記事ソース/楕円積分 〜 振り子の周期を求める
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楕円積分 〜 振り子の周期を求める
======================================
最初に楕円の周の長さを求めてみます。すると楕円積分という...
はじめに
--------------------------------------
物理の計算をしていて、楕円積分というものに出くわしたこと...
楕円積分からは楕円関数という関数が定義されます。この分野...
本稿の立場は、数学的な説明をほとんど無視して、とにかく「...
楕円の周の長さを求める
---------------------------------------------
まず $x=a\sin \theta$ , $y=b\cos \theta$ で表される楕円の...
.. image:: Joh-ellipse1.png
計算は第一象限の弧だけを求めて4倍することにします。
.. image:: Joh-ellipse2.png
曲線の微小要素の長さ $ds$ は、ピタゴラスの定理を使って次...
<tex>
\displaystyle ds= \sqrt {dy^{2}+dx^{2}}
</tex>
弧の長さはこれを全体に渡って積分すれば求められるはずです...
<tex>
\displaystyle L &=\intop \limits ds \\
&=\intop \limits \sqrt {dy^{2}+dx^{2}} \\
&=4\int _{0}^{\pi \over 2}\sqrt {b^{2}\sin ^{2}\theta
+a^{2}\cos ^{2}\theta }d\theta \\
&=4a\int _{0}^{\pi \over 2}\sqrt {1-\sin ^{2}\theta +{b^{...
\sin ^{2}\theta }d\theta \\
&=4a\int _{0}^{\pi \over 2}\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }d\t...
\ \ \ (0\leq m={a^{2}-b^{2}\over a^{2}}\leq 1)
</tex>
最後の行で $m={a^{2}-b^{2}\over a^{2}}$ と置きました。(※...
そこで、解析的な積分はあきらめて、級数展開してしまいまし...
<tex>
\displaystyle (1-m\sin ^{2}\theta )^{1\over 2} &=1-{1\ove...
m\sin ^{2}\theta -{1\over 8}
m^{2}\sin ^{4}\theta -{3\over 48}
m^{3}\sin ^{6}\theta -... \\
&=1-\sum _{n=1}^{\infty }{(2n-1)!!\over (2n)!!}
{m^{n}\over 2n-1}
\sin ^{2n}\theta
</tex>
この級数は $m<1$ の範囲で一様収束しますので(証明は省きま...
<tex>
\displaystyle L &=4a\int _{0}^{\pi \over 2}\sqrt {1-m\sin...
1-\sum _{n=1}^{\infty }{(2n-1)!!\over (2n)!!}
{m^{n} \over 2n-1}
\sin ^{2n}\theta
d\theta \Bigr\} \\
&= 4a\int _{0}^{\pi \over 2}d\theta
-\sum _{n=1}^{\infty }
{(2n-1)!!\over (2n)!!}
{m^{n}\over 2n-1}
4a\int _{0}^{\pi \over 2}
\sin ^{2n}\theta
d\theta \\
&= {2a\pi}
\Bigl\{ 1-\sum \limits _{n=1}^{\infty }\Big[{(2n-1)!!\ove...
\Big]^{2}{m^{n}\over 2n-1}
\Bigr\}
</tex>
最後の行の $\sin ^{2}\theta$ の積分では次の公式を使ってし...
<tex>
\displaystyle \int _{0}^{\pi \over 2}\sin ^{2n}\theta d\t...
</tex>
随分と駆け足でしたが、楕円の周の長さを級数表示することが...
楕円積分
---------------------------------------------------------...
楕円の周を求める過程で、厄介な積分が出てきました。実は、...
<tex>
E(m)
&=\int _{0}^{\pi \over 2}\displaystyle \sqrt {1-m\sin ^{2...
&= {\pi \over 2}
\Bigl\{ 1-\sum \limits _{n=1}^{\infty }\Big[{(2n-1)!!\ove...
\Big]^{2}{m^{n}\over 2n-1}
\Bigr\}
</tex>
楕円積分にはこの他に第一標準形と第三標準形というものがあ...
<tex>
\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\pi \over 2}\displaystyle {...
</tex>
この積分も普通には解けないので、さきほどと同じように級数...
<tex>
\displaystyle (1-m\sin ^{2}\theta )^{-{1\over 2}
}&=1+{1\over 2}
m\sin ^{2}\theta +{3\over 8}
m^{2}\sin ^{4}\theta +{15\over 48}
m^{3}\sin ^{6}\theta +... \\
&=\sum _{n=0}^{\infty }{(2n-1)!!\over (2n)!!}
m^{n}\sin ^{2n}\theta
</tex>
この級数もやはり $m<1$ の範囲で一様収束するので、次のよう...
