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#rst2hooktail_source
=========================================================...
続・ベクトルの回転
=========================================================...
これは、Joh氏の ベクトルの回転_ の記事の続編です。
次の記事は、 続々ベクトルの回転_ です。
行列の回転を三次正方行列で表すと,意外ときれいな形でまと...
ベクトルの回転の行列表現
========================
これから ベクトルの回転_ で出た式を行列で表します.ではさ...
<tex>
\bm{r}^\prime = (\bm{n} \cdot \bm{r}) \bm{n} + [\bm{r}-(\...
</tex>
ここで $ \bm{r}^\prime = \begin{pmatrix} r_1^\prime \\ r_...
, $ \bm{r} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatr...
, $ \bm{n} = \begin{pmatrix} l \\ m \\ n \end{pmatrix} $ ...
<tex>
\begin{pmatrix} r_1^\prime \\ r_2^\prime \\ r_3^\prime \e...
=\left[ \bm{n} \bm{n} + \cos \phi (I-\bm{n}\bm{n}) + \sin...
\begin{pmatrix}
0 & -n & m \\
n & 0 & -l \\
-m & l & 0
\end{pmatrix}
\right]
\begin{pmatrix}
r_1 \\
r_2 \\
r_3
\end{pmatrix}
</tex>
ここで, $I$ は三次正方単位行列,
また $\bm{n}\bm{n}$ は $ \bm{n}\bm{n} = \begin{pmatrix} l...
これをテンソルと考えた時,ダイアド積(別名として「テンソ...
ダイアド積は,ドットでもクロスでもなくただベクトルを並べ...
. $\bm{a}= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatri...
$\bm{b}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$...
<tex>
A
=\bm{a}\bm{b}
=\{ a_i b_j \}
=\begin{pmatrix}
a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3 \\
a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3 \\
a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3
\end{pmatrix}
</tex>
となります.
そして少ししつこいかもしれませんが,
<tex>
A = \bm{a} \otimes \bm{b} = \sum_{i=1,2,3 \ \ j=1,2,3}a_i...
</tex>
とも書きます.
ところで, $N= \begin{pmatrix} 0 & -n & m \\n & 0 & -l \\...
$N^2= \begin{pmatrix} -m^2-n^2 & ml & nl \\ lm & -n^2-l^2...
なんと
<tex>
\bm{n}\bm{n}= N^2 + (l^2+m^2+n^2)I = N^2 + I
</tex>
となります.よって,最終的に次の形になります.
<tex>
\bm{r}^\prime = [I + N^2 + (-\cos \phi N^2+\sin \phi N)]\...
</tex>
ここで, $I\bm{r}$ は回転前のベクトル.他は, $N^2\bm{r}=...
, $ (-\cos \phi N^2+\sin \phi N)\bm{r} = \overrightarrow...
その他の嬉しいこと
===================
余談ですが結構物理では外積 $\bm{n} \times $ の行列表現 $N...
もちろん $\bm{n} \times(\bm{n} \times)$ の行列表現 $N^2$ ...
例えば遠心力は $-m \bm{\omega} \times(\bm{\omega} \times ...
慣性テンソル $ I $ を求める時、角運動量 $ L $ 、角速度ベ...
<tex>
\bm{L}
= \sum_i m_i \bm{r}_i \times (\bm{\omega} \times \bm{r}_i)
=- \sum_i m_i \bm{r}_i \times (\bm{r}_i \times \bm{\omega...
</tex>
に対して、
<tex>
\bm{L}
= I \bm{\omega}
</tex>
が $I$ の定義ですから、
<tex>
\begin{pmatrix}
L_x \\
L_y \\
L_z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\sum_i m_i (y_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i x_i y_i & -\sum_i ...
-\sum_i m_i y_i x_i & \sum_i m_i (z_i^2+x_i^2) & -\sum_i ...
-\sum_i m_i z_i x_i & -\sum_i m_i z_i y_i & \sum_i m_i (x...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega_x \\
\omega_y \\
\omega_z
\end{pmatrix}
</tex>
これを知っていると戸惑うことはなくなると思います.
電磁気学でも
<tex>
\nabla \times (\nabla \times \bm{A})
&=
\begin{pmatrix}
0 & -\frac{\partial}{\partial z } & \frac{\partial}{\part...
\frac{\partial}{\partial z } & 0 & -\frac{\partial}{\part...
-\frac{\partial}{\partial y } & \frac{\partial}{\partial ...
\end{pmatrix}^2 \bm{A} \\
&=
\left(
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2}{\partial x^2 } & \frac{\partial^2}{\par...
\frac{\partial^2}{\partial x \partial y } & \frac{\partia...
\frac{\partial^2}{\partial x \partial z } & \frac{\partia...
\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partia...
0 & \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\pa...
0 & 0 & \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}...
\end{pmatrix}
\right)\bm{A} \\
&=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2}{\partial x^2 } & \frac{\partial^2}{\par...
\frac{\partial^2}{\partial y \partial x } & \frac{\partia...
\frac{\partial^2}{\partial z \partial x } & \frac{\partia...
\end{pmatrix}\bm{A}
-\triangle \bm{A} \\
&=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
(\frac{d A_x}{dx}+\frac{d A_y}{dy}+\frac{d A_z}{dz})
-\triangle \bm{A} \\
&=grad(div\bm{A})-\triangle \bm{A}
</tex>
という公式が少し考えるだけで書けるようになります。
追記:最後の電磁気学の例は、偏微分が交換できる時に限るよ...
.. _ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis...
.. _続々ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranal...
