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#rst2hooktail_source
=========================================================...
像と逆像による保存と劣化
=========================================================...
この記事では、写像 $ f:A \to B $ がある時、 $A,B$ のそれ...
像 $f$ と逆像 $f^{-1}$ の
<tex>
f^{-1}(f(P)) \supseteq P \tag{##} \\
f(f^{-1}(Q)) \subseteq Q \tag{##}
</tex>
と言う性質を全射と単射を関連させて、調べます。参考文献は...
これは数学の証明の手法がどんなものなのかの一角をよく見て...
像と逆像
========================
写像 $f$ の定義は、集合 $A$ の元 $a$ に作用させると、集合...
この時、 $f(a)$ はただ一つの元に対応します。行き先が無い...
像 $f$ の定義は、 $A$ の部分集合 $P$ とし、 $P$ の全ての...
引数が一つの元とは限らず、集合を取るところが写像と違いま...
<tex>
f(P) = \{f(a)| a \in P \} \tag{##}
</tex>
逆像 $f^{-1}$ の定義は、 $B$ の部分集合 $Q$ について、 $Q...
<tex>
f^{-1}(Q) = \{ a | f(a) \in Q \} \tag{##}
</tex>
となります。
全射と単射
==========================
全射とは $A$ の像が $B$ に一致することを言います。つまり...
<tex>
f(A) = B \tag{##}
</tex>
となります。
単射とは任意の $A$ の異なる元 $a$ と $a^\prime$ に対し、...
<tex>
a \neq a^\prime \Rightarrow f(a) \neq f(a^\prime) \tag{##}
</tex>
同じことを言いかえると、
<tex>
f(a) = f(a^\prime) \Rightarrow a = a^\prime \tag{##}
</tex>
とも書けます。
式(1)と単射
========================
.. image :: chromel-imageAndInverseImage-01.png
まず、式 $(1)$ を示しましょう。つまり、
.. admonition :: theorem
$f^{-1}(f(P)) \supseteq P$
を示します。
【大まかな流れ】
ここでは、 $a \in P$ を見たす $a$ は必ず $a \in f^{-1}(f(...
【証明】
まず、 $a$ を $P$ の任意の元とし $a \in P$ とします。する...
さて、これだけでは $f^{-1}(f(P))$ が $P$ と同じ集合 $=$ ...
.. admonition:: theorem
写像 $f$ が単射 $\Rightarrow$ $f^{-1}(f(P)) = P$
【証明】
「任意の $a,a^\prime$ に対し $f(a) = f(a^\prime) \Rightar...
「任意の $a$ に対し $f^{-1}(f(a)) = \{ a \}$ 」となり、つ...
.. admonition:: theorem
写像 $f$ が単射でない $\Rightarrow$ $f^{-1}(f(P)) \sups...
【証明の前に】
「単射である」は「任意の $a,a^\prime$ に対して $a \neq a^...
<tex>
\begin{array}{cc|c|c}
p & q & p \Rightarrow q & p \wedge \bar{q} \\ \hline
T & T & T & F \\
T & F & F & T \\
F & T & T & F \\
F & F & T & F
\end{array}
</tex>
「 $ p \wedge \bar{q} $ 」つまり、
「ある $a,a^\prime$ に対して $a \neq a^\prime $ かつ $ f(...
【証明】
「写像 $f$ が単射でない」
$\Rightarrow$
「ある $a,a^\prime$ に対して $a \neq a^\prime $ かつ $ f(...
$\Rightarrow$
「 $P = \{ a \}$ と置くと $f(a)= f(a^\prime)$ となる $a^\...
$\Rightarrow$
「 $f^{-1}(f(P)) \supseteq \{ a,a^\prime \} \supsetneq P ...
$\Rightarrow$
「 $f^{-1}(f(P)) \supsetneq P $ 」■
ここまでの話は「 $f^{-1}(f(P)) \supseteq P$ 」と言う定...
