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正十七角形の作図
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正十七角形の作図法がガウス $(\text{carl Friedrich Gauss (...
ガウスの作図法はガウスの著書 $Disquisitiones \ Arithmetic...
.. figure:: Joh-Gauss.gif
史上最大の数学者と言われるガウス。ガウスが手を出さなかっ...
正十七角形
----------------------------------------------------
基本的には 正五角形の作図_ と全く同じ議論を使いますが、正...
まず、 $1$ の $17$ 乗根を考えます。
<tex>
f(x) &=x^{17}-1 \\
&=(x-1)(x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+...
</tex>
ここで、 $\zeta = e^{\frac{2\pi i}{17}}$ と置くと、 $f(x)...
指数の ${3^{k} \ {\rm mod.}17}$ の部分を $i=0,1,...,15$ ...
.. csv-table::
:header: " $k$ ", "0", "1","2","3","4", "5","6","7","8...
" ${3^{k} \ {\rm mod.}17}$ ", "1", "3","9","10","13", "5...
この表を使えば、 $\phi_{k}$ を $\sigma^{n}(\zeta )$ に一...
<tex>
\cal G \it (E/Q) = \{ e(=\sigma^{0}), \sigma ,\sigma^{2},...
</tex>
この表は後で何度も利用することになります。さて、次に考え...
<tex>
G_{1}=\{ e, \sigma^{8} \}
</tex>
<tex>
G_{2}=\{ e, \sigma^{4} , \sigma^{8} , \sigma^{12} \}
</tex>
<tex>
G_{3}=\{ e, \sigma^{2}, \sigma^{4} , \sigma^{6} , \sigma^...
</tex>
この三つが $\cal G \it (E/Q)$ の(自明ではない)正規部分...
<tex>
\{ e \} = G_{0} \subset G_{1} \subset G_{2} \subset G_{3}...
</tex>
ガロア理論の基本定理により、これに対応して $Q$ と $E$ の...
<tex>
Q \subset B_{3} \subset B_{2} \subset B_{1} \subset E
</tex>
この後の方針は、 $G_{1},G_{2},G_{3}$ の元に対し、 $B_{1},...
B3
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
まず $B_{3}$ を固定体とする $\cal G \it (E/Q)$ の部分群 $...
ここで $E$ の元の基底ですが、 $\{ \zeta^{3^{0} }, \zeta^...
一般に、 $E$ の元を $\alpha = a_{0}\zeta_{0} +a_{1}\zeta_...
<tex>
\sigma^{2}(\alpha) &=\sigma^{2}( a_{0}\zeta_{0} +a_{1}\ze...
& = a_{0}\sigma^{2}(\zeta_{0}) +a_{1}\sigma^{2}(\zeta_{1}...
&= a_{0}\zeta_{2} +a_{1}\zeta_{3}+a_{2}\zeta_{4}+...+a_{1...
</tex>
これより、 $\sigma^{2}(\alpha )=\alpha$ が成り立つために...
<tex>
a_{0}=a_{2}=a_{4}=a_{6}=a_{8}=a_{10}=a_{12}=a_{14}
</tex>
<tex>
a_{1}=a_{3}=a_{5}==a_{7}=a_{9}=a_{11}=a_{13}=a_{15}
</tex>
よって、 $\alpha$ を次のように書き直すことが出来ます。
<tex>
\alpha &= a_{0}\zeta_{0} +a_{1}\zeta_{1}+a_{2}\zeta_{2}+....
& \equiv a_{0}\eta_{0} + a_{1}\eta_{1} \tag{4}
</tex>
ここで置いた $\eta_{0}$ と $\eta_{1}$ は、それぞれ $\zeta...
<tex>
\eta_{0}&=\zeta_{0}+\zeta_{2}+\zeta_{4}+\zeta_{6}+\zeta_{...
&= \zeta+\zeta^{9}+\zeta^{13}+\zeta^{15}+\zeta^{16}+\zeta...
</tex>
<tex>
\eta_{1}&=\zeta_{1}+\zeta_{3}+\zeta_{5}+\zeta_{7}+\zeta_{...
&= \zeta^{3}+\zeta^{10}+\zeta^{5}+\zeta^{11}+\zeta^{14}+\...
