記事ソース/先端放電(改)
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
尖端放電(改)
=========================================================...
どうも、間違いを修正してみました。これなら、つじつまが合...
電荷が作る電場は、尖ったものの先端において、大きくなり
電子を放出しやすくなります。どんな電界が生じるのかを
書くことにします。
簡単のため、下図の様な二次元極座標 $(r,\theta)$ で考えま...
クサビ型の金属で奥行きを $z$ 方向としてもらって構いません。
金属表面は等電位面であります。しかし、表面電荷はそんざい...
.. image :: chromel-sentan-01-t.png
真空におけるラプラス方程式は、
<tex>
\vartriangle V(r,\theta) = \left( \frac{1}{r}\frac{\parti...
</tex>
ここで、変数分離法を用い、 $r$ 方向と $\theta$ 方向の常微...
つまり、 $V(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)$ と仮定して、式 ...
すると、
<tex>
r \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial R}{\partia...
</tex>
両辺 $R\Theta$ で割って、移項すれば、
<tex>
r \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial R}{\partia...
</tex>
これは、左辺が $r$ のみの関数、右辺が $\theta$ のみの関数...
これは実定数 $(k>0)$ の二乗 $k^2$ [*]_ に等しいことが分...
.. [*] $k^2$ が負だと $r$ 方向の方程式が、虚数の解をもつ...
よって、この式は、
<tex>
\frac{\partial^2 \Theta}{\partial \theta^2} = - k^2 \Thet...
</tex>
<tex>
r \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial R}{\partia...
</tex>
式 $(4)$ は、単振動でお馴染みの式ですね。これをとくと、
<tex>
\Theta = A \sin (k \theta + \phi) \tag{##}
</tex>
境界条件 $\theta=0 , 2\pi-\alpha $ の時、 $k \times 0 + \...
とします。つまり、 $\phi=0$ , $ k=\dfrac{\pi}{2\pi-\alpha...
これで、 $\theta$ 方向は解けました。次は動径方向です。 $R...
<tex>
r \times d r^{d-1}+r^2 \times d(d-1) r^{d-2} &= d^2 r^{d}...
&= k^2 r^d \tag{##}
</tex>
よって、 $d^2=k^2$ が得られます。正負の符号の内、
信じられないかもしれませんが、無限遠で発散する $d=k>0$ が...
これは、原点近傍のみで有効であります。
この正の解を取る理由としては、例えば、 $\alpha=\pi$ の時...
xy平面の下半分が金属という状態です。この時、 $k=\dfrac{\p...
本来、平面状の一様な面電荷が作る電場は、面に垂直で距離を...
つまり、例えばポテンシャルとしては、 $V(x,y,z)=Ay$ のよう...
よって、ここで $V(r, \theta ) = A r \sin \theta = Ay $ と...
これは、 $d=k=1>0$ とすれば、見事に、
<tex>
V(r, \theta ) &= R(r) \Theta ( \theta ) \\
&=A r \sin k \theta \\
&=A r \sin \theta \\
&=A y
</tex>
となる訳です。ここで、 $\alpha=\pi$ だった、
クサビの尖り具合をしめす $\alpha$ は、連続的変化で $\alph...
結局、 $\alpha \to 0$ とした時、
<tex>
V(r,\theta) &= A r^{ \pi/2\pi - \alpha } \sin \dfrac{\pi ...
&\to A r^{1/2} \sin \dfrac{\theta}{2}
</tex>
となり、原点近傍において $ \theta= \pi $ の方向に、 $ r^{...
これが、尖ったものが静電気を放電しやすい原理です。
それでは、今日はここまで。
@@reference: J.D.ジャクソン著、西田稔訳, 電磁気学(上), ...
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-11-21@@
@@category:電磁気学@@
@@id:sentan@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
尖端放電(改)
=========================================================...
どうも、間違いを修正してみました。これなら、つじつまが合...
電荷が作る電場は、尖ったものの先端において、大きくなり
電子を放出しやすくなります。どんな電界が生じるのかを
書くことにします。
簡単のため、下図の様な二次元極座標 $(r,\theta)$ で考えま...
クサビ型の金属で奥行きを $z$ 方向としてもらって構いません。
金属表面は等電位面であります。しかし、表面電荷はそんざい...
.. image :: chromel-sentan-01-t.png
真空におけるラプラス方程式は、
<tex>
\vartriangle V(r,\theta) = \left( \frac{1}{r}\frac{\parti...
</tex>
ここで、変数分離法を用い、 $r$ 方向と $\theta$ 方向の常微...
つまり、 $V(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)$ と仮定して、式 ...
すると、
<tex>
r \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial R}{\partia...
</tex>
両辺 $R\Theta$ で割って、移項すれば、
<tex>
r \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial R}{\partia...
</tex>
これは、左辺が $r$ のみの関数、右辺が $\theta$ のみの関数...
これは実定数 $(k>0)$ の二乗 $k^2$ [*]_ に等しいことが分...
.. [*] $k^2$ が負だと $r$ 方向の方程式が、虚数の解をもつ...
よって、この式は、
<tex>
\frac{\partial^2 \Theta}{\partial \theta^2} = - k^2 \Thet...
</tex>
<tex>
r \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial R}{\partia...
</tex>
式 $(4)$ は、単振動でお馴染みの式ですね。これをとくと、
<tex>
\Theta = A \sin (k \theta + \phi) \tag{##}
</tex>
境界条件 $\theta=0 , 2\pi-\alpha $ の時、 $k \times 0 + \...
とします。つまり、 $\phi=0$ , $ k=\dfrac{\pi}{2\pi-\alpha...
これで、 $\theta$ 方向は解けました。次は動径方向です。 $R...
<tex>
r \times d r^{d-1}+r^2 \times d(d-1) r^{d-2} &= d^2 r^{d}...
&= k^2 r^d \tag{##}
</tex>
よって、 $d^2=k^2$ が得られます。正負の符号の内、
信じられないかもしれませんが、無限遠で発散する $d=k>0$ が...
これは、原点近傍のみで有効であります。
この正の解を取る理由としては、例えば、 $\alpha=\pi$ の時...
xy平面の下半分が金属という状態です。この時、 $k=\dfrac{\p...
本来、平面状の一様な面電荷が作る電場は、面に垂直で距離を...
つまり、例えばポテンシャルとしては、 $V(x,y,z)=Ay$ のよう...
よって、ここで $V(r, \theta ) = A r \sin \theta = Ay $ と...
これは、 $d=k=1>0$ とすれば、見事に、
<tex>
V(r, \theta ) &= R(r) \Theta ( \theta ) \\
&=A r \sin k \theta \\
&=A r \sin \theta \\
&=A y
</tex>
となる訳です。ここで、 $\alpha=\pi$ だった、
クサビの尖り具合をしめす $\alpha$ は、連続的変化で $\alph...
結局、 $\alpha \to 0$ とした時、
<tex>
V(r,\theta) &= A r^{ \pi/2\pi - \alpha } \sin \dfrac{\pi ...
&\to A r^{1/2} \sin \dfrac{\theta}{2}
</tex>
となり、原点近傍において $ \theta= \pi $ の方向に、 $ r^{...
これが、尖ったものが静電気を放電しやすい原理です。
それでは、今日はここまで。
@@reference: J.D.ジャクソン著、西田稔訳, 電磁気学(上), ...
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-11-21@@
@@category:電磁気学@@
@@id:sentan@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.002 sec.