記事ソース/対称式への応用
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
========================================
対称式への応用
========================================
ここまでの結果の応用として、対称式へガロア理論を応用する...
基本対称式
----------------------------------------
一般に、体 $F^{n}$ 上の $n$ 変数多項式は次式のように表現...
<tex>
f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\Sigma c({\nu}_{1},{\nu}_{2},......
</tex>
ここで係数 $c({\nu}_{1},{\nu}_{2},...,{\nu}_{n})$ は $F^{...
さて、この $n$ 変数の多項式に対し、 $n$ 項の置換操作 $\si...
<tex>
\sigma f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(\sigma (x_{1}) ,\sigma ...
</tex>
例えば、 $\sigma =(1 \ 2 \ 3)$ と $f(x_{1},x_{2},x_{3})=x...
特に、基本対称式 $\mu$ と呼ばれるものは次のように定義され...
<tex>
(\xi - x_{1})(\xi -x_{2})\cdot \cdot \cdot (\xi -x_{n})={...
</tex>
具体的に幾つか書き下してみれば、既に見慣れた形であること...
<tex>
{\mu}_{1} = x_{1} + x_{2} + ...+ x_{n}
</tex>
<tex>
{\mu}_{2} = x_{1}x_{2} +x_{1}x_{3}+ ...+ x_{n-1}x_{n}
</tex>
<tex>
...................
</tex>
<tex>
{\mu}_{n} = x_{1}x_{2}\cdot \cdot \cdot x_{n}
</tex>
.. admonition:: theorem
体 $F$ 上の $n$ 次対称式は、基本対称式だけを使って一意的...
この定理の証明は省略します。例えば対称式 $x_{1}^{2}+x_{2}...
ガロア群と方程式の解
=========================================================...
体 $F$ 上の多項式 $f(x)$ を考えます。 代数学の基本定理_ ...
さて、ガロア拡大体について、次のような言い換えが可能でし...
.. important::
『 $E$ は $F$ のガロア拡大体です。』⇔『 $E$ は、 $F$ 上...
これを使って、次の定理を証明します。
.. admonition:: theorem
$f(x)$ の解を $\{ {\alpha}_{1},{\alpha}_{2},...,{\alpha...
.. admonition:: proof
ガロア群 $\cal G \it (E/F)$ の元 $\phi$ は $F$ を固定体...
.. [*] 実は、ガロアが一番最初にガロア群を考えたとき、固定...
方程式のガロア群
------------------------------------------------------
体 $F$ 上の方程式 $f(x)=0$ の最小分解体を $E$ とします。...
ここでもう一つ、役にたつ定理を紹介します。
.. admonition:: theorem
既約な $n$ 次方程式 $f(x)=0$ のガロア群は、 $n$ 次対称群...
.. admonition:: proof
既約な $n$ 次方程式 $f(x)=0$ の解を置換する $n$ 次の対称...
この定理の例として、 $f(x)=x^{3}-2$ のガロア群を求めてみ...
<tex>
x_{1}=\root 3\of {2} , \ \ \ x_{2}=\root 3\of {2} \omega...
</tex>
これより、 $f(x)$ の最小分解体は $Q( \root 3\of {2}, i\sq...
いま、 $Q$ と $Q( \root 3\of {2}, i\sqrt{3} )$ の中間体に...
まず $Q(i\sqrt{3})$ の自己同型写像として、 $\root 3\of {2...
<tex>
\sigma (\xi ) &= a_{1} + a_{2}\root 3\of {2} \omega + a_{...
&= a_{1} + \frac{1}{2}a_{2}\root 3\of {2}(-1+i\sqrt{3}) ...
&= a_{1}
- (\frac{1}{2}a_{2}+\frac{3}{2}a_{5})\root 3\of {2}
- (\frac{1}{2}a_{3}+\frac{3}{2}a_{6})\root 3\of {2^{2}}
+a_{4}i\sqrt{3}
+ \frac{1}{2} (a_{2}-a_{5}) i \root 3\of {2} \sqrt{3}
- \frac{1}{2}(a_{3}+a_{6})i \root 3\of {2^{2}} \sqrt{3}
</tex>
この写像は $a_{1}+a_{4}i\sqrt{3}$ の部分を不変に保ちます...
次いで $i\sqrt{3}$ を $-i\sqrt{3}$ に移す写像 $\tau$ を考...
中間体とガロア群との対応関係を図にすると、次のようになり...
.. image:: Joh-GaloisEx31.gif
これらの結果と $\tau {\sigma}^{2}=\sigma \tau, \ {\sigma}...
先ほどの中間体とガロア群の対応関係を示す図に $\sigma M_{2...
.. _代数学の基本定理:
.. _最小分解体:
@@author:Joh@@
@@accept: 2007-03-03@@
@@category: 代数学@@
@@id: SymmetricEquation@@
終了行:
#rst2hooktail_source
========================================
対称式への応用
========================================
ここまでの結果の応用として、対称式へガロア理論を応用する...