</tex>
当然、 $\eta_{0}+\eta_{1}=-1$ がなりたちます。次に、積 $\...
.. csv-table::
:header: "", " $\zeta$ ", " $\zeta^{9}$ "," $\zeta_{13...
" $\zeta^{3}$ ", " $\zeta^{4}$ ", " $\zeta^{12}$ "," $\...
" $\zeta^{10}$ ", " $\zeta^{11}$ ", " $\zeta^{2}$ "," $...
" $\zeta^{5}$ ", " $\zeta^{6}$ ", " $\zeta^{14}$ "," $\...
" $\zeta^{11}$ ", " $\zeta^{12}$ ", " $\zeta^{3}$ "," $...
" $\zeta^{14}$ ", " $\zeta^{15}$ ", " $\zeta^{6}$ "," $...
" $\zeta^{7}$ ", " $\zeta^{8}$ ", " $\zeta^{16}$ "," $\z...
" $\zeta^{12}$ ", " $\zeta^{13}$ ", " $\zeta^{4}$ "," $...
" $\zeta^{6}$ ", " $\zeta^{7}$ ", " $\zeta^{15}$ "," $\...
表より、 $\zeta , \zeta^{2} ,....,\zeta^{16}$ がそれぞれ ...
.. [*] 実際に式 $(5)(6)$ を地道に計算しなくても、 $\zeta^...
もう一度、 $\eta_{0}$ と $\eta_{1}$ の関係式をまとめてみ...
<tex>
\eta_{0}+\eta_{1}=-1 \tag{7}
</tex>
<tex>
\eta_{0}\eta_{1}=-4 \tag{8}
</tex>
式 $(7)(8)$ と二次方程式の解と係数の関係より、 $\eta_{0}$...
<tex>
\eta_{0}, \ \eta_{1} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}
</tex>
中間体 $B_{3}$ は $Q$ の二次拡大体で、 $B_{3}=Q(\sqrt{17}...
.. [*] これが三次拡大以上ならば、一般に $B_{3}$ は作図可...
B2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
次に、中間体 $B_{2}$ を考えます。 $B_{2}$ を固定体とする ...
<tex>
\sigma^{4}(\alpha) &=\sigma^{4}( a_{0}\zeta_{0} +a_{1}\ze...
&= a_{0}\sigma^{4}(\zeta_{0}) +a_{1}\sigma^{4}(\zeta_{1})...
&= a_{0}\zeta_{4} +a_{1}\zeta_{5}+a_{2}\zeta_{6}+...+a_{1...
</tex>
式 $(9)$ と $\sigma^{4}(\alpha )=\alpha$ より、次の条件が...
<tex>
a_{0}=a_{4}=a_{8}=a_{12}
</tex>
<tex>
a_{1}=a_{5}=a_{9}=a_{13}
</tex>
<tex>
a_{2}=a_{6}=a_{10}=a_{14}
</tex>
<tex>
a_{3}=a_{7}=a_{11}=a_{15}
</tex>
これより、一般に $B_{2}$ の元は $\alpha = a_{0}\xi_{0}+a_...
<tex>
\xi_{0}=\zeta_{0}+\zeta_{4}+\zeta_{8}+\zeta_{12}
</tex>
<tex>
\xi_{1}=\zeta_{1}+\zeta_{5}+\zeta_{9}+\zeta_{13}
</tex>
<tex>
\xi_{2}=\zeta_{2}+\zeta_{6}+\zeta_{10}+\zeta_{14}
</tex>
<tex>
\xi_{3}=\zeta_{3}+\zeta_{7}+\zeta_{11}+\zeta_{15}
</tex>
ここで、 $\xi_{0}+\xi_{2}=\eta_{0}$ がなりたっています。...
<tex>
\xi_{0}\xi_{2} &=(\zeta_{0}+\zeta_{4}+\zeta_{8}+\zeta_{12...
&=(\zeta+\zeta^{13}+\zeta^{16}+\zeta^{4})(\zeta^{9}+\zeta...
&= \zeta^{10}+\zeta^{16}+\zeta^{9}+\zeta^{3}+ \zeta^{5}+\...
& \ \ + \zeta^{8}+\zeta^{14}+\zeta^{7}+\zeta + \zeta^{13}...