<tex>
\displaystyle \int _{0}^{\pi \over 2}\displaystyle (1-m\s...
}d\theta
&=\int _{0}^{\pi \over 2}\sum _{n=0}^{\infty }{(2n-1)!!\o...
m^{n}\sin ^{2n}\theta d\theta \\
&=\sum _{n=0}^{\infty }{(2n-1)!!\over (2n)!!}
m^{n}\int _{0}^{\pi \over 2}\sin ^{2n}\theta d\theta \\
&={\pi \over 2}
\Bigl\{ \sum \limits _{n=0}^{\infty }\Big[{(2n-1)!!\over ...
\Big]^{2}m^{n}\Bigr\}
</tex>
最後の $\sin$ の積分では、ふたたび先ほどの公式を使いまし...
ここで出てきた $E(m)$ や $K(m)$ から楕円関数というものが...
単振子の周期を求めてみる
---------------------------------------------------------...
振幅が微小な場合(つまり図の $\theta$ が十分小さい)には、 ...
<tex>
\displaystyle T=2\pi \sqrt {l\over g} \tag{1}
</tex>
ここからは近似を一切使わず、振幅が小さくない場合を考えま...
.. image:: Joh-ellipse3.png
振り子の持つ位置エネルギーは、振り子の一番下から測ること...
一方、振り子の運動エネルギーは、回転運動であることに注意...
$\frac{1}{2}mV^2 = \frac{1}{2}ml^2\omega^2 = \frac{1}{2}m...
と書けます。 $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ となるのは大丈...
さて、振り子が一番大きく振れたときは振り子の速度は零にな...
.. image:: Joh-ellipse4.png
この両者が等しいはずなので次の式が成り立ちます。( $mgl$ ...
<tex>
\displaystyle -mgl\cos \theta _\mathrm{max}={1\over 2}
ml^{2}\Big({d\theta \over dt}
\Big)^{2}-mgl\cos \theta \tag{2}
</tex>
これを $\frac{d\theta}{dt}$ について解くと次のようになり...
<tex>
\displaystyle {d\theta \over dt}
=\pm \sqrt {2g(\cos \theta -\cos \theta _\mathrm{max}) \o...
</tex>
これは $\theta$ に関する非線形微分方程式ですが、よく見る...
<tex>
\displaystyle \int _{0}^{\theta _\mathrm{max}}{1\over \sq...
d\theta =\int _{0}^{\frac{T}{4}}\sqrt {2g\over l}dt=\sqrt...
</tex>
左辺の積分さえうまく求められれば $T$ が求められるわけです...
<tex>
\displaystyle \sin \Big({\theta \over 2}
\Big)=\sin \Big({\theta _\mathrm{max}\over 2}
\Big)\sin \phi \tag{5}
</tex>
こうすると、(4)式の分母の中は次のようになります。三角関数...
<tex>
\displaystyle \cos \theta -\cos \theta _\mathrm{max}&=(1-...
)-(1-2\sin ^{2}{\theta _\mathrm{max}\over 2}
) \\
&=2\sin ^{2}{\theta _\mathrm{max}\over 2}
\cos ^{2}\phi
</tex>
また $d\theta$ は(5)式の両辺を微分すれば次のようになりま...
<tex>
\displaystyle d\theta &={2\sin {\theta _\mathrm{max}\over...
\cos \phi \over \cos {\theta \over 2}
}
d\phi \\
&={2\sin {\theta _\mathrm{max}\over 2}
\cos \phi \over \sqrt {1-\sin ^{2}{\theta _\mathrm{max}\o...
\sin ^{2}\phi }}
d\phi
</tex>
これらを用いて、(4)式を次のように変形します。
<tex>
\displaystyle T&=4\sqrt{\frac{l}{2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}...
\frac{1}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_\mathrm{max}}}\,
d\theta \\
&=4\sqrt{\frac{l}{2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}
\frac{1}{\sqrt{2\sin^2\frac{\theta_\mathrm{max}}{2}\cos^2...
d\phi \\
&=4\sqrt {l\over g}\int _{0}^{\pi \over 2}{1\over \sqrt {...
