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#rst2hooktail_source
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体(たい)
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ある集合があって、その集合が、四則演算(加法、減法、乗法、...
体の公理
----------------------------------------------------
以下の条件を満たす集合を体と呼びます。
1. 加法について可換群になっています。(加法が閉じており、...
2. 乗法について可換群になっています。(乗法が閉じておりる...
3. 加法と乗法について分配法則がなりたちます。 $(a+b)c=ac+...
いままで群について学んで来ましたが、群には演算が一種類だ...
.. [*] 体は加法に関しては群、乗法に関しても零元を除いて群...
.. [*] いままで、群論に出てきた情報は一般には非可換でした...
例
---------------------------------------------------------...
下の例を考えながら、『四則演算の定義された集合』というの...
例1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
有理数の全体は体です。有理数+有理数、有理数-有理数、有理...
例2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
実数の全体も体になります。実数同士は足したり、引いたり、...
例3
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
複素数の全体も体になります。自分で確認してみましょう。 *...
例4
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
整数の全体は体ではありません。整数÷整数は、かならずしも整...
例5
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
四元数の全体は体になります。 *四元数体* と呼ばれます。四...
例6
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
整数の加法群 $Z$ から、素数 $p$ の剰余群 $Z/[p]$ を作りま...
<tex>
Z/[p]=\{[p],1+[p],2+[p],...,(p-1)+[p] \}
</tex>
この元の中で偶数からなる元を $\overline{0}$ , 奇数からな...
<tex>
\overline{0} + \overline{0} = \overline{1} + \overline{1}...
</tex>
<tex>
\overline{1} + \overline{0} = \overline{0} + \overline{1}...
</tex>
<tex>
\overline{0} \overline{0} = \overline{1} \overline{0} = \...
</tex>
<tex>
\overline{1} \overline{1} = \overline{1}
</tex>
零元は $\overline{0}$ ,乗法の単位元は $\overline{1}$ です...
例7
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
例6では、まず具体的に整数の剰余群を考えたので、演算結果...
『たった二個の元からなる集合 $\{ 0,1 \}$ に $0+0=0,0+1=1+...
.. [*] これだけ最初に見ると $1+1=0$ のところで吃驚してし...
.. [*] 上の註は、私達が『数』と呼ぶ集合が、基本的に体であ...
.. [*] 例7のような演算規則に従って構成される体をブール体...
.. csv-table:: $1$ (真)と $0$ (偽)による真偽表
:header: "文 $p$ ", "文 $q$ "," $p{\rm XOR}q$ "," $p{...
"0", "0" , "0" ,"0"
"1", "0" , "1" ,"0"
"0", "1" , "1" ,"0"
"1", "1" , "0" ,"1"
補足
----------------------------------------------
体という概念を最初に導入したのは、デデキント $\text{(Ric...
.. figure:: Joh-DedekindPM.gif
(数の本質を深く追求し続けたデデキント)
.. _`数学に出てくる○○空間ってなんだ?`: http://www12.plal...
.. _環: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/RingDef
.. _整域・整数の剰余類の環: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _四元数: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/quate...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-05-27@@
@@category: 代数学@@
@@id: FieldDef@@
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#rst2hooktail_source
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体(たい)
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ある集合があって、その集合が、四則演算(加法、減法、乗法、...
体の公理
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以下の条件を満たす集合を体と呼びます。
1. 加法について可換群になっています。(加法が閉じており、...
2. 乗法について可換群になっています。(乗法が閉じておりる...
3. 加法と乗法について分配法則がなりたちます。 $(a+b)c=ac+...
いままで群について学んで来ましたが、群には演算が一種類だ...
.. [*] 体は加法に関しては群、乗法に関しても零元を除いて群...
.. [*] いままで、群論に出てきた情報は一般には非可換でした...
例
---------------------------------------------------------...
下の例を考えながら、『四則演算の定義された集合』というの...
例1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
有理数の全体は体です。有理数+有理数、有理数-有理数、有理...
例2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
実数の全体も体になります。実数同士は足したり、引いたり、...
例3
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
複素数の全体も体になります。自分で確認してみましょう。 *...
例4
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
整数の全体は体ではありません。整数÷整数は、かならずしも整...
例5
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四元数の全体は体になります。 *四元数体* と呼ばれます。四...
例6
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整数の加法群 $Z$ から、素数 $p$ の剰余群 $Z/[p]$ を作りま...
<tex>
Z/[p]=\{[p],1+[p],2+[p],...,(p-1)+[p] \}
</tex>
この元の中で偶数からなる元を $\overline{0}$ , 奇数からな...
<tex>
\overline{0} + \overline{0} = \overline{1} + \overline{1}...
</tex>
<tex>
\overline{1} + \overline{0} = \overline{0} + \overline{1}...
</tex>
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\overline{0} \overline{0} = \overline{1} \overline{0} = \...
</tex>
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\overline{1} \overline{1} = \overline{1}
</tex>
零元は $\overline{0}$ ,乗法の単位元は $\overline{1}$ です...
例7
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例6では、まず具体的に整数の剰余群を考えたので、演算結果...
『たった二個の元からなる集合 $\{ 0,1 \}$ に $0+0=0,0+1=1+...
.. [*] これだけ最初に見ると $1+1=0$ のところで吃驚してし...
.. [*] 上の註は、私達が『数』と呼ぶ集合が、基本的に体であ...
.. [*] 例7のような演算規則に従って構成される体をブール体...
.. csv-table:: $1$ (真)と $0$ (偽)による真偽表
:header: "文 $p$ ", "文 $q$ "," $p{\rm XOR}q$ "," $p{...
"0", "0" , "0" ,"0"
"1", "0" , "1" ,"0"
"0", "1" , "1" ,"0"
"1", "1" , "0" ,"1"
補足
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体という概念を最初に導入したのは、デデキント $\text{(Ric...
.. figure:: Joh-DedekindPM.gif
(数の本質を深く追求し続けたデデキント)
.. _`数学に出てくる○○空間ってなんだ?`: http://www12.plal...
.. _環: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/RingDef
.. _整域・整数の剰余類の環: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _四元数: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/quate...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-05-27@@
@@category: 代数学@@
@@id: FieldDef@@
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