基本対称式
----------------------------------------
一般に、体 $F^{n}$ 上の $n$ 変数多項式は次式のように表現...
<tex>
f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\Sigma c({\nu}_{1},{\nu}_{2},......
</tex>
ここで係数 $c({\nu}_{1},{\nu}_{2},...,{\nu}_{n})$ は $F^{...
さて、この $n$ 変数の多項式に対し、 $n$ 項の置換操作 $\si...
<tex>
\sigma f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(\sigma (x_{1}) ,\sigma ...
</tex>
例えば、 $\sigma =(1 \ 2 \ 3)$ と $f(x_{1},x_{2},x_{3})=x...
特に、基本対称式 $\mu$ と呼ばれるものは次のように定義され...
<tex>
(\xi - x_{1})(\xi -x_{2})\cdot \cdot \cdot (\xi -x_{n})={...
</tex>
具体的に幾つか書き下してみれば、既に見慣れた形であること...
<tex>
{\mu}_{1} = x_{1} + x_{2} + ...+ x_{n}
</tex>
<tex>
{\mu}_{2} = x_{1}x_{2} +x_{1}x_{3}+ ...+ x_{n-1}x_{n}
</tex>
<tex>
...................
</tex>
<tex>
{\mu}_{n} = x_{1}x_{2}\cdot \cdot \cdot x_{n}
</tex>
.. admonition:: theorem
体 $F$ 上の $n$ 次対称式は、基本対称式だけを使って一意的...
この定理の証明は省略します。例えば対称式 $x_{1}^{2}+x_{2}...
ガロア群と方程式の解
=========================================================...
体 $F$ 上の多項式 $f(x)$ を考えます。 代数学の基本定理_ ...
さて、ガロア拡大体について、次のような言い換えが可能でし...
.. important::
『 $E$ は $F$ のガロア拡大体です。』⇔『 $E$ は、 $F$ 上...
これを使って、次の定理を証明します。
.. admonition:: theorem
$f(x)$ の解を $\{ {\alpha}_{1},{\alpha}_{2},...,{\alpha...
.. admonition:: proof
ガロア群 $\cal G \it (E/F)$ の元 $\phi$ は $F$ を固定体...
.. [*] 実は、ガロアが一番最初にガロア群を考えたとき、固定...
方程式のガロア群
------------------------------------------------------
体 $F$ 上の方程式 $f(x)=0$ の最小分解体を $E$ とします。...
ここでもう一つ、役にたつ定理を紹介します。
.. admonition:: theorem
既約な $n$ 次方程式 $f(x)=0$ のガロア群は、 $n$ 次対称群...
.. admonition:: proof
既約な $n$ 次方程式 $f(x)=0$ の解を置換する $n$ 次の対称...
この定理の例として、 $f(x)=x^{3}-2$ のガロア群を求めてみ...
<tex>
x_{1}=\root 3\of {2} , \ \ \ x_{2}=\root 3\of {2} \omega...
</tex>
これより、 $f(x)$ の最小分解体は $Q( \root 3\of {2}, i\sq...
いま、 $Q$ と $Q( \root 3\of {2}, i\sqrt{3} )$ の中間体に...
まず $Q(i\sqrt{3})$ の自己同型写像として、 $\root 3\of {2...
<tex>
\sigma (\xi ) &= a_{1} + a_{2}\root 3\of {2} \omega + a_{...
&= a_{1} + \frac{1}{2}a_{2}\root 3\of {2}(-1+i\sqrt{3}) ...
&= a_{1}
- (\frac{1}{2}a_{2}+\frac{3}{2}a_{5})\root 3\of {2}
- (\frac{1}{2}a_{3}+\frac{3}{2}a_{6})\root 3\of {2^{2}}
+a_{4}i\sqrt{3}
+ \frac{1}{2} (a_{2}-a_{5}) i \root 3\of {2} \sqrt{3}
- \frac{1}{2}(a_{3}+a_{6})i \root 3\of {2^{2}} \sqrt{3}
</tex>
この写像は $a_{1}+a_{4}i\sqrt{3}$ の部分を不変に保ちます...
次いで $i\sqrt{3}$ を $-i\sqrt{3}$ に移す写像 $\tau$ を考...
中間体とガロア群との対応関係を図にすると、次のようになり...
.. image:: Joh-GaloisEx31.gif
これらの結果と $\tau {\sigma}^{2}=\sigma \tau, \ {\sigma}...
先ほどの中間体とガロア群の対応関係を示す図に $\sigma M_{2...
.. _代数学の基本定理:
.. _最小分解体:
@@author:Joh@@
@@accept: 2007-03-03@@
@@category: 代数学@@
@@id: SymmetricEquation@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.002 sec.