\sin ^{2}\phi }}
d\phi
</tex>
これはどこかで見た形ですね。そうです、第一標準形の楕円積...
<tex>
T&=4\sqrt {l\over g}\int _{0}^{\pi \over 2}{1\over \sqrt ...
\sin ^{2}\phi }}
d\phi \\
&=4\sqrt {l\over g}K(\sin ^{2}{\theta _\mathrm{max}\over 2}
) \\
&=2\pi \sqrt {l\over g}\Bigl\{ \sum \limits _{n=0}^{\inft...
\Big]^{2}\sin ^{2n}{\theta _\mathrm{max}\over 2}
\Bigr\} \tag{6}
</tex>
かくして、振幅が微小ではない場合の振り子の周期が求まりま...
誤差を考えてみよう
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
(1)式と(6)式で実際にどれくらいの違いが出てくるのか、大雑...
<tex>
\displaystyle T=2\pi \sqrt {l\over g}\Bigl\{ 1+{1\over 4}
\sin ^{2}{\theta \over 2}
+{9\over 64}
\sin ^{4}{\theta \over 2}\Bigr\}
</tex>
この表式による周期が、(1)式の周期より3%程度大きくなるのは...
<tex>
1+{1\over 4}
\sin ^{2}{\theta \over 2}
+{9\over 64}
\sin ^{4}{\theta \over 2}=1.03
</tex>
と置くと、これは ${\sin}^{2} \frac{\theta}{2}$ に関する二...
.. image:: joh-elliptical-graph2.png
実際に、どのようにずれるかを視覚的に表したのが次の Java A...
右側の赤い玉は $\sin \theta \fallingdotseq \theta$ の近似...
.. raw:: html
<applet code="jp/maxwell/applet/singlependulum/singlepe...
.. [1] 左側の玉はルンゲクッタ法を用いてシミュレーションし...
また、振れ角が異なるときの様子を確かめるために次の Java A...
つまりその周期は楕円積分で表されます。
.. raw:: html
<applet code="jp/maxwell/applet/singlependulum3/Simple...
.. _テイラー展開: ../taylor/index.html
.. [2] 両方の玉ともルンゲクッタ法を用いてシミュレーション...
@@author:Joh et al.@@
@@accept:2005-02-16@@
@@category:物理数学@@
@@id:elliptical@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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楕円積分 〜 振り子の周期を求める
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最初に楕円の周の長さを求めてみます。すると楕円積分という...
はじめに
--------------------------------------
物理の計算をしていて、楕円積分というものに出くわしたこと...
楕円積分からは楕円関数という関数が定義されます。この分野...
本稿の立場は、数学的な説明をほとんど無視して、とにかく「...
楕円の周の長さを求める
---------------------------------------------
まず $x=a\sin \theta$ , $y=b\cos \theta$ で表される楕円の...
.. image:: Joh-ellipse1.png
計算は第一象限の弧だけを求めて4倍することにします。
.. image:: Joh-ellipse2.png
曲線の微小要素の長さ $ds$ は、ピタゴラスの定理を使って次...
<tex>
\displaystyle ds= \sqrt {dy^{2}+dx^{2}}
</tex>
弧の長さはこれを全体に渡って積分すれば求められるはずです...
<tex>
\displaystyle L &=\intop \limits ds \\
&=\intop \limits \sqrt {dy^{2}+dx^{2}} \\
&=4\int _{0}^{\pi \over 2}\sqrt {b^{2}\sin ^{2}\theta
+a^{2}\cos ^{2}\theta }d\theta \\
&=4a\int _{0}^{\pi \over 2}\sqrt {1-\sin ^{2}\theta +{b^{...
\sin ^{2}\theta }d\theta \\
&=4a\int _{0}^{\pi \over 2}\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }d\t...
\ \ \ (0\leq m={a^{2}-b^{2}\over a^{2}}\leq 1)
</tex>
最後の行で $m={a^{2}-b^{2}\over a^{2}}$ と置きました。(※...
そこで、解析的な積分はあきらめて、級数展開してしまいまし...
<tex>
\displaystyle (1-m\sin ^{2}\theta )^{1\over 2} &=1-{1\ove...
m\sin ^{2}\theta -{1\over 8}
m^{2}\sin ^{4}\theta -{3\over 48}
m^{3}\sin ^{6}\theta -... \\
&=1-\sum _{n=1}^{\infty }{(2n-1)!!\over (2n)!!}
{m^{n}\over 2n-1}
\sin ^{2n}\theta
</tex>
この級数は $m<1$ の範囲で一様収束しますので(証明は省きま...
