ ...
転置します。
<tex>
-\bm{p} \times \bm{b} \cdot \bm{r} &=
-
\begin{pmatrix}
b_1 & b_2 & b_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & n & -m \\
-n & 0 & l \\
m & -l & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
b_1 & b_2 & b_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -n & m \\
n & 0 & -l \\
-m & l & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
式 $(6)$ の下段は、同様に $\bm{a}$ と $\bm{b}$ を入れ替え...
以上をまとめて書けば、
<tex>
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2 \\
a_3 & b_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
s \\
t
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1 \\
z_1
\end{pmatrix}
\leftrightarrow
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
の距離が最小になる解は、
<tex>
\begin{pmatrix}
s \\
t
\end{pmatrix}
&=
\frac{1}{|\bm{a} \times \bm{b}|^2}
\begin{pmatrix}
-(\bm{a} \times \bm{b}) \times \bm{b} \cdot \bm{r} \\
(\bm{a} \times \bm{b}) \times \bm{a} \cdot \bm{r}
\end{pmatrix} \\
&=
\frac{1}{|\bm{a} \times \bm{b}|^2}
\begin{pmatrix}
b_1 & b_2 & b_3 \\
-a_1 & -a_2 & -a_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -n & m \\
n & 0 & -l \\
-m & l & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
ただし、
<tex>
\begin{pmatrix}
l \\
m \\
n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_2b_3-a_3b_2 \\
a_3b_1-a_1b_3 \\
a_1b_2-a_2b_1
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
であり、その時の最短距離 $X^2$ は、式 $(3)$ の一番最後の...
<tex>
X^2 &= \zeta-\frac{\alpha \varepsilon^2 -2 \beta \delta \...
&= |\bm{r}^2|-\frac{|\bm{a}|^2(\bm{b} \cdot \bm{r})^2-2(\...
+|\bm{b}|^2(\bm{a} \cdot \bm{r})^2}{|\bm{a} \times \bm{b}...
</tex>
となります。以上でこの記事は終わりです。
これより次元が高い場合も、いつか計算してみたいです。
それでは、今日はこの辺で。
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-12-28@@
@@category:物理数学@@
@@id:inverseOfNonSquareMatrix@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
点と面の距離(非正方行列の逆行列についての一つの提案)
=========================================================...
正方行列でない行列の逆行列とは、どんなものか。という疑問...
注意として、世間一般で言われるランクがnより小さいn次正方...
2つのベクトルの張る平面
===========================
三次元空間内で、
原点を通る二本のベクトル $\bm{a}=(a_1,a_2,a_3)^T$ [*]_ ...
張られる平面 $(x,y,z)^T=s\bm{a}+t\bm{b}$ と、点P $\bm{r}=...
との距離 $X$ が最短距離を示す時の $s$ と $t$ の値を求めま...
つまり、
.. [*] 右上の $ T $ は、転置を表します。
<tex>
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2 \\
a_3 & b_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
s \\
t
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1 \\
z_1
\end{pmatrix}
\leftrightarrow
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
が最も近づく時を考えます。
それには、距離 $X^2$ が最小値を取る時を考えればよいです。
つまりは、 $s,t$ の二次式なので、平方完成を行います。
実際に計算してみると、
<tex>
X^2 &= (x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2 \\
&= (a_1s+b_1t-x_0)^2+(a_2s+b_2t-y_0)^2+(a_3s+b_3t-z_0)^2 \\
&= (a_1^2+a_2^2+a_3^2)s^2+2(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)st+(b_1^...
&- 2(a_1x_0+a_2y_0+a_3z_0)s- 2(b_1x_0+b_2y_0+b_3z_0)t+(x_...
&= |\bm{a}|^2s^2+2\bm{a}\cdot\bm{b}st+|\bm{b}|^2t^2-2\bm{...
&\equiv \alpha s^2+ 2 \beta st + \gamma t^2 - 2 \delta s ...
