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場のラグランジアンの使い方
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この記事では、中性スカラー場のラグランジアンから、
オイラー・ラグランジュ方程式を使って、運動方程式を導きま...
その計算過程を詳しく示すのが目的です。
ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式
================================================
ここではラグランジアン $\mathcal{L}$ を次の様に定めます。
<tex>
\mathcal{L} = \dfrac{1}{2}\partial_{\mu} \phi \partial^{\...
</tex>
これをオイラー・ラグランジュ方程式に代入します。それは次...
<tex>
\dfrac{\delta S}{\delta \phi} = \dfrac{\partial \mathcal{...
</tex>
計算の実行
=====================
さて、まず中辺第一項を求めます。これはまあそんなに難しく...
<tex>
\delta S_1 &= \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}...
&= \left(- \dfrac{1}{2} \mu^2 (\phi+\delta \phi)^2 - \dfr...
&= - \left\{ \dfrac{1}{2} \mu^2 \left( (\phi^2+ 2 \phi \d...
&= - \mu^2 \phi \delta \phi - \dfrac{1}{4!} 4 \lambda \ph...
&= - \mu^2 \phi \delta \phi - \dfrac{1}{3!} \lambda \phi^...
</tex>
ですね。
だから、
<tex>
\dfrac{\delta S_1}{\delta \phi} &= - \mu^2 \phi - \dfrac{...
</tex>
となります。ここでは微小量 $\delta \phi$ を用いましたが、...
<tex>
\dfrac{\delta S_2}{\delta \phi} &= - \partial_{\nu} \left...
&= - \partial_{\nu} \left( \dfrac{\partial}{\partial (\pa...
&= - \partial_{\nu} \left( \dfrac{\partial}{\partial (\pa...
&= - \partial_{\nu} \left( \dfrac{1}{2} g^{\mu \rho} \del...
&= - \dfrac{1}{2} g^{\mu \rho} \partial_{\mu} \partial_{\...
&= - \dfrac{1}{2} \partial^{\rho} \partial