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双線形関数
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ベクトルは、抽象的にはベクトル空間という集合の元だと考え...
このような抽象的な代数構造は、慣れないと無味乾燥な議論に...
私達は テンソルの概念_ で紹介したように、ベクトルを拡張し...
まず手始めに、二階のテンソルが、どのようにベクトル(一階...
まずは記号
---------------------------------------------------
議論に先立って、これから使う記号を導入しておきます。ベク...
このことを、次のように記号で書くことにします。
<tex>
V = L_{1}(V^{*})
</tex>
右辺の $L$ は線形( $linear$ )の意味で、『 $V$ は $V^{*}$ ...
【線形関数の性質】
<tex>
f({x} + {y})= f({x}) + f({y}) , \ \ {x},{y}\in V, \ f \in...
</tex>
<tex>
f(\alpha {x})=\alpha f({x}) , \ \ {x},{y}\in V, \ f \in V...
</tex>
式 $(1)(2)$ を一つに組み合わせて次のように書いてしまうこ...
<tex>
f(\alpha {x} +\beta {y})=\alpha f({x}) +\beta f({y}) \tag...
</tex>
双線形関数
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ベクトル代数の分野で考えた線形汎関数は一変数でしたが、こ...
ベクトルの双対基底を考えたときは、一変数の線形関数だけを...
ベクトル空間 $V^{*}\times V^{*}$ の元に対し、関数 $\psi$ ...
【双線形関数の性質】
<tex>
\psi (\alpha {x}+\beta {x},{y} )=\alpha \psi ({x},{y})+ \...
</tex>
<tex>
\psi ({x}, \alpha {y}+\beta {y} )=\alpha \psi ({x},{y})+ ...
</tex>
線形関数の性質 $(3)$ とよく見比べてみて下さい。双線形関数...
双線形関数のつくるベクトル空間
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
双線形関数の集合はベクトル空間を形成します! $\psi , \tau...
【和 $\psi + \tau $ が双線形性を持つこと】
<tex>
(\psi +\tau )(x_{1}+x_{2}, y) &=\psi (x_{1}+x_{2}, y)+\ta...
&= \psi (x_{1},y)+\psi (x_{2},y) + \tau (x_{1},y)+\tau (x...
&= \psi (x_{1},y)+ \tau (x_{1},y)+ \psi (x_{2},y) + \tau ...
&= (\psi + \tau )(x_{1},y)+(\psi + \tau )(x_{2},y)
</tex>
<tex>
(\psi + \tau )(cx,y) &=\psi (cx,y)+\tau (cx,y) \\
&= c\psi (x,y) + c\tau (x,y) \\
&= c(\psi (x,y)+\tau (x,y) ) \\
&= c(\psi + \tau )(x,y)
</tex>
【スカラー積 $c\psi $ が双線形性を持つこと】
<tex>
(c\psi )(x_{1}+x_{2}, y) &=c\psi (x_{1}+x_{2}, y) \\
&= c\psi (x_{1},y)+c\psi (x_{2},y) \\
&= (c\psi )(x_{1},y)+ (c\psi )(x_{2},y)
</tex>
<tex>
(c\psi )(ax,y) &=c\psi (ax,y) \\
&= ca\psi (x,y) \\
&= ac\psi (x,y) \\
&= a(c\psi )(x,y)
</tex>
証明では $x$ に関する線形性だけを示しましたが、 $y$ に対...
最初に導入した記号を使えば、次のように書いても良いでしょ...
<tex>
V \otimes V = L_{2}(V^{*})
</tex>
.. important::
双線形関数の全体は、ベクトル空間( $V \otimes V = L_{2}(...
右辺の添字 $2$ は双線形関数が二変数だからです。ムウゥ!な...
.. [*] 最初から $V^{*}$ の元に対する双線形汎関数を考えて...
.. _二項演算と「閉じている」:
.. _テンソルとベクトル空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _ベクトル空間と線形写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _テンソルの概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: BilinearFunction@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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双線形関数
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ベクトルは、抽象的にはベクトル空間という集合の元だと考え...
