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=========================================================...
超関数入門
=========================================================...
超関数の計算方法を簡単に例示してみることにします。
超関数の計算で基本になるのは、次のようなスカラー積(汎関...
です。 $f(x)$ が超関数、 $\phi(x)$ が試料関数と呼ばれるも...
<tex>
\langle f,\phi \rangle = \int f(x) \phi(x) dx \tag{##}
</tex>
おおざっぱに言って、この $\phi$ は $x$ が十分大きいところ...
十分速く減衰しゼロになることを要求します。それを試料関数...
そうすると、無限遠でゼロにならない超関数 $f$ でも、スカラ...
定まります。 $ \phi $ が試料関数空間でいろいろ動いた
とき、常に $\langle f,\phi \rangle = \langle g,\phi \rang...
超関数の意味で $f=g$ と同一視するのです。
超関数の微分
==================
そういっても、何が嬉しいのかわからないと思うので、簡単な...
階段関数 $\Theta(x)$ の微分を求めてみます。
これは、 $x<0$ では0、 $x>0$ では1をとる関数です。 $x=0...
まず、準備として、関数の微分を求めておきます。
<tex>
\langle \dfrac{d}{dx}f ,\phi \rangle &= \int_{-\infty}^{\...
&= \left[ f(x) \phi(x) \right]_{-\infty}^{\infty} - \int_...
&= - \langle f ,\dfrac{d \phi}{dx} \rangle \tag{##}
</tex>
試料関数が無限遠で十分速く小さくなるので、境界項 $\left[ ...
用いました。微分が移ると、マイナスの符号がつくことにご注...
<tex>
\langle \dfrac{d \Theta}{dx} ,\phi \rangle &= - \langle \...
&= - \int_{-\infty}^{\infty} \Theta \dfrac{d \phi}{dx} dx...
&= - \int_0^{\infty} \dfrac{d \phi}{dx} dx \\
&= - \left[ \phi \right]_0^\infty \\
&= - \left( \phi(\infty) - \phi(0) \right) \\
&= \phi(0) \\
&= \langle \delta(x) , \phi \rangle \tag{##}
</tex>
ここで、δ関数が出てきました。つまり、 $\dfrac{d \Theta}{d...
超関数のフーリエ変換
===========================
超関数の考え方では、フーリエ変換
<tex>
\hat{f}(k) &= \mathcal{F}[f(x)] = \int f(x) e^{-ikx} dx \...
f(x) &= \mathcal{F}^{-1}[\hat{f}(x)] = \dfrac{1}{2 \pi} \...
</tex>
を拡張することもできます。
例えば、 $f(x) = x$ のフーリエ変換はいくつとなるでしょう?
これは従来のフーリエ変換では、積分が発散してうまく求まり...
ところが、超関数の意味では求めることができるのです。
超関数のフーリエ変換の定義は、次のようになります。
<tex>
\langle \mathcal{F}[f(x)] , \phi(k) \rangle
&= \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(x...
&= \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \ph...
&= \langle f(x) , \mathcal{F}[\phi(k)] \rangle \tag{##}
</tex>
まず、 $f(x)=x$ のフーリエ変換の前にいくらかフーリエ変換...
<tex>
\langle \mathcal{F}^{-1}[\delta(k)] , \phi(x) \rangle
&= \dfrac{1}{2 \pi } \int \left( \int \delta(k) e^{ikx} d...
&= \dfrac{1}{2 \pi } \int 1 \times \phi(x) dx \\
&= \langle \dfrac{1}{2 \pi } , \phi(x) \rangle \tag{##}
</tex>
よって、
<tex>
\mathcal{F}^{-1}[\delta(k)] = \dfrac{1}{2 \pi } \tag{##} \\
\mathcal{F}^{-1}[2 \pi \delta(k)] = 1 \tag{##}
</tex>
が言えました。
これと、公式
<tex>
\mathcal{F} \mathcal{F}^{-1} [f(k)] = f(k) \tag{##}
</tex>
を用いると、
<tex>
\mathcal{F}[1] = \mathcal{F} \mathcal{F}^{-1}[2 \pi \delt...
