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#rst2hooktail_source
==========================
直交関数系
==========================
関数が直交するということ
===========================
関数が直交するということを、 相関関数_ を計算することによ...
.. [*]
相関関数の記事で、直交関数のことに触れています。時間のあ...
二つの実関数 $h(t),x(t)$ が直交しているということを、相対...
<tex>
\int^{\infty}_{-\infty}h(t)x(t+\tau)dt \biggr|_{\rm{\tau=...
\int^{\infty}_{-\infty}h(t)h(t+\tau)dt \biggr|_{\rm{\tau=...
\int^{\infty}_{-\infty}x(t)x(t+\tau)dt \biggr|_{\rm{\tau=...
</tex>
と表現できましたね。
直交関数系
=============
ある関数列(関数の集合) $\{\phi_0(t),\phi_1(t),\phi_2(t),\...
<tex>
& \int^{\infty}_{-\infty}\phi_i(t)\phi_j(t)dt = 0 \hspac...
& \int^{\infty}_{-\infty}\{ \phi_i(t) \}^2 dt \neq 0 \hs...
</tex>
となる関数列を *直交関数系* といいます。つまり、お互いに...
また、直交関数系の特別な場合として *正規直交関数系* とい...
<tex>
\int^{\infty}_{-\infty}\{ \phi_i(t) \}^2 dt=1 \hspace{0.5...
</tex>
になる関数列のことです。「正規・・・」となっているんですから...
.. [*]
今回は一般的な議論として、関数の区間を特に決めずに話を進...
さて、ここまでは直交関数系というものを定義で見てきました...
.. important::
直交関数は、互いに関数の内積を取ると0になる関数である。
この性質から、直交関数系というものは、何かもっと面白い意...
これと同じように、直交している関数列を使って、任意の関数...
答えは、次のセクションを読んでみて下さい。
直交関数系から
================
直交関数系の関数列が、ベクトル空間の単位ベクトルと同じ働...
ベクトル空間で、 $(\bm{e_{0}},\bm{e_{1}},\cdots,\bm{e_{n}...
<tex>
\bm{e_{i}}\cdot \bm{e_{j}} =
\begin{cases} 0 , & i \neq j\\
1, & i=j \end{cases}
</tex>
このとき、単位ベクトル $(\bm{e_{0}},\bm{e_{1}},\cdots,\bm...
<tex>
\bm{v}=c_0\bm{e_{0}}+c_1\bm{e_{1}}+\cdots+c_n\bm{e_{n}}
</tex>
しつこく書きますが、直交関数系(今の場合は正規直交関数)で...
<tex>
\int^{\infty}_{-\infty}\phi_i(t)\phi_j(t)dt=\begin{cases}...
1 ,& i=j\end{cases}
</tex>
ですね。これらの関数を用いて、ある関数 $f(t)$ を作ったと...
<tex>
f(t)=a_0\phi_0(t)+a_1\phi_1(t)+\cdots+a_n\phi_n(t)=\sum_{...
</tex>
ここでは、まだ $a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n$ は、一意のもので...
このとき $f(t)=0$ とおき、右辺は項別積分が可能な関数列と...
<tex>
\int^{\infty}_{-\infty} f(t)\phi_j(t) dt &= \int^{\infty}...
&= a_j
</tex>
上の式は $f(t)=0$ であることから、このときすべての $a_j$ ...
ふむふむ。注目すべき事実が分かってきました。関数列が単位...
.. admonition:: theorem
直交関数系の各関数の線形結合で、一意的に関数を表すことが...
.. _相関関数: http://www12.plala.or.jp/ksp/
.. _内積空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
@@author: 黒子@@
@@accept: 2006-11-15@@
@@category: フーリエ解析@@
@@id: OrthogonalFnc@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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直交関数系
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関数が直交するということ
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関数が直交するということを、 相関関数_ を計算することによ...
.. [*]
相関関数の記事で、直交関数のことに触れています。時間のあ...
二つの実関数 $h(t),x(t)$ が直交しているということを、相対...
<tex>
\int^{\infty}_{-\infty}h(t)x(t+\tau)dt \biggr|_{\rm{\tau=...
\int^{\infty}_{-\infty}h(t)h(t+\tau)dt \biggr|_{\rm{\tau=...
\int^{\infty}_{-\infty}x(t)x(t+\tau)dt \biggr|_{\rm{\tau=...
</tex>
と表現できましたね。
直交関数系
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ある関数列(関数の集合) $\{\phi_0(t),\phi_1(t),\phi_2(t),\...
<tex>
& \int^{\infty}_{-\infty}\phi_i(t)\phi_j(t)dt = 0 \hspac...
& \int^{\infty}_{-\infty}\{ \phi_i(t) \}^2 dt \neq 0 \hs...
</tex>
となる関数列を *直交関数系* といいます。つまり、お互いに...
また、直交関数系の特別な場合として *正規直交関数系* とい...
<tex>
\int^{\infty}_{-\infty}\{ \phi_i(t) \}^2 dt=1 \hspace{0.5...
</tex>
になる関数列のことです。「正規・・・」となっているんですから...
.. [*]
今回は一般的な議論として、関数の区間を特に決めずに話を進...
さて、ここまでは直交関数系というものを定義で見てきました...
.. important::
直交関数は、互いに関数の内積を取ると0になる関数である。
この性質から、直交関数系というものは、何かもっと面白い意...
これと同じように、直交している関数列を使って、任意の関数...
答えは、次のセクションを読んでみて下さい。
直交関数系から
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直交関数系の関数列が、ベクトル空間の単位ベクトルと同じ働...
ベクトル空間で、 $(\bm{e_{0}},\bm{e_{1}},\cdots,\bm{e_{n}...
<tex>
\bm{e_{i}}\cdot \bm{e_{j}} =
\begin{cases} 0 , & i \neq j\\
1, & i=j \end{cases}
</tex>
このとき、単位ベクトル $(\bm{e_{0}},\bm{e_{1}},\cdots,\bm...
<tex>
\bm{v}=c_0\bm{e_{0}}+c_1\bm{e_{1}}+\cdots+c_n\bm{e_{n}}
</tex>
しつこく書きますが、直交関数系(今の場合は正規直交関数)で...
<tex>
\int^{\infty}_{-\infty}\phi_i(t)\phi_j(t)dt=\begin{cases}...
1 ,& i=j\end{cases}
</tex>
ですね。これらの関数を用いて、ある関数 $f(t)$ を作ったと...
<tex>
f(t)=a_0\phi_0(t)+a_1\phi_1(t)+\cdots+a_n\phi_n(t)=\sum_{...
</tex>
ここでは、まだ $a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n$ は、一意のもので...
このとき $f(t)=0$ とおき、右辺は項別積分が可能な関数列と...
<tex>
\int^{\infty}_{-\infty} f(t)\phi_j(t) dt &= \int^{\infty}...
&= a_j
</tex>
上の式は $f(t)=0$ であることから、このときすべての $a_j$ ...
ふむふむ。注目すべき事実が分かってきました。関数列が単位...
.. admonition:: theorem
直交関数系の各関数の線形結合で、一意的に関数を表すことが...
.. _相関関数: http://www12.plala.or.jp/ksp/
.. _内積空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
@@author: 黒子@@
@@accept: 2006-11-15@@
@@category: フーリエ解析@@
@@id: OrthogonalFnc@@
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