&= -1
</tex>
同様に、 $\xi_{1}+\xi_{3}=\eta_{1}$ , $\xi_{1}\xi_{3}=-1$...
二つの二次方程式を $x^{2}-\eta x+1=0$ とまとめ、その解を ...
<tex>
\xi_{i}, \ \xi_{i+2} = \frac{\eta_{i} \pm \sqrt{\eta_{i}^...
</tex>
B1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
引き続き、中間体 $B_{1}$ について調べます。手順は $B_{3}$...
<tex>
a_{0}=a_{8}
</tex>
<tex>
a_{1}=a_{9}
</tex>
<tex>
a_{2}=a_{10}
</tex>
<tex>
a_{3}=a_{11}
</tex>
<tex>
a_{4}=a_{12}
</tex>
<tex>
a_{5}=a_{13}
</tex>
<tex>
a_{6}=a_{14}
</tex>
<tex>
a_{7}=a_{15}
</tex>
そこで、一般に $B_{1}$ の元は $\alpha =a_{0}\lambda_{0}+a...
<tex>
\lambda_{0}=\zeta_{0} + \zeta_{8}
</tex>
<tex>
\lambda_{1}=\zeta_{1} + \zeta_{9}
</tex>
<tex>
\lambda_{2}=\zeta_{2} + \zeta_{10}
</tex>
<tex>
\lambda_{3}=\zeta_{3} + \zeta_{11}
</tex>
<tex>
\lambda_{4}=\zeta_{4} + \zeta_{12}
</tex>
<tex>
\lambda_{5}=\zeta_{5} + \zeta_{13}
</tex>
<tex>
\lambda_{6}=\zeta_{6} + \zeta_{14}
</tex>
<tex>
\lambda_{7}=\zeta_{7} + \zeta_{15}
</tex>
これら $\lambda_{i}$ の和に関しては、次の関係がなりたって...
<tex>
\lambda_{0}+ \lambda_{4}=\xi_{0}
</tex>
<tex>
\lambda_{1}+ \lambda_{5}=\xi_{1}
</tex>
<tex>
\lambda_{2}+ \lambda_{6}=\xi_{2}
</tex>
<tex>
\lambda_{3}+ \lambda_{7}=\xi_{3}
</tex>
また、積は少し面倒ですので $\lambda_{0} \lambda_{4}$ だけ...
<tex>
\lambda_{0} \lambda_{4}&=(\zeta_{0} + \zeta_{8})(\zeta_{4...
& =(\zeta + \zeta^{16})(\zeta^{13}+\zeta^{4}) \\
&= \zeta^{14} + \zeta^{5} + \zeta^{12} + \zeta^{3} \\
&= \zeta_{9} + \zeta_{5} + \zeta_{13} + \zeta_{1} \\
&= \xi_{1}
</tex>
同様に、 $\lambda_{1} \lambda_{5}=\xi_{2}$ , $\lambda_{2...
この $4$ つの二次方程式の係数には $\xi_{0},\xi_{1},\xi_{2...
<tex>
\xi_{1} = \frac{\xi_{0}-1}{\xi_{0}+1}
</tex>
<tex>
\xi_{2} = \frac{\xi_{1}-1}{\xi_{1}+1}
</tex>
<tex>
\xi_{3} = \frac{\xi_{2}-1}{\xi_{2}+1}
</tex>
<tex>
\xi_{0} = \frac{\xi_{3}-1}{\xi_{3}+1}
</tex>
これらの関係式を使うと、 $4$ つずつまとめて『 $\lambda_{i...
<tex>
\lambda_{i},\ \lambda_{i+4} = \frac{(\xi_{i}+1)\xi_{i} \...
</tex>
E
---------------------------------------------------------
最後に $E$ そのものを考えます。 $E$ に対応するガロア部分...