</tex>
が分かります。
では、いよいよ $f(x)=x$ のフーリエ変換です。後で具体的計...
俯瞰図としてご覧ください。
<tex>
\langle \mathcal{F}[x] , \phi(k) \rangle &= \langle x, \m...
&= -i \langle 1 , \mathcal{F} \left( \dfrac{d \phi}{dk} \...
&= -i \langle \mathcal{F}[1] , \dfrac{d \phi}{dk} \rangle...
&= -i \langle 2 \pi \delta(k) , \dfrac{d \phi}{dk} \rangl...
&= 2 \pi i \langle \dfrac{d \delta(k)}{dk} , \phi(k) \ra...
</tex>
よって、
<tex>
\mathcal{F}[x] = 2 \pi i \dfrac{d \delta(k)}{dk} \tag{##}
</tex>
が分かりました。詳しい計算を書きますと、式 $(12)$ は、
<tex>
\int \left( \int x e^{-ikx} dx \right) \phi(k) dk &= \int...
&= \int x \left( [ \phi(k) \dfrac{e^{-ikx}}{-ix} ] + \int...
&= \dfrac{1}{i}\int \left( \dfrac{d \phi(k)}{dk} e^{-ikx}...
&= -i \int \dfrac{d \phi}{dk} \left( \int e^{-ikx} dx \ri...
&= -i \int \dfrac{d \phi}{dk} 2 \pi \delta(k) dk \\
&= -2 \pi i \int \dfrac{d \phi}{dk} \delta(k) dk \\
&= -2 \pi i \left( \left[ \phi \delta(k) \right] - \int \...
&= 2 \pi i \int \phi \dfrac{d \delta(k)}{dk} dk \tag{##}
</tex>
これで、証明完了です。同様に、
<tex>
\mathcal{F}[x^n] &= 2 \pi i^n \dfrac{d^n \delta(k)}{dk^n}...
\mathcal{F}[\dfrac{d^n \delta(x)}{dx^n}] &= (ik)^{n} \tag...
</tex>
が成立します。それでは、今日はこの辺で。
お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2014-01-21@@
@@category:物理数学@@
@@id:distribution@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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超関数入門
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超関数の計算方法を簡単に例示してみることにします。
超関数の計算で基本になるのは、次のようなスカラー積(汎関...
です。 $f(x)$ が超関数、 $\phi(x)$ が試料関数と呼ばれるも...
<tex>
\langle f,\phi \rangle = \int f(x) \phi(x) dx \tag{##}
</tex>
おおざっぱに言って、この $\phi$ は $x$ が十分大きいところ...
十分速く減衰しゼロになることを要求します。それを試料関数...
そうすると、無限遠でゼロにならない超関数 $f$ でも、スカラ...
定まります。 $ \phi $ が試料関数空間でいろいろ動いた
とき、常に $\langle f,\phi \rangle = \langle g,\phi \rang...
超関数の意味で $f=g$ と同一視するのです。
超関数の微分
==================
そういっても、何が嬉しいのかわからないと思うので、簡単な...
階段関数 $\Theta(x)$ の微分を求めてみます。
これは、 $x<0$ では0、 $x>0$ では1をとる関数です。 $x=0...
まず、準備として、関数の微分を求めておきます。
<tex>
\langle \dfrac{d}{dx}f ,\phi \rangle &= \int_{-\infty}^{\...
&= \left[ f(x) \phi(x) \right]_{-\infty}^{\infty} - \int_...
&= - \langle f ,\dfrac{d \phi}{dx} \rangle \tag{##}
</tex>
試料関数が無限遠で十分速く小さくなるので、境界項 $\left[ ...
用いました。微分が移ると、マイナスの符号がつくことにご注...
<tex>
\langle \dfrac{d \Theta}{dx} ,\phi \rangle &= - \langle \...
&= - \int_{-\infty}^{\infty} \Theta \dfrac{d \phi}{dx} dx...
&= - \int_0^{\infty} \dfrac{d \phi}{dx} dx \\
&= - \left[ \phi \right]_0^\infty \\
&= - \left( \phi(\infty) - \phi(0) \right) \\
&= \phi(0) \\
&= \langle \delta(x) , \phi \rangle \tag{##}
</tex>
ここで、δ関数が出てきました。つまり、 $\dfrac{d \Theta}{d...
