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双対基底と双対空間
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ここまでに、双対基底という添字の上下の異なる二種類の基底...
<tex>
\bm{e_{i}} \cdot \bm{e^{j}} = {\delta}_{i}^{j} \tag{1}
</tex>
ここまでの流れで、勘の良い人は何となく気づいてきているか...
双対空間の基底
--------------------------------------------
まず $\bm{e_{i}}$ をベクトル空間 $V$ の基底とします。つま...
<tex>
\bm{x} = x^{1}\bm{e_{1}}+ x^{2}\bm{e_{2}}+ .... + x^{n}\b...
</tex>
<tex>
\bm{y} = y^{1}\bm{e_{1}}+ y^{2}\bm{e_{2}}+ .... + y^{n}\b...
</tex>
これより、和 $\bm{x} +\bm{y}$ やスカラー積 $c\bm{x}$ は次...
<tex>
\bm{x}+\bm{y} = (x^{1}+y^{1})\bm{e_{1}}+ (x^{2}+y^{2})\bm...
</tex>
<tex>
c\bm{x} &= c(x^{1}\bm{e_{1}}+ x^{2}\bm{e_{2}}+ .... + x^{...
&= cx^{1}\bm{e_{1}}+ cx^{2}\bm{e_{2}}+ .... + cx^{n}\bm{e...
</tex>
さて、 $V$ の元が表現できたので、さっそくこれに線形汎関数...
<tex>
{\phi}_{i} \ : \ \bm{x} \in V \ \rightarrow \ {\phi}_{i}(...
</tex>
この写像 ${\phi}_{i}$ は、確かに線形汎関数です。 ${\phi}_...
<tex>
{\phi}_{i}(\bm{x}+\bm{y})= x^{i} + y^{i} = {\phi}_{i}(\bm...
</tex>
<tex>
{\phi}_{i}(c\bm{x})= (cx^{i}) =c(x^{i})=c {\phi}_{i}(\bm{...
</tex>
『ベクトル $\bm{x}$ に第 $i$ 成分 $x^{i}$ を対応させる線...
写像であることの雰囲気を出すために ${\phi}_{i}$ と書きま...
<tex>
\bm{e^{i}} \cdot \bm{x} &= \bm{e^{i}}(x^{1}\bm{e_{1}}+ x^...
&= x^{i}
</tex>
両辺を見比べて、次式が要請されます。
<tex>
\bm{e^{i}}\cdot \bm{e_{j}}={\delta}_{j}^{i} \tag{1}
</tex>
逆に $V^{*}$ の元を $\bm{x}=x_{1}\bm{e^{1}}+ x_{2}\bm{e^{...
<tex>
\bm{e_{i}} \cdot \bm{x} &= \bm{e_{i}}(x_{1}\bm{e^{1}}+ x_...
&= x_{i}
</tex>
<tex>
\bm{e_{i}}\cdot \bm{e^{j}}={\delta}_{i}^{j} \tag{2}
</tex>
なんと、 $\bm{e_{i}}$ と $\bm{e^{j}}$ は見事に双対基底に...
まとめ
---------------------------------------------------------
最初は天下り的に $\bm{e_{i}}\cdot \bm{e^{j}}={\delta}_{i}...
ここに出てきた『ベクトル $\bm{x}$ をその第 $i$ 成分 $x^{i...
もちろん、双対ですからまったく逆の見方も可能で、 $V^{*}$ ...
.. [*] この記事では、双対基底の位置づけを明らかにするとい...
.. [*] 双対基底のアイデアを応用した例として、結晶学にでて...
.. _双対基底の図形的関係: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: DualBaseAndSpace@@
終了行:
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双対基底と双対空間
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ここまでに、双対基底という添字の上下の異なる二種類の基底...
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\bm{e_{i}} \cdot \bm{e^{j}} = {\delta}_{i}^{j} \tag{1}
</tex>
ここまでの流れで、勘の良い人は何となく気づいてきているか...
双対空間の基底
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まず $\bm{e_{i}}$ をベクトル空間 $V$ の基底とします。つま...
<tex>
\bm{x} = x^{1}\bm{e_{1}}+ x^{2}\bm{e_{2}}+ .... + x^{n}\b...
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\bm{y} = y^{1}\bm{e_{1}}+ y^{2}\bm{e_{2}}+ .... + y^{n}\b...
</tex>
これより、和 $\bm{x} +\bm{y}$ やスカラー積 $c\bm{x}$ は次...
<tex>
\bm{x}+\bm{y} = (x^{1}+y^{1})\bm{e_{1}}+ (x^{2}+y^{2})\bm...
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c\bm{x} &= c(x^{1}\bm{e_{1}}+ x^{2}\bm{e_{2}}+ .... + x^{...
&= cx^{1}\bm{e_{1}}+ cx^{2}\bm{e_{2}}+ .... + cx^{n}\bm{e...
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さて、 $V$ の元が表現できたので、さっそくこれに線形汎関数...
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{\phi}_{i} \ : \ \bm{x} \in V \ \rightarrow \ {\phi}_{i}(...
</tex>
この写像 ${\phi}_{i}$ は、確かに線形汎関数です。 ${\phi}_...
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{\phi}_{i}(\bm{x}+\bm{y})= x^{i} + y^{i} = {\phi}_{i}(\bm...
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{\phi}_{i}(c\bm{x})= (cx^{i}) =c(x^{i})=c {\phi}_{i}(\bm{...
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『ベクトル $\bm{x}$ に第 $i$ 成分 $x^{i}$ を対応させる線...
写像であることの雰囲気を出すために ${\phi}_{i}$ と書きま...
<tex>
\bm{e^{i}} \cdot \bm{x} &= \bm{e^{i}}(x^{1}\bm{e_{1}}+ x^...
&= x^{i}
</tex>
両辺を見比べて、次式が要請されます。
<tex>
\bm{e^{i}}\cdot \bm{e_{j}}={\delta}_{j}^{i} \tag{1}
</tex>
逆に $V^{*}$ の元を $\bm{x}=x_{1}\bm{e^{1}}+ x_{2}\bm{e^{...
<tex>
\bm{e_{i}} \cdot \bm{x} &= \bm{e_{i}}(x_{1}\bm{e^{1}}+ x_...
&= x_{i}
</tex>
<tex>
\bm{e_{i}}\cdot \bm{e^{j}}={\delta}_{i}^{j} \tag{2}
</tex>
なんと、 $\bm{e_{i}}$ と $\bm{e^{j}}$ は見事に双対基底に...
まとめ
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最初は天下り的に $\bm{e_{i}}\cdot \bm{e^{j}}={\delta}_{i}...
ここに出てきた『ベクトル $\bm{x}$ をその第 $i$ 成分 $x^{i...
もちろん、双対ですからまったく逆の見方も可能で、 $V^{*}$ ...
.. [*] この記事では、双対基底の位置づけを明らかにするとい...
.. [*] 双対基底のアイデアを応用した例として、結晶学にでて...
.. _双対基底の図形的関係: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: DualBaseAndSpace@@
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