<tex>
\lambda_{0}=\zeta_{0} + \zeta_{8}
</tex>
<tex>
\lambda_{1}=\zeta_{1} + \zeta_{9}
</tex>
<tex>
\lambda_{2}=\zeta_{2} + \zeta_{10}
</tex>
<tex>
\lambda_{3}=\zeta_{3} + \zeta_{11}
</tex>
<tex>
\lambda_{4}=\zeta_{4} + \zeta_{12}
</tex>
<tex>
\lambda_{5}=\zeta_{5} + \zeta_{13}
</tex>
<tex>
\lambda_{6}=\zeta_{6} + \zeta_{14}
</tex>
<tex>
\lambda_{7}=\zeta_{7} + \zeta_{15}
</tex>
これと、次の関係に注意します。
<tex>
\zeta_{0} \zeta_{8} = \zeta \zeta^{16} = 1
</tex>
<tex>
\zeta_{1} \zeta_{9} = \zeta^{3} \zeta^{14} = 1
</tex>
<tex>
\zeta_{2} \zeta_{10}= \zeta^{9} \zeta^{8} = 1
</tex>
<tex>
\zeta_{3} \zeta_{11}= \zeta^{10} \zeta^{7} = 1
</tex>
<tex>
\zeta_{4} \zeta_{12}= \zeta^{13} \zeta^{4} = 1
</tex>
<tex>
\zeta_{5} \zeta_{13}= \zeta^{5} \zeta^{12} = 1
</tex>
<tex>
\zeta_{6} \zeta_{14}= \zeta^{15} \zeta^{2} = 1
</tex>
<tex>
\zeta_{7} \zeta_{15}= \zeta^{11} \zeta^{6} = 1
</tex>
これより、 $\zeta_{i}, \ \zeta_{i+8}$ は、 $B_{1}$ 上の二...
<tex>
\zeta_{i}, \ \zeta_{i+8} = \frac{\lambda_{i} \pm \sqrt{\l...
</tex>
まとめ
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
いままでの結果をまとめて見ます。
1. $E=B_{1}(\zeta )$ で、 $\zeta$ は $B_{1}$ 上の二次方...
2. $B_{1}=B_{2}(\lambda )$ で、 $\lambda$ は $B_{2}$ 上...
3. $B_{2}=B_{3}(\xi )$ で、 $\xi$ は $B_{3}$ 上の二次方...
4. $B_{3}=Q(\eta )$ で、 $\eta$ は $Q$ 上の二次方程式 $x...
正十七角形が作図可能である理由は、この $Q$ から $E$ に至...
.. [*] 次に作図可能な正素数角形は、正 $257$ 角形と正 $655...
実際に先ほどの二次方程式に対して解の公式を繰り返すことで...
<tex>
\cos \left( \frac{2\pi }{17} \right) &= \Re [\zeta ] \\
&=\Re[ \zeta_{0} ] \\
&=\Re \left[ \frac{\lambda_{0} + \sqrt{\lambda_{0}^{2}-4...
&= \frac{\lambda_{0}}{2} \\
&= \frac{1}{2}\cdot \frac{(\xi +1)\xi + \sqrt{(\xi +1)^{2...
&= \frac{1}{2}\cdot \frac{(\left( \frac{\eta + \sqrt{\eta...
&= \frac{1}{2}\cdot \frac{(\left( \frac{\left( \frac{-1+\...
</tex>
どんどん入れ子構造になっていきますが、整理すると次のよう...
<tex>
\cos \left( \frac{2\pi }{17} \right) = -\frac{1}{16}+\fra...
</tex>
.. [*] しつこくも強調しておきますが、最初から三角関数の加...
.. image:: Joh-heptadecagon1.gif
ここから先は、相当マニアックな人向けです。
【正十七角形の作図法】
1. まず適当に点 $O$ と $H1$ を決め、円を描きます。
2. $OH1$ に垂直な線を $O$ から引き、円との交点を $A$ と...
3. $OA$ の四分の一の点を $B$ とします。
4. $\angle OBH1$ を四等分する点を $C$ とします。
5. $\angle COD = 45^{o}$ となる点 $D$ を取ります。
6. $DH1$ を直径とする円を描き、この円と $OA$ の交点を $E...
7. $C$ を中心に $E$ を通る円を描き、この円と $OH1$ の交...
8. $F$ から $OH1$ に垂直な線を引き、円との交点を $H4$ と...
9. この $H4$ が $H1$ から見て $3$ つ目の頂点になります。...