@@author:クロメル@@
@@accept:2007-03-24@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:vectorRot2@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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続・ベクトルの回転
=========================================================...
これは、Joh氏の ベクトルの回転_ の記事の続編です。
次の記事は、 続々ベクトルの回転_ です。
行列の回転を三次正方行列で表すと,意外ときれいな形でまと...
ベクトルの回転の行列表現
========================
これから ベクトルの回転_ で出た式を行列で表します.ではさ...
<tex>
\bm{r}^\prime = (\bm{n} \cdot \bm{r}) \bm{n} + [\bm{r}-(\...
</tex>
ここで $ \bm{r}^\prime = \begin{pmatrix} r_1^\prime \\ r_...
, $ \bm{r} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatr...
, $ \bm{n} = \begin{pmatrix} l \\ m \\ n \end{pmatrix} $ ...
<tex>
\begin{pmatrix} r_1^\prime \\ r_2^\prime \\ r_3^\prime \e...
=\left[ \bm{n} \bm{n} + \cos \phi (I-\bm{n}\bm{n}) + \sin...
\begin{pmatrix}
0 & -n & m \\
n & 0 & -l \\
-m & l & 0
\end{pmatrix}
\right]
\begin{pmatrix}
r_1 \\
r_2 \\
r_3
\end{pmatrix}
</tex>
ここで, $I$ は三次正方単位行列,
また $\bm{n}\bm{n}$ は $ \bm{n}\bm{n} = \begin{pmatrix} l...
これをテンソルと考えた時,ダイアド積(別名として「テンソ...
ダイアド積は,ドットでもクロスでもなくただベクトルを並べ...
. $\bm{a}= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatri...
$\bm{b}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$...
<tex>
A
=\bm{a}\bm{b}
=\{ a_i b_j \}
=\begin{pmatrix}
a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3 \\
a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3 \\
a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3
\end{pmatrix}
</tex>
となります.
そして少ししつこいかもしれませんが,
<tex>
A = \bm{a} \otimes \bm{b} = \sum_{i=1,2,3 \ \ j=1,2,3}a_i...
</tex>
とも書きます.
ところで, $N= \begin{pmatrix} 0 & -n & m \\n & 0 & -l \\...
$N^2= \begin{pmatrix} -m^2-n^2 & ml & nl \\ lm & -n^2-l^2...
なんと
<tex>
\bm{n}\bm{n}= N^2 + (l^2+m^2+n^2)I = N^2 + I
</tex>
となります.よって,最終的に次の形になります.
<tex>
\bm{r}^\prime = [I + N^2 + (-\cos \phi N^2+\sin \phi N)]\...
</tex>
ここで, $I\bm{r}$ は回転前のベクトル.他は, $N^2\bm{r}=...
, $ (-\cos \phi N^2+\sin \phi N)\bm{r} = \overrightarrow...
その他の嬉しいこと
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余談ですが結構物理では外積 $\bm{n} \times $ の行列表現 $N...
もちろん $\bm{n} \times(\bm{n} \times)$ の行列表現 $N^2$ ...
例えば遠心力は $-m \bm{\omega} \times(\bm{\omega} \times ...
慣性テンソル $ I $ を求める時、角運動量 $ L $ 、角速度ベ...
<tex>
\bm{L}
= \sum_i m_i \bm{r}_i \times (\bm{\omega} \times \bm{r}_i)
=- \sum_i m_i \bm{r}_i \times (\bm{r}_i \times \bm{\omega...
</tex>
に対して、
<tex>
\bm{L}
= I \bm{\omega}
</tex>
が $I$ の定義ですから、
<tex>
\begin{pmatrix}
L_x \\
L_y \\
L_z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\sum_i m_i (y_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i x_i y_i & -\sum_i ...
-\sum_i m_i y_i x_i & \sum_i m_i (z_i^2+x_i^2) & -\sum_i ...
-\sum_i m_i z_i x_i & -\sum_i m_i z_i y_i & \sum_i m_i (x...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega_x \\
\omega_y \\
\omega_z
\end{pmatrix}
</tex>
これを知っていると戸惑うことはなくなると思います.
電磁気学でも
<tex>
\nabla \times (\nabla \times \bm{A})
&=
\begin{pmatrix}
0 & -\frac{\partial}{\partial z } & \frac{\partial}{\part...
\frac{\partial}{\partial z } & 0 & -\frac{\partial}{\part...
-\frac{\partial}{\partial y } & \frac{\partial}{\partial ...
\end{pmatrix}^2 \bm{A} \\
&=
\left(
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2}{\partial x^2 } & \frac{\partial^2}{\par...
\frac{\partial^2}{\partial x \partial y } & \frac{\partia...
\frac{\partial^2}{\partial x \partial z } & \frac{\partia...
\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partia...
0 & \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\pa...
0 & 0 & \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}...
\end{pmatrix}
\right)\bm{A} \\
&=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2}{\partial x^2 } & \frac{\partial^2}{\par...
\frac{\partial^2}{\partial y \partial x } & \frac{\partia...
\frac{\partial^2}{\partial z \partial x } & \frac{\partia...
\end{pmatrix}\bm{A}
-\triangle \bm{A} \\
&=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
(\frac{d A_x}{dx}+\frac{d A_y}{dy}+\frac{d A_z}{dz})
-\triangle \bm{A} \\
&=grad(div\bm{A})-\triangle \bm{A}
</tex>
という公式が少し考えるだけで書けるようになります。
追記:最後の電磁気学の例は、偏微分が交換できる時に限るよ...
.. _ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis...
.. _続々ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranal...
@@author:クロメル@@
@@accept:2007-03-24@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:vectorRot2@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
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. License is
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