<tex>
\displaystyle L &=4a\int _{0}^{\pi \over 2}\sqrt {1-m\sin...
1-\sum _{n=1}^{\infty }{(2n-1)!!\over (2n)!!}
{m^{n} \over 2n-1}
\sin ^{2n}\theta
d\theta \Bigr\} \\
&= 4a\int _{0}^{\pi \over 2}d\theta
-\sum _{n=1}^{\infty }
{(2n-1)!!\over (2n)!!}
{m^{n}\over 2n-1}
4a\int _{0}^{\pi \over 2}
\sin ^{2n}\theta
d\theta \\
&= {2a\pi}
\Bigl\{ 1-\sum \limits _{n=1}^{\infty }\Big[{(2n-1)!!\ove...
\Big]^{2}{m^{n}\over 2n-1}
\Bigr\}
</tex>
最後の行の $\sin ^{2}\theta$ の積分では次の公式を使ってし...
<tex>
\displaystyle \int _{0}^{\pi \over 2}\sin ^{2n}\theta d\t...
</tex>
随分と駆け足でしたが、楕円の周の長さを級数表示することが...
楕円積分
---------------------------------------------------------...
楕円の周を求める過程で、厄介な積分が出てきました。実は、...
<tex>
E(m)
&=\int _{0}^{\pi \over 2}\displaystyle \sqrt {1-m\sin ^{2...
&= {\pi \over 2}
\Bigl\{ 1-\sum \limits _{n=1}^{\infty }\Big[{(2n-1)!!\ove...
\Big]^{2}{m^{n}\over 2n-1}
\Bigr\}
</tex>
楕円積分にはこの他に第一標準形と第三標準形というものがあ...
<tex>
\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\pi \over 2}\displaystyle {...
</tex>
この積分も普通には解けないので、さきほどと同じように級数...
<tex>
\displaystyle (1-m\sin ^{2}\theta )^{-{1\over 2}
}&=1+{1\over 2}
m\sin ^{2}\theta +{3\over 8}
m^{2}\sin ^{4}\theta +{15\over 48}
m^{3}\sin ^{6}\theta +... \\
&=\sum _{n=0}^{\infty }{(2n-1)!!\over (2n)!!}
m^{n}\sin ^{2n}\theta
</tex>
この級数もやはり $m<1$ の範囲で一様収束するので、次のよう...
<tex>
\displaystyle \int _{0}^{\pi \over 2}\displaystyle (1-m\s...
}d\theta
&=\int _{0}^{\pi \over 2}\sum _{n=0}^{\infty }{(2n-1)!!\o...
m^{n}\sin ^{2n}\theta d\theta \\
&=\sum _{n=0}^{\infty }{(2n-1)!!\over (2n)!!}
m^{n}\int _{0}^{\pi \over 2}\sin ^{2n}\theta d\theta \\
&={\pi \over 2}
\Bigl\{ \sum \limits _{n=0}^{\infty }\Big[{(2n-1)!!\over ...
\Big]^{2}m^{n}\Bigr\}
</tex>
最後の $\sin$ の積分では、ふたたび先ほどの公式を使いまし...
ここで出てきた $E(m)$ や $K(m)$ から楕円関数というものが...
単振子の周期を求めてみる
---------------------------------------------------------...
振幅が微小な場合(つまり図の $\theta$ が十分小さい)には、 ...
<tex>
\displaystyle T=2\pi \sqrt {l\over g} \tag{1}
</tex>
ここからは近似を一切使わず、振幅が小さくない場合を考えま...
.. image:: Joh-ellipse3.png
振り子の持つ位置エネルギーは、振り子の一番下から測ること...
一方、振り子の運動エネルギーは、回転運動であることに注意...
$\frac{1}{2}mV^2 = \frac{1}{2}ml^2\omega^2 = \frac{1}{2}m...
と書けます。 $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ となるのは大丈...
さて、振り子が一番大きく振れたときは振り子の速度は零にな...
.. image:: Joh-ellipse4.png
この両者が等しいはずなので次の式が成り立ちます。( $mgl$ ...
<tex>
\displaystyle -mgl\cos \theta _\mathrm{max}={1\over 2}
ml^{2}\Big({d\theta \over dt}
\Big)^{2}-mgl\cos \theta \tag{2}
</tex>
これを $\frac{d\theta}{dt}$ について解くと次のようになり...