.. image:: Joh-heptadecagon2.gif
.. _正五角形の作図:
.. _ギリシャ三大作図問題:
@@author:Joh@@
@@accept: 2007-03-03@@
@@category: 代数学@@
@@id: ConstructHeptadecagon@@
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正十七角形の作図
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正十七角形の作図法がガウス $(\text{carl Friedrich Gauss (...
ガウスの作図法はガウスの著書 $Disquisitiones \ Arithmetic...
.. figure:: Joh-Gauss.gif
史上最大の数学者と言われるガウス。ガウスが手を出さなかっ...
正十七角形
----------------------------------------------------
基本的には 正五角形の作図_ と全く同じ議論を使いますが、正...
まず、 $1$ の $17$ 乗根を考えます。
<tex>
f(x) &=x^{17}-1 \\
&=(x-1)(x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+...
</tex>
ここで、 $\zeta = e^{\frac{2\pi i}{17}}$ と置くと、 $f(x)...
指数の ${3^{k} \ {\rm mod.}17}$ の部分を $i=0,1,...,15$ ...
.. csv-table::
:header: " $k$ ", "0", "1","2","3","4", "5","6","7","8...
" ${3^{k} \ {\rm mod.}17}$ ", "1", "3","9","10","13", "5...
この表を使えば、 $\phi_{k}$ を $\sigma^{n}(\zeta )$ に一...
<tex>
\cal G \it (E/Q) = \{ e(=\sigma^{0}), \sigma ,\sigma^{2},...
</tex>
この表は後で何度も利用することになります。さて、次に考え...
<tex>
G_{1}=\{ e, \sigma^{8} \}
</tex>
<tex>
G_{2}=\{ e, \sigma^{4} , \sigma^{8} , \sigma^{12} \}
</tex>
<tex>
G_{3}=\{ e, \sigma^{2}, \sigma^{4} , \sigma^{6} , \sigma^...
</tex>
この三つが $\cal G \it (E/Q)$ の(自明ではない)正規部分...
<tex>
\{ e \} = G_{0} \subset G_{1} \subset G_{2} \subset G_{3}...
</tex>
ガロア理論の基本定理により、これに対応して $Q$ と $E$ の...
<tex>
Q \subset B_{3} \subset B_{2} \subset B_{1} \subset E
</tex>
この後の方針は、 $G_{1},G_{2},G_{3}$ の元に対し、 $B_{1},...
B3
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
まず $B_{3}$ を固定体とする $\cal G \it (E/Q)$ の部分群 $...
ここで $E$ の元の基底ですが、 $\{ \zeta^{3^{0} }, \zeta^...
一般に、 $E$ の元を $\alpha = a_{0}\zeta_{0} +a_{1}\zeta_...
<tex>
\sigma^{2}(\alpha) &=\sigma^{2}( a_{0}\zeta_{0} +a_{1}\ze...
& = a_{0}\sigma^{2}(\zeta_{0}) +a_{1}\sigma^{2}(\zeta_{1}...
&= a_{0}\zeta_{2} +a_{1}\zeta_{3}+a_{2}\zeta_{4}+...+a_{1...
</tex>
これより、 $\sigma^{2}(\alpha )=\alpha$ が成り立つために...
<tex>
a_{0}=a_{2}=a_{4}=a_{6}=a_{8}=a_{10}=a_{12}=a_{14}
</tex>
<tex>
a_{1}=a_{3}=a_{5}==a_{7}=a_{9}=a_{11}=a_{13}=a_{15}
</tex>
よって、 $\alpha$ を次のように書き直すことが出来ます。
<tex>
\alpha &= a_{0}\zeta_{0} +a_{1}\zeta_{1}+a_{2}\zeta_{2}+....
& \equiv a_{0}\eta_{0} + a_{1}\eta_{1} \tag{4}
</tex>
ここで置いた $\eta_{0}$ と $\eta_{1}$ は、それぞれ $\zeta...
<tex>
\eta_{0}&=\zeta_{0}+\zeta_{2}+\zeta_{4}+\zeta_{6}+\zeta_{...
&= \zeta+\zeta^{9}+\zeta^{13}+\zeta^{15}+\zeta^{16}+\zeta...
</tex>
<tex>
\eta_{1}&=\zeta_{1}+\zeta_{3}+\zeta_{5}+\zeta_{7}+\zeta_{...
