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双対基底
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座標変換のされ方に従い、共変ベクトルと反変ベクトルという...
この記事では、ここに出てきた、共変基底と反変基底という二...
双対基底
---------------------------------------------------------...
二つの基底の組 $\{ \bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}} \} , ...
<tex>
\bm{e_{i}} \cdot \bm{e^{j}} = {\delta}_{i}^{j} \tag{1}
</tex>
既に 共変ベクトルと反変ベクトル_ の記事に双対基底は出てき...
.. important::
$\bm{e_{i}} \cdot \bm{e^{j}} = {\delta}_{i}^{j}$
双対基底の定義式はこれだけです。この次のセクションでは、...
双対基底を求める
---------------------------------------------------------...
まず定義より $\bm{e^{1}}\cdot \bm{e_{2}}=0, \ \bm{e^{1}}\...
<tex>
\bm{e^{1}}=\lambda (\bm{e_{2}}\times \bm{e_{3}}) \tag{2}
</tex>
一方、やはり定義より $\bm{e_{1}} \cdot \bm{e^{1}}=1$ です...
<tex>
\bm{e_{1}}\cdot \bm{e^{1}}=\lambda \bm{e_{1}}\cdot (\bm{e...
</tex>
これより、先ほど仮に置いておいた定数 $\lambda$ を共変基底...
<tex>
\lambda = \frac{1}{\bm{e_{1}} \cdot (\bm{e_{2} \times \bm...
</tex>
これを式 $(2)$ に代入すれば次式を得ます。
<tex>
\bm{e^{1}}=\frac{ (\bm{e_{2}}\times \bm{e_{3}}) }{\bm{e_{...
</tex>
与えられた共変基底 $\{\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}} \}...
<tex>
\bm{e^{1}}=\frac{ (\bm{e_{2}}\times \bm{e_{3}}) }{\bm{e_{...
</tex>
<tex>
\bm{e^{2}}=\frac{ (\bm{e_{3}}\times \bm{e_{1}}) }{\bm{e_{...
</tex>
<tex>
\bm{e^{3}}=\frac{ (\bm{e_{1}}\times \bm{e_{2}}) }{\bm{e_{...
</tex>
全く同様の計算により、逆に反変基底 $\{\bm{e^{1}},\bm{e^{2...
<tex>
\bm{e_{1}}=\frac{ (\bm{e^{2}}\times \bm{e^{3}}) }{\bm{e^{...
</tex>
<tex>
\bm{e_{2}}=\frac{ (\bm{e^{3}}\times \bm{e^{1}}) }{\bm{e^{...
</tex>
<tex>
\bm{e_{3}}=\frac{ (\bm{e^{1}}\times \bm{e^{2}}) }{\bm{e^{...
</tex>
式 $(3-1)(3-2)(3-3)(4-1)(4-2)(4-3)$ が、確かに式 $(1)$ の...
双対基底の性質
-----------------------------------------------------------
双対基底の性質として、次の二つが重要です。
1. もしも $\{\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}} \} $ が右手...
2. もしも $\{\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}} \} $ が直交...
<tex>
\bm{e_{1}},\bm{e_{2}} \ and \ \bm{e_{3}} \ are \ orthogon...
</tex>
この記事では、双対基底が満たすべき関係として $\bm{e_{i}} ...
双対基底の概念の拠り所ともなっている数学的な背景は、次の ...
また、基底が直交しない場合、ベクトルの成分を表わすのは面...
.. _共変ベクトルと反変ベクトル: http://www12.plala.or.jp/...
.. _ベクトル空間と線形写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _ベクトルの成分を表わす: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: DualBases@@
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双対基底
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座標変換のされ方に従い、共変ベクトルと反変ベクトルという...
この記事では、ここに出てきた、共変基底と反変基底という二...
双対基底
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二つの基底の組 $\{ \bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}} \} , ...
<tex>
\bm{e_{i}} \cdot \bm{e^{j}} = {\delta}_{i}^{j} \tag{1}
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既に 共変ベクトルと反変ベクトル_ の記事に双対基底は出てき...
.. important::
$\bm{e_{i}} \cdot \bm{e^{j}} = {\delta}_{i}^{j}$
双対基底の定義式はこれだけです。この次のセクションでは、...
双対基底を求める
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まず定義より $\bm{e^{1}}\cdot \bm{e_{2}}=0, \ \bm{e^{1}}\...
<tex>
\bm{e^{1}}=\lambda (\bm{e_{2}}\times \bm{e_{3}}) \tag{2}
</tex>
一方、やはり定義より $\bm{e_{1}} \cdot \bm{e^{1}}=1$ です...
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\bm{e_{1}}\cdot \bm{e^{1}}=\lambda \bm{e_{1}}\cdot (\bm{e...
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これより、先ほど仮に置いておいた定数 $\lambda$ を共変基底...
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\lambda = \frac{1}{\bm{e_{1}} \cdot (\bm{e_{2} \times \bm...
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これを式 $(2)$ に代入すれば次式を得ます。
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\bm{e^{1}}=\frac{ (\bm{e_{2}}\times \bm{e_{3}}) }{\bm{e_{...
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与えられた共変基底 $\{\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}} \}...
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\bm{e^{1}}=\frac{ (\bm{e_{2}}\times \bm{e_{3}}) }{\bm{e_{...
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\bm{e^{2}}=\frac{ (\bm{e_{3}}\times \bm{e_{1}}) }{\bm{e_{...
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\bm{e^{3}}=\frac{ (\bm{e_{1}}\times \bm{e_{2}}) }{\bm{e_{...
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全く同様の計算により、逆に反変基底 $\{\bm{e^{1}},\bm{e^{2...
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\bm{e_{1}}=\frac{ (\bm{e^{2}}\times \bm{e^{3}}) }{\bm{e^{...
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\bm{e_{2}}=\frac{ (\bm{e^{3}}\times \bm{e^{1}}) }{\bm{e^{...
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\bm{e_{3}}=\frac{ (\bm{e^{1}}\times \bm{e^{2}}) }{\bm{e^{...
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式 $(3-1)(3-2)(3-3)(4-1)(4-2)(4-3)$ が、確かに式 $(1)$ の...
双対基底の性質
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双対基底の性質として、次の二つが重要です。
1. もしも $\{\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}} \} $ が右手...
2. もしも $\{\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}} \} $ が直交...
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\bm{e_{1}},\bm{e_{2}} \ and \ \bm{e_{3}} \ are \ orthogon...
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この記事では、双対基底が満たすべき関係として $\bm{e_{i}} ...
双対基底の概念の拠り所ともなっている数学的な背景は、次の ...
また、基底が直交しない場合、ベクトルの成分を表わすのは面...
.. _共変ベクトルと反変ベクトル: http://www12.plala.or.jp/...
.. _ベクトル空間と線形写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _ベクトルの成分を表わす: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: DualBases@@
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