</tex>
最後の行で、ギリシャ文字 $\alpha,\beta, \cdots ,\zeta$ を...
順番に、アルファ、ベータ、ガンマ、デルタ、イプシロン、ゼ...
さらに計算を続けると、
<tex>
X^2 &= \alpha s^2+ 2 \beta st + \gamma t^2 - 2 \delta s -...
&= \alpha(s+\frac{\beta t -\delta}{\alpha})^2-\frac{(\bet...
&= \alpha(s+\frac{\beta t -\delta}{\alpha})^2+(\gamma -\f...
-\varepsilon)t+\zeta -\frac{\delta^2}{\alpha} \\
&= \alpha(s+\frac{\beta t -\delta}{\alpha})^2+(\gamma -\f...
\left( t+\dfrac{\dfrac{\beta \delta}{\alpha}-\varepsilon}...
\zeta -\frac{\delta^2}{\alpha}- \dfrac{(\dfrac{\beta \del...
{\gamma - \dfrac{\beta^2}{\alpha}} \\
&= \alpha(s+\frac{\beta t -\delta}{\alpha})^2 + (t+\frac{...
+\zeta-\frac{\delta^2(\alpha \gamma-\beta^2)}{\alpha (\al...
-\frac{\beta^2 \delta^2 - 2 \alpha \beta \delta \varepsil...
&= \alpha(s+\frac{\beta t -\delta}{\alpha})^2 + (t+\frac{...
+\zeta-\frac{\alpha \varepsilon^2 -2 \beta \delta \vareps...
</tex>
と、この様になります。
最後の行の最初から二つの項は $\theta$ をベクトル $\bm{a}$...
sとtの決定
===================
ここで、 $s$ と $t$ を決定する(二乗内の値をゼロにする)...
<tex>
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta \\
0 & \alpha \gamma - \beta^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
s \\
t
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\delta \\
\varepsilon \alpha - \beta \delta
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
逆に解いて、
<tex>
\begin{pmatrix}
s \\
t
\end{pmatrix}
&=
\frac{1}{\alpha(\alpha \gamma - \beta^2)}
\begin{pmatrix}
\alpha \gamma - \beta^2 & - \beta \\
0 & \alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\delta \\
\varepsilon \alpha - \beta \delta
\end{pmatrix} \\
&=
\frac{1}{\alpha(\alpha \gamma - \beta^2)}
\begin{pmatrix}
(\alpha \gamma - \beta^2)\delta
- (\varepsilon \alpha - \beta \delta)\beta \\
\alpha(\varepsilon \alpha - \beta \delta)
\end{pmatrix} \\
&=
\frac{1}{\alpha \gamma - \beta^2}
\begin{pmatrix}
\gamma\delta - \beta \varepsilon \\
\alpha \varepsilon - \beta \delta
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
ベクトルでの表記
=====================
ここから、ベクトルを使って表現することにします。
<tex>
\begin{pmatrix}
s \\
t
\end{pmatrix}
&=
\frac{1}{|\bm{a} \times \bm{b}|^2}
\begin{pmatrix}
|\bm{b}|^2(\bm{a} \cdot \bm{r})-(\bm{a}\cdot \bm{b})(\bm{...
|\bm{a}|^2(\bm{b} \cdot \bm{r})-(\bm{b}\cdot \bm{a})(\bm{...
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
ここで、ベクトルの演算を練習しておきます。スカラー三重積...
<tex>
\bm{a} \cdot (\bm{b} \times \bm{c}) =
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{vmatrix}
=(\bm{a} \times \bm{b}) \cdot \bm{c}
\tag{##}
</tex>
と言うように、スカラー積とベクトル積の入れ替えができます。
そして、ベクトル三重積は、
<tex>
(\bm{a} \times \bm{b}) \times \bm{c}=\bm{b}(\bm{a} \cdot ...
\tag{##}
</tex>
ですから、これと新たなベクトル $\bm{d}$ とのスカラー積を...