このような抽象的な代数構造は、慣れないと無味乾燥な議論に...
私達は テンソルの概念_ で紹介したように、ベクトルを拡張し...
まず手始めに、二階のテンソルが、どのようにベクトル(一階...
まずは記号
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議論に先立って、これから使う記号を導入しておきます。ベク...
このことを、次のように記号で書くことにします。
<tex>
V = L_{1}(V^{*})
</tex>
右辺の $L$ は線形( $linear$ )の意味で、『 $V$ は $V^{*}$ ...
【線形関数の性質】
<tex>
f({x} + {y})= f({x}) + f({y}) , \ \ {x},{y}\in V, \ f \in...
</tex>
<tex>
f(\alpha {x})=\alpha f({x}) , \ \ {x},{y}\in V, \ f \in V...
</tex>
式 $(1)(2)$ を一つに組み合わせて次のように書いてしまうこ...
<tex>
f(\alpha {x} +\beta {y})=\alpha f({x}) +\beta f({y}) \tag...
</tex>
双線形関数
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ベクトル代数の分野で考えた線形汎関数は一変数でしたが、こ...
ベクトルの双対基底を考えたときは、一変数の線形関数だけを...
ベクトル空間 $V^{*}\times V^{*}$ の元に対し、関数 $\psi$ ...
【双線形関数の性質】
<tex>
\psi (\alpha {x}+\beta {x},{y} )=\alpha \psi ({x},{y})+ \...
</tex>
<tex>
\psi ({x}, \alpha {y}+\beta {y} )=\alpha \psi ({x},{y})+ ...
</tex>
線形関数の性質 $(3)$ とよく見比べてみて下さい。双線形関数...
双線形関数のつくるベクトル空間
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双線形関数の集合はベクトル空間を形成します! $\psi , \tau...
【和 $\psi + \tau $ が双線形性を持つこと】
<tex>
(\psi +\tau )(x_{1}+x_{2}, y) &=\psi (x_{1}+x_{2}, y)+\ta...
&= \psi (x_{1},y)+\psi (x_{2},y) + \tau (x_{1},y)+\tau (x...
&= \psi (x_{1},y)+ \tau (x_{1},y)+ \psi (x_{2},y) + \tau ...
&= (\psi + \tau )(x_{1},y)+(\psi + \tau )(x_{2},y)
</tex>
<tex>
(\psi + \tau )(cx,y) &=\psi (cx,y)+\tau (cx,y) \\
&= c\psi (x,y) + c\tau (x,y) \\
&= c(\psi (x,y)+\tau (x,y) ) \\
&= c(\psi + \tau )(x,y)
</tex>
【スカラー積 $c\psi $ が双線形性を持つこと】
<tex>
(c\psi )(x_{1}+x_{2}, y) &=c\psi (x_{1}+x_{2}, y) \\
&= c\psi (x_{1},y)+c\psi (x_{2},y) \\
&= (c\psi )(x_{1},y)+ (c\psi )(x_{2},y)
</tex>
<tex>
(c\psi )(ax,y) &=c\psi (ax,y) \\
&= ca\psi (x,y) \\
&= ac\psi (x,y) \\
&= a(c\psi )(x,y)
</tex>
証明では $x$ に関する線形性だけを示しましたが、 $y$ に対...
最初に導入した記号を使えば、次のように書いても良いでしょ...
<tex>
V \otimes V = L_{2}(V^{*})
</tex>
.. important::
双線形関数の全体は、ベクトル空間( $V \otimes V = L_{2}(...
右辺の添字 $2$ は双線形関数が二変数だからです。ムウゥ!な...
.. [*] 最初から $V^{*}$ の元に対する双線形汎関数を考えて...
.. _二項演算と「閉じている」:
.. _テンソルとベクトル空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _ベクトル空間と線形写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _テンソルの概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: BilinearFunction@@
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