<tex>
\displaystyle {d\theta \over dt}
=\pm \sqrt {2g(\cos \theta -\cos \theta _\mathrm{max}) \o...
</tex>
これは $\theta$ に関する非線形微分方程式ですが、よく見る...
<tex>
\displaystyle \int _{0}^{\theta _\mathrm{max}}{1\over \sq...
d\theta =\int _{0}^{\frac{T}{4}}\sqrt {2g\over l}dt=\sqrt...
</tex>
左辺の積分さえうまく求められれば $T$ が求められるわけです...
<tex>
\displaystyle \sin \Big({\theta \over 2}
\Big)=\sin \Big({\theta _\mathrm{max}\over 2}
\Big)\sin \phi \tag{5}
</tex>
こうすると、(4)式の分母の中は次のようになります。三角関数...
<tex>
\displaystyle \cos \theta -\cos \theta _\mathrm{max}&=(1-...
)-(1-2\sin ^{2}{\theta _\mathrm{max}\over 2}
) \\
&=2\sin ^{2}{\theta _\mathrm{max}\over 2}
\cos ^{2}\phi
</tex>
また $d\theta$ は(5)式の両辺を微分すれば次のようになりま...
<tex>
\displaystyle d\theta &={2\sin {\theta _\mathrm{max}\over...
\cos \phi \over \cos {\theta \over 2}
}
d\phi \\
&={2\sin {\theta _\mathrm{max}\over 2}
\cos \phi \over \sqrt {1-\sin ^{2}{\theta _\mathrm{max}\o...
\sin ^{2}\phi }}
d\phi
</tex>
これらを用いて、(4)式を次のように変形します。
<tex>
\displaystyle T&=4\sqrt{\frac{l}{2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}...
\frac{1}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_\mathrm{max}}}\,
d\theta \\
&=4\sqrt{\frac{l}{2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}
\frac{1}{\sqrt{2\sin^2\frac{\theta_\mathrm{max}}{2}\cos^2...
d\phi \\
&=4\sqrt {l\over g}\int _{0}^{\pi \over 2}{1\over \sqrt {...
\sin ^{2}\phi }}
d\phi
</tex>
これはどこかで見た形ですね。そうです、第一標準形の楕円積...
<tex>
T&=4\sqrt {l\over g}\int _{0}^{\pi \over 2}{1\over \sqrt ...
\sin ^{2}\phi }}
d\phi \\
&=4\sqrt {l\over g}K(\sin ^{2}{\theta _\mathrm{max}\over 2}
) \\
&=2\pi \sqrt {l\over g}\Bigl\{ \sum \limits _{n=0}^{\inft...
\Big]^{2}\sin ^{2n}{\theta _\mathrm{max}\over 2}
\Bigr\} \tag{6}
</tex>
かくして、振幅が微小ではない場合の振り子の周期が求まりま...
誤差を考えてみよう
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
(1)式と(6)式で実際にどれくらいの違いが出てくるのか、大雑...
<tex>
\displaystyle T=2\pi \sqrt {l\over g}\Bigl\{ 1+{1\over 4}
\sin ^{2}{\theta \over 2}
+{9\over 64}
\sin ^{4}{\theta \over 2}\Bigr\}
</tex>
この表式による周期が、(1)式の周期より3%程度大きくなるのは...
<tex>
1+{1\over 4}
\sin ^{2}{\theta \over 2}
+{9\over 64}
\sin ^{4}{\theta \over 2}=1.03
</tex>
と置くと、これは ${\sin}^{2} \frac{\theta}{2}$ に関する二...
.. image:: joh-elliptical-graph2.png
実際に、どのようにずれるかを視覚的に表したのが次の Java A...
右側の赤い玉は $\sin \theta \fallingdotseq \theta$ の近似...
.. raw:: html
<applet code="jp/maxwell/applet/singlependulum/singlepe...
.. [1] 左側の玉はルンゲクッタ法を用いてシミュレーションし...
また、振れ角が異なるときの様子を確かめるために次の Java A...
つまりその周期は楕円積分で表されます。
.. raw:: html
<applet code="jp/maxwell/applet/singlependulum3/Simple...
.. _テイラー展開: ../taylor/index.html
.. [2] 両方の玉ともルンゲクッタ法を用いてシミュレーション...
@@author:Joh et al.@@
@@accept:2005-02-16@@
@@category:物理数学@@
@@id:elliptical@@
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