&= \zeta^{3}+\zeta^{10}+\zeta^{5}+\zeta^{11}+\zeta^{14}+\...
</tex>
当然、 $\eta_{0}+\eta_{1}=-1$ がなりたちます。次に、積 $\...
.. csv-table::
:header: "", " $\zeta$ ", " $\zeta^{9}$ "," $\zeta_{13...
" $\zeta^{3}$ ", " $\zeta^{4}$ ", " $\zeta^{12}$ "," $\...
" $\zeta^{10}$ ", " $\zeta^{11}$ ", " $\zeta^{2}$ "," $...
" $\zeta^{5}$ ", " $\zeta^{6}$ ", " $\zeta^{14}$ "," $\...
" $\zeta^{11}$ ", " $\zeta^{12}$ ", " $\zeta^{3}$ "," $...
" $\zeta^{14}$ ", " $\zeta^{15}$ ", " $\zeta^{6}$ "," $...
" $\zeta^{7}$ ", " $\zeta^{8}$ ", " $\zeta^{16}$ "," $\z...
" $\zeta^{12}$ ", " $\zeta^{13}$ ", " $\zeta^{4}$ "," $...
" $\zeta^{6}$ ", " $\zeta^{7}$ ", " $\zeta^{15}$ "," $\...
表より、 $\zeta , \zeta^{2} ,....,\zeta^{16}$ がそれぞれ ...
.. [*] 実際に式 $(5)(6)$ を地道に計算しなくても、 $\zeta^...
もう一度、 $\eta_{0}$ と $\eta_{1}$ の関係式をまとめてみ...
<tex>
\eta_{0}+\eta_{1}=-1 \tag{7}
</tex>
<tex>
\eta_{0}\eta_{1}=-4 \tag{8}
</tex>
式 $(7)(8)$ と二次方程式の解と係数の関係より、 $\eta_{0}$...
<tex>
\eta_{0}, \ \eta_{1} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}
</tex>
中間体 $B_{3}$ は $Q$ の二次拡大体で、 $B_{3}=Q(\sqrt{17}...
.. [*] これが三次拡大以上ならば、一般に $B_{3}$ は作図可...
B2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
次に、中間体 $B_{2}$ を考えます。 $B_{2}$ を固定体とする ...
<tex>
\sigma^{4}(\alpha) &=\sigma^{4}( a_{0}\zeta_{0} +a_{1}\ze...
&= a_{0}\sigma^{4}(\zeta_{0}) +a_{1}\sigma^{4}(\zeta_{1})...
&= a_{0}\zeta_{4} +a_{1}\zeta_{5}+a_{2}\zeta_{6}+...+a_{1...
</tex>
式 $(9)$ と $\sigma^{4}(\alpha )=\alpha$ より、次の条件が...
<tex>
a_{0}=a_{4}=a_{8}=a_{12}
</tex>
<tex>
a_{1}=a_{5}=a_{9}=a_{13}
</tex>
<tex>
a_{2}=a_{6}=a_{10}=a_{14}
</tex>
<tex>
a_{3}=a_{7}=a_{11}=a_{15}
</tex>
これより、一般に $B_{2}$ の元は $\alpha = a_{0}\xi_{0}+a_...
<tex>
\xi_{0}=\zeta_{0}+\zeta_{4}+\zeta_{8}+\zeta_{12}
</tex>
<tex>
\xi_{1}=\zeta_{1}+\zeta_{5}+\zeta_{9}+\zeta_{13}
</tex>
<tex>
\xi_{2}=\zeta_{2}+\zeta_{6}+\zeta_{10}+\zeta_{14}
</tex>
<tex>
\xi_{3}=\zeta_{3}+\zeta_{7}+\zeta_{11}+\zeta_{15}
</tex>
ここで、 $\xi_{0}+\xi_{2}=\eta_{0}$ がなりたっています。...
<tex>
\xi_{0}\xi_{2} &=(\zeta_{0}+\zeta_{4}+\zeta_{8}+\zeta_{12...
&=(\zeta+\zeta^{13}+\zeta^{16}+\zeta^{4})(\zeta^{9}+\zeta...
&= \zeta^{10}+\zeta^{16}+\zeta^{9}+\zeta^{3}+ \zeta^{5}+\...