$p:$ 単射である
$q: \ f^{-1}(f(P)) = P$
とすれば、
「 $p \Rightarrow q$ 」かつ「 $\bar{p} \Rightarrow \bar{q...
これは「 $ p \Leftrightarrow q$ 」と同値です。
つまり、「 $f$ が単射であること」 $\Leftrightarrow$ 「 $f...
となり、右辺は集合が劣化しないと言い換えて良いでしょう。
これが単射の持つ性質です。
式(2)と全射
========================
.. image :: chromel-imageAndInverseImage-02.png
式 $(2)$ に対しても話は並行に進みます。
.. admonition :: theorem
$f(f^{-1}(Q)) \subseteq Q$
を示します。
【証明】
まず $f(f^{-1}(Q)) \ni b$ とすると、 $f(a) = b$ で、 $\{ ...
ここで、この定理には全射が関わってきます。見てみましょう。
.. admonition :: theorem
写像 $f$ が(部分集合 $Q$ に対しての)全射である $\Rightar...
を示します。
【証明】
(部分集合 $Q$ に対しての)と注が入りましたが、これは $Q$ ...
すると、 $f(f^{-1}(Q)) \supseteq f(P)= Q$ となります。こ...
次に進みましょう。
.. admonition :: theorem
写像 $f$ が(部分集合 $Q$ に対しての)全射でない $\Rightar...
を示します。
【証明】
まず全射でないなら $Q=\{ b \}$ かつ $f^{-1}(b) = \phi$ と...
これらも、「 $f$ が(部分集合 $Q$ に対しての)全射であるこ...
まとめ
===========
直上の(部分集合 $Q$ に対しての全射)と言う部分が気になりま...
.. image :: chromel-imageAndInverseImage-03.png
僕は最初、像と逆像の組み合わせがどんな時に恒等写像になっ...
@@reference: 松坂和夫,集合・位相入門,岩波書店,1968,p30-p3...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-03-22@@
@@category:集合・位相・測度@@
@@id:imageAndInverseImage@@
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像と逆像による保存と劣化
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この記事では、写像 $ f:A \to B $ がある時、 $A,B$ のそれ...
像 $f$ と逆像 $f^{-1}$ の
<tex>
f^{-1}(f(P)) \supseteq P \tag{##} \\
f(f^{-1}(Q)) \subseteq Q \tag{##}
</tex>
と言う性質を全射と単射を関連させて、調べます。参考文献は...
これは数学の証明の手法がどんなものなのかの一角をよく見て...
像と逆像
========================
写像 $f$ の定義は、集合 $A$ の元 $a$ に作用させると、集合...
この時、 $f(a)$ はただ一つの元に対応します。行き先が無い...
像 $f$ の定義は、 $A$ の部分集合 $P$ とし、 $P$ の全ての...
引数が一つの元とは限らず、集合を取るところが写像と違いま...
<tex>
f(P) = \{f(a)| a \in P \} \tag{##}
</tex>
逆像 $f^{-1}$ の定義は、 $B$ の部分集合 $Q$ について、 $Q...
<tex>
f^{-1}(Q) = \{ a | f(a) \in Q \} \tag{##}
</tex>
となります。
全射と単射
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全射とは $A$ の像が $B$ に一致することを言います。つまり...
<tex>
f(A) = B \tag{##}
</tex>
となります。
単射とは任意の $A$ の異なる元 $a$ と $a^\prime$ に対し、...
<tex>
a \neq a^\prime \Rightarrow f(a) \neq f(a^\prime) \tag{##}
</tex>
同じことを言いかえると、
<tex>
f(a) = f(a^\prime) \Rightarrow a = a^\prime \tag{##}
</tex>
とも書けます。
式(1)と単射
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.. image :: chromel-imageAndInverseImage-01.png
まず、式 $(1)$ を示しましょう。つまり、
.. admonition :: theorem
$f^{-1}(f(P)) \supseteq P$
を示します。
【大まかな流れ】
ここでは、 $a \in P$ を見たす $a$ は必ず $a \in f^{-1}(f(...
