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===========================================
対称テンソルと反対称テンソル
===========================================
二階以上のテンソルで、成分の添字のうち、どれか二つを入れ...
<tex>
S_{ijklm...} = S_{jiklm...} \tag{1}
</tex>
対称テンソルではどの添字を入れ替えても値が変わりません。...
<tex>
A_{ijklm...} = -A_{jiklm...} \tag{2}
</tex>
反対称テンソルでは添字を入れ替える回数が偶数回なら元と同...
例
------------------------------------------------
いままでに何度も出てきているクロネッカーのデルタ ${\delta...
<tex>
g_{ij} = \bm{e_{i}} \cdot \bm{e_{j}} = \bm{e_{j}} \cdot \...
</tex>
反対称テンソルの例はいままで出てきていませんが、二つのベ...
<tex>
C_{ij} = A_{i}B_{j} - A_{j}B_{i} \tag{3}
</tex>
テンソルの対称性と座標変換
---------------------------------------------------
ある座標系で対称テンソルであるテンソルは、座標変換をして...
<tex>
T'_{ij} &= {\alpha}^{i'k}{\alpha}^{j'l}T_{kl} \\
&= {\alpha}^{i'l}{\alpha}^{j'k}T_{lk} \\
&= {\alpha}^{j'k}{\alpha}^{i'l}T_{lk} \\
&= T'_{ji} \tag{4}
</tex>
例として二階の対称テンソルを示しましたが、反対称テンソル...
.. admonition:: theorem
座標変換しても、対称テンソルは対称テンソル、反対称テンソ...
二階のテンソルの行列表示
---------------------------------------------------------
二階のテンソルは行列で表示すると便利ですが、対称テンソル ...
<tex>
S_{ij} =
\left(
\begin{array}{ccc}
S_{11}& S_{12} & S_{13} \\
S_{12} & S_{22} & S_{23} \\
S_{13} & S_{23} & S_{33} \\
\end{array}
\right) \tag{5}
</tex>
<tex>
A_{ij} =
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -A_{12} & -A_{13} \\
A_{12} & 0 & -A_{23} \\
A_{13} & A_{23} & 0 \\
\end{array}
\right) \tag{6}
</tex>
成分をよく見ると、 $S_{ij}$ には $6$ 種類、 $A_{ij}$ には...
この予想は正しく、非常に単純なことに、一般に二階のテンソ...
<tex>
T_{ij} = S_{ij} + A_{ij} \tag{7}
</tex>
添字 $i,j$ を入れ替えれば $T_{ji} = S_{ij} - A_{ij}$ を得...
<tex>
S_{ij} = \frac{1}{2}(T_{ij} + T_{ji})
</tex>
<tex>
A_{ij} = \frac{1}{2}(T_{ij} - T_{ji})
</tex>
これは任意の二階のテンソル $T_{ij}$ から、その対称部分と...
.. [*] 混合テンソルの場合、式 $(1)$ や $(2)$ のように添字...
.. [*] 連続体力学において、連続体の変形を表わすのに二階の...
【歪みテンソル】
<tex>
\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_{i}}{...
</tex>
【渦度テンソル】
<tex>
\Omega_{ij}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_{i}}{\part...
</tex>
【歪み速度テンソル】
<tex>
e_{ij}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x...
</tex>
【速度勾配テンソル】
<tex>
\omega_{ij}=\frac{1}{2}
\left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}
-\frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}} \right)
</tex>
.. _無限小回転: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/in...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: SymtensorAntisymtensor@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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対称テンソルと反対称テンソル
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二階以上のテンソルで、成分の添字のうち、どれか二つを入れ...
<tex>
S_{ijklm...} = S_{jiklm...} \tag{1}
</tex>
対称テンソルではどの添字を入れ替えても値が変わりません。...
<tex>
A_{ijklm...} = -A_{jiklm...} \tag{2}
</tex>
反対称テンソルでは添字を入れ替える回数が偶数回なら元と同...
例
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いままでに何度も出てきているクロネッカーのデルタ ${\delta...
<tex>
g_{ij} = \bm{e_{i}} \cdot \bm{e_{j}} = \bm{e_{j}} \cdot \...
</tex>
反対称テンソルの例はいままで出てきていませんが、二つのベ...
<tex>
C_{ij} = A_{i}B_{j} - A_{j}B_{i} \tag{3}
</tex>
テンソルの対称性と座標変換
---------------------------------------------------
ある座標系で対称テンソルであるテンソルは、座標変換をして...
<tex>
T'_{ij} &= {\alpha}^{i'k}{\alpha}^{j'l}T_{kl} \\
&= {\alpha}^{i'l}{\alpha}^{j'k}T_{lk} \\
&= {\alpha}^{j'k}{\alpha}^{i'l}T_{lk} \\
&= T'_{ji} \tag{4}
</tex>
例として二階の対称テンソルを示しましたが、反対称テンソル...
.. admonition:: theorem
座標変換しても、対称テンソルは対称テンソル、反対称テンソ...
二階のテンソルの行列表示
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二階のテンソルは行列で表示すると便利ですが、対称テンソル ...
<tex>
S_{ij} =
\left(
\begin{array}{ccc}
S_{11}& S_{12} & S_{13} \\
S_{12} & S_{22} & S_{23} \\
S_{13} & S_{23} & S_{33} \\
\end{array}
\right) \tag{5}
</tex>
<tex>
A_{ij} =
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -A_{12} & -A_{13} \\
A_{12} & 0 & -A_{23} \\
A_{13} & A_{23} & 0 \\
\end{array}
\right) \tag{6}
</tex>
成分をよく見ると、 $S_{ij}$ には $6$ 種類、 $A_{ij}$ には...
この予想は正しく、非常に単純なことに、一般に二階のテンソ...
<tex>
T_{ij} = S_{ij} + A_{ij} \tag{7}
</tex>
添字 $i,j$ を入れ替えれば $T_{ji} = S_{ij} - A_{ij}$ を得...
<tex>
S_{ij} = \frac{1}{2}(T_{ij} + T_{ji})
</tex>
<tex>
A_{ij} = \frac{1}{2}(T_{ij} - T_{ji})
</tex>
これは任意の二階のテンソル $T_{ij}$ から、その対称部分と...
.. [*] 混合テンソルの場合、式 $(1)$ や $(2)$ のように添字...
.. [*] 連続体力学において、連続体の変形を表わすのに二階の...
【歪みテンソル】
<tex>
\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_{i}}{...
</tex>
【渦度テンソル】
<tex>
\Omega_{ij}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_{i}}{\part...
</tex>
【歪み速度テンソル】
<tex>
e_{ij}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x...
</tex>
【速度勾配テンソル】
<tex>
\omega_{ij}=\frac{1}{2}
\left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}
-\frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}} \right)
</tex>
.. _無限小回転: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/in...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: SymtensorAntisymtensor@@
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