超関数のフーリエ変換
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超関数の考え方では、フーリエ変換
<tex>
\hat{f}(k) &= \mathcal{F}[f(x)] = \int f(x) e^{-ikx} dx \...
f(x) &= \mathcal{F}^{-1}[\hat{f}(x)] = \dfrac{1}{2 \pi} \...
</tex>
を拡張することもできます。
例えば、 $f(x) = x$ のフーリエ変換はいくつとなるでしょう?
これは従来のフーリエ変換では、積分が発散してうまく求まり...
ところが、超関数の意味では求めることができるのです。
超関数のフーリエ変換の定義は、次のようになります。
<tex>
\langle \mathcal{F}[f(x)] , \phi(k) \rangle
&= \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(x...
&= \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \ph...
&= \langle f(x) , \mathcal{F}[\phi(k)] \rangle \tag{##}
</tex>
まず、 $f(x)=x$ のフーリエ変換の前にいくらかフーリエ変換...
<tex>
\langle \mathcal{F}^{-1}[\delta(k)] , \phi(x) \rangle
&= \dfrac{1}{2 \pi } \int \left( \int \delta(k) e^{ikx} d...
&= \dfrac{1}{2 \pi } \int 1 \times \phi(x) dx \\
&= \langle \dfrac{1}{2 \pi } , \phi(x) \rangle \tag{##}
</tex>
よって、
<tex>
\mathcal{F}^{-1}[\delta(k)] = \dfrac{1}{2 \pi } \tag{##} \\
\mathcal{F}^{-1}[2 \pi \delta(k)] = 1 \tag{##}
</tex>
が言えました。
これと、公式
<tex>
\mathcal{F} \mathcal{F}^{-1} [f(k)] = f(k) \tag{##}
</tex>
を用いると、
<tex>
\mathcal{F}[1] = \mathcal{F} \mathcal{F}^{-1}[2 \pi \delt...
</tex>
が分かります。
では、いよいよ $f(x)=x$ のフーリエ変換です。後で具体的計...
俯瞰図としてご覧ください。
<tex>
\langle \mathcal{F}[x] , \phi(k) \rangle &= \langle x, \m...
&= -i \langle 1 , \mathcal{F} \left( \dfrac{d \phi}{dk} \...
&= -i \langle \mathcal{F}[1] , \dfrac{d \phi}{dk} \rangle...
&= -i \langle 2 \pi \delta(k) , \dfrac{d \phi}{dk} \rangl...
&= 2 \pi i \langle \dfrac{d \delta(k)}{dk} , \phi(k) \ra...
</tex>
よって、
<tex>
\mathcal{F}[x] = 2 \pi i \dfrac{d \delta(k)}{dk} \tag{##}
</tex>
が分かりました。詳しい計算を書きますと、式 $(12)$ は、
<tex>
\int \left( \int x e^{-ikx} dx \right) \phi(k) dk &= \int...
&= \int x \left( [ \phi(k) \dfrac{e^{-ikx}}{-ix} ] + \int...
&= \dfrac{1}{i}\int \left( \dfrac{d \phi(k)}{dk} e^{-ikx}...
&= -i \int \dfrac{d \phi}{dk} \left( \int e^{-ikx} dx \ri...
&= -i \int \dfrac{d \phi}{dk} 2 \pi \delta(k) dk \\
&= -2 \pi i \int \dfrac{d \phi}{dk} \delta(k) dk \\
&= -2 \pi i \left( \left[ \phi \delta(k) \right] - \int \...
&= 2 \pi i \int \phi \dfrac{d \delta(k)}{dk} dk \tag{##}
</tex>
これで、証明完了です。同様に、
<tex>
\mathcal{F}[x^n] &= 2 \pi i^n \dfrac{d^n \delta(k)}{dk^n}...
\mathcal{F}[\dfrac{d^n \delta(x)}{dx^n}] &= (ik)^{n} \tag...
</tex>
が成立します。それでは、今日はこの辺で。
お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2014-01-21@@
@@category:物理数学@@
@@id:distribution@@
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