【証明】
まず、 $a$ を $P$ の任意の元とし $a \in P$ とします。する...
さて、これだけでは $f^{-1}(f(P))$ が $P$ と同じ集合 $=$ ...
.. admonition:: theorem
写像 $f$ が単射 $\Rightarrow$ $f^{-1}(f(P)) = P$
【証明】
「任意の $a,a^\prime$ に対し $f(a) = f(a^\prime) \Rightar...
「任意の $a$ に対し $f^{-1}(f(a)) = \{ a \}$ 」となり、つ...
.. admonition:: theorem
写像 $f$ が単射でない $\Rightarrow$ $f^{-1}(f(P)) \sups...
【証明の前に】
「単射である」は「任意の $a,a^\prime$ に対して $a \neq a^...
<tex>
\begin{array}{cc|c|c}
p & q & p \Rightarrow q & p \wedge \bar{q} \\ \hline
T & T & T & F \\
T & F & F & T \\
F & T & T & F \\
F & F & T & F
\end{array}
</tex>
「 $ p \wedge \bar{q} $ 」つまり、
「ある $a,a^\prime$ に対して $a \neq a^\prime $ かつ $ f(...
【証明】
「写像 $f$ が単射でない」
$\Rightarrow$
「ある $a,a^\prime$ に対して $a \neq a^\prime $ かつ $ f(...
$\Rightarrow$
「 $P = \{ a \}$ と置くと $f(a)= f(a^\prime)$ となる $a^\...
$\Rightarrow$
「 $f^{-1}(f(P)) \supseteq \{ a,a^\prime \} \supsetneq P ...
$\Rightarrow$
「 $f^{-1}(f(P)) \supsetneq P $ 」■
ここまでの話は「 $f^{-1}(f(P)) \supseteq P$ 」と言う定...
$p:$ 単射である
$q: \ f^{-1}(f(P)) = P$
とすれば、
「 $p \Rightarrow q$ 」かつ「 $\bar{p} \Rightarrow \bar{q...
これは「 $ p \Leftrightarrow q$ 」と同値です。
つまり、「 $f$ が単射であること」 $\Leftrightarrow$ 「 $f...
となり、右辺は集合が劣化しないと言い換えて良いでしょう。
これが単射の持つ性質です。
式(2)と全射
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.. image :: chromel-imageAndInverseImage-02.png
式 $(2)$ に対しても話は並行に進みます。
.. admonition :: theorem
$f(f^{-1}(Q)) \subseteq Q$
を示します。
【証明】
まず $f(f^{-1}(Q)) \ni b$ とすると、 $f(a) = b$ で、 $\{ ...
ここで、この定理には全射が関わってきます。見てみましょう。
.. admonition :: theorem
写像 $f$ が(部分集合 $Q$ に対しての)全射である $\Rightar...
を示します。
【証明】
(部分集合 $Q$ に対しての)と注が入りましたが、これは $Q$ ...
すると、 $f(f^{-1}(Q)) \supseteq f(P)= Q$ となります。こ...
次に進みましょう。
.. admonition :: theorem
写像 $f$ が(部分集合 $Q$ に対しての)全射でない $\Rightar...
を示します。
【証明】
まず全射でないなら $Q=\{ b \}$ かつ $f^{-1}(b) = \phi$ と...
これらも、「 $f$ が(部分集合 $Q$ に対しての)全射であるこ...
まとめ
===========
直上の(部分集合 $Q$ に対しての全射)と言う部分が気になりま...
.. image :: chromel-imageAndInverseImage-03.png
僕は最初、像と逆像の組み合わせがどんな時に恒等写像になっ...
@@reference: 松坂和夫,集合・位相入門,岩波書店,1968,p30-p3...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-03-22@@
@@category:集合・位相・測度@@
@@id:imageAndInverseImage@@
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