<tex>
(\bm{a} \times \bm{b}) \times \bm{c} \cdot \bm{d} =(\bm{a...
\tag{##}
</tex>
これと、式( $6$ )の右辺の上段を見比べて、
<tex>
(\bm{b} \cdot \bm{b})(\bm{a} \cdot \bm{r}) - (\bm{b} \cdo...
(\bm{b} \times \bm{a}) \times \bm{b} \cdot \bm{r}
\tag{##}
</tex>
下段は、これの $\bm{a}$ と $\bm{b}$ を入れ替えたものだか...
<tex>
\begin{pmatrix}
s \\
t
\end{pmatrix}
&=
\frac{1}{|\bm{a} \times \bm{b}|^2}
\begin{pmatrix}
(\bm{b} \times \bm{a}) \times \bm{b} \cdot \bm{r} \\
(\bm{a} \times \bm{b}) \times \bm{a} \cdot \bm{r}
\end{pmatrix} \\
&=
\frac{1}{|\bm{a} \times \bm{b}|^2}
\begin{pmatrix}
-(\bm{a} \times \bm{b}) \times \bm{b} \cdot \bm{r} \\
(\bm{a} \times \bm{b}) \times \bm{a} \cdot \bm{r}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。そして、
<tex>
\bm{p} \equiv
\bm{a} \times \bm{b} =
\begin{pmatrix}
a_2b_3-a_3b_2 \\
a_3b_1-a_1b_3 \\
a_1b_2-a_2b_1
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
l \\
m \\
n
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
であります。
ここで、もう一つの外積の行列での表現、
<tex>
-\bm{p} \times \bm{b} =
-
\begin{pmatrix}
0 & -n & m \\
n & 0 & -l \\
-m & l & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
を用います。これは、三次元の列ベクトルなので、 $\bm{r}$ ...
転置します。
<tex>
-\bm{p} \times \bm{b} \cdot \bm{r} &=
-
\begin{pmatrix}
b_1 & b_2 & b_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & n & -m \\
-n & 0 & l \\
m & -l & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
b_1 & b_2 & b_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -n & m \\
n & 0 & -l \\
-m & l & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
式 $(6)$ の下段は、同様に $\bm{a}$ と $\bm{b}$ を入れ替え...
以上をまとめて書けば、
<tex>
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2 \\
a_3 & b_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
s \\
t
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1 \\
z_1
\end{pmatrix}
\leftrightarrow
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
の距離が最小になる解は、
<tex>
\begin{pmatrix}
s \\
t
\end{pmatrix}
&=
\frac{1}{|\bm{a} \times \bm{b}|^2}
\begin{pmatrix}
-(\bm{a} \times \bm{b}) \times \bm{b} \cdot \bm{r} \\
(\bm{a} \times \bm{b}) \times \bm{a} \cdot \bm{r}
\end{pmatrix} \\
&=
\frac{1}{|\bm{a} \times \bm{b}|^2}
\begin{pmatrix}
b_1 & b_2 & b_3 \\
-a_1 & -a_2 & -a_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -n & m \\
n & 0 & -l \\
-m & l & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
ただし、
<tex>
\begin{pmatrix}
l \\
m \\
n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_2b_3-a_3b_2 \\
a_3b_1-a_1b_3 \\
a_1b_2-a_2b_1
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
であり、その時の最短距離 $X^2$ は、式 $(3)$ の一番最後の...
<tex>
X^2 &= \zeta-\frac{\alpha \varepsilon^2 -2 \beta \delta \...
&= |\bm{r}^2|-\frac{|\bm{a}|^2(\bm{b} \cdot \bm{r})^2-2(\...
+|\bm{b}|^2(\bm{a} \cdot \bm{r})^2}{|\bm{a} \times \bm{b}...
</tex>
となります。以上でこの記事は終わりです。
これより次元が高い場合も、いつか計算してみたいです。
それでは、今日はこの辺で。
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-12-28@@
@@category:物理数学@@
@@id:inverseOfNonSquareMatrix@@
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