& \ \ + \zeta^{8}+\zeta^{14}+\zeta^{7}+\zeta + \zeta^{13}...
&= -1
</tex>
同様に、 $\xi_{1}+\xi_{3}=\eta_{1}$ , $\xi_{1}\xi_{3}=-1$...
二つの二次方程式を $x^{2}-\eta x+1=0$ とまとめ、その解を ...
<tex>
\xi_{i}, \ \xi_{i+2} = \frac{\eta_{i} \pm \sqrt{\eta_{i}^...
</tex>
B1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
引き続き、中間体 $B_{1}$ について調べます。手順は $B_{3}$...
<tex>
a_{0}=a_{8}
</tex>
<tex>
a_{1}=a_{9}
</tex>
<tex>
a_{2}=a_{10}
</tex>
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a_{3}=a_{11}
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a_{4}=a_{12}
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a_{5}=a_{13}
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a_{6}=a_{14}
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a_{7}=a_{15}
</tex>
そこで、一般に $B_{1}$ の元は $\alpha =a_{0}\lambda_{0}+a...
<tex>
\lambda_{0}=\zeta_{0} + \zeta_{8}
</tex>
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\lambda_{1}=\zeta_{1} + \zeta_{9}
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\lambda_{2}=\zeta_{2} + \zeta_{10}
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\lambda_{3}=\zeta_{3} + \zeta_{11}
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\lambda_{4}=\zeta_{4} + \zeta_{12}
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\lambda_{5}=\zeta_{5} + \zeta_{13}
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\lambda_{6}=\zeta_{6} + \zeta_{14}
</tex>
<tex>
\lambda_{7}=\zeta_{7} + \zeta_{15}
</tex>
これら $\lambda_{i}$ の和に関しては、次の関係がなりたって...
<tex>
\lambda_{0}+ \lambda_{4}=\xi_{0}
</tex>
<tex>
\lambda_{1}+ \lambda_{5}=\xi_{1}
</tex>
<tex>
\lambda_{2}+ \lambda_{6}=\xi_{2}
</tex>
<tex>
\lambda_{3}+ \lambda_{7}=\xi_{3}
</tex>
また、積は少し面倒ですので $\lambda_{0} \lambda_{4}$ だけ...
<tex>
\lambda_{0} \lambda_{4}&=(\zeta_{0} + \zeta_{8})(\zeta_{4...
& =(\zeta + \zeta^{16})(\zeta^{13}+\zeta^{4}) \\
&= \zeta^{14} + \zeta^{5} + \zeta^{12} + \zeta^{3} \\
&= \zeta_{9} + \zeta_{5} + \zeta_{13} + \zeta_{1} \\
&= \xi_{1}
</tex>
同様に、 $\lambda_{1} \lambda_{5}=\xi_{2}$ , $\lambda_{2...
この $4$ つの二次方程式の係数には $\xi_{0},\xi_{1},\xi_{2...
<tex>
\xi_{1} = \frac{\xi_{0}-1}{\xi_{0}+1}
</tex>
<tex>
\xi_{2} = \frac{\xi_{1}-1}{\xi_{1}+1}
</tex>
<tex>
\xi_{3} = \frac{\xi_{2}-1}{\xi_{2}+1}
</tex>
<tex>
\xi_{0} = \frac{\xi_{3}-1}{\xi_{3}+1}
</tex>
これらの関係式を使うと、 $4$ つずつまとめて『 $\lambda_{i...
<tex>
\lambda_{i},\ \lambda_{i+4} = \frac{(\xi_{i}+1)\xi_{i} \...
</tex>
E
---------------------------------------------------------
最後に $E$ そのものを考えます。 $E$ に対応するガロア部分...
<tex>
\lambda_{0}=\zeta_{0} + \zeta_{8}
</tex>
<tex>
\lambda_{1}=\zeta_{1} + \zeta_{9}
</tex>
<tex>
\lambda_{2}=\zeta_{2} + \zeta_{10}
</tex>
<tex>
\lambda_{3}=\zeta_{3} + \zeta_{11}
</tex>
<tex>
\lambda_{4}=\zeta_{4} + \zeta_{12}
</tex>
<tex>
\lambda_{5}=\zeta_{5} + \zeta_{13}
</tex>
<tex>
\lambda_{6}=\zeta_{6} + \zeta_{14}
</tex>
<tex>
\lambda_{7}=\zeta_{7} + \zeta_{15}
</tex>
これと、次の関係に注意します。
<tex>
\zeta_{0} \zeta_{8} = \zeta \zeta^{16} = 1
</tex>
<tex>
\zeta_{1} \zeta_{9} = \zeta^{3} \zeta^{14} = 1
</tex>
<tex>
\zeta_{2} \zeta_{10}= \zeta^{9} \zeta^{8} = 1
</tex>
<tex>
\zeta_{3} \zeta_{11}= \zeta^{10} \zeta^{7} = 1
</tex>
<tex>
\zeta_{4} \zeta_{12}= \zeta^{13} \zeta^{4} = 1
</tex>
<tex>
\zeta_{5} \zeta_{13}= \zeta^{5} \zeta^{12} = 1
</tex>
<tex>
\zeta_{6} \zeta_{14}= \zeta^{15} \zeta^{2} = 1
</tex>
<tex>
\zeta_{7} \zeta_{15}= \zeta^{11} \zeta^{6} = 1
</tex>
これより、 $\zeta_{i}, \ \zeta_{i+8}$ は、 $B_{1}$ 上の二...
<tex>
\zeta_{i}, \ \zeta_{i+8} = \frac{\lambda_{i} \pm \sqrt{\l...
</tex>
まとめ
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
いままでの結果をまとめて見ます。
1. $E=B_{1}(\zeta )$ で、 $\zeta$ は $B_{1}$ 上の二次方...
2. $B_{1}=B_{2}(\lambda )$ で、 $\lambda$ は $B_{2}$ 上...
3. $B_{2}=B_{3}(\xi )$ で、 $\xi$ は $B_{3}$ 上の二次方...
4. $B_{3}=Q(\eta )$ で、 $\eta$ は $Q$ 上の二次方程式 $x...
正十七角形が作図可能である理由は、この $Q$ から $E$ に至...
.. [*] 次に作図可能な正素数角形は、正 $257$ 角形と正 $655...
実際に先ほどの二次方程式に対して解の公式を繰り返すことで...
<tex>
\cos \left( \frac{2\pi }{17} \right) &= \Re [\zeta ] \\
&=\Re[ \zeta_{0} ] \\
&=\Re \left[ \frac{\lambda_{0} + \sqrt{\lambda_{0}^{2}-4...
&= \frac{\lambda_{0}}{2} \\
&= \frac{1}{2}\cdot \frac{(\xi +1)\xi + \sqrt{(\xi +1)^{2...
&= \frac{1}{2}\cdot \frac{(\left( \frac{\eta + \sqrt{\eta...
&= \frac{1}{2}\cdot \frac{(\left( \frac{\left( \frac{-1+\...
</tex>
どんどん入れ子構造になっていきますが、整理すると次のよう...
<tex>
\cos \left( \frac{2\pi }{17} \right) = -\frac{1}{16}+\fra...
</tex>
.. [*] しつこくも強調しておきますが、最初から三角関数の加...
.. image:: Joh-heptadecagon1.gif
ここから先は、相当マニアックな人向けです。
【正十七角形の作図法】
1. まず適当に点 $O$ と $H1$ を決め、円を描きます。
2. $OH1$ に垂直な線を $O$ から引き、円との交点を $A$ と...
3. $OA$ の四分の一の点を $B$ とします。
4. $\angle OBH1$ を四等分する点を $C$ とします。
5. $\angle COD = 45^{o}$ となる点 $D$ を取ります。
6. $DH1$ を直径とする円を描き、この円と $OA$ の交点を $E...
7. $C$ を中心に $E$ を通る円を描き、この円と $OH1$ の交...
8. $F$ から $OH1$ に垂直な線を引き、円との交点を $H4$ と...
9. この $H4$ が $H1$ から見て $3$ つ目の頂点になります。...
.. image:: Joh-heptadecagon2.gif
.. _正五角形の作図:
.. _ギリシャ三大作図問題:
@@author:Joh@@
@@accept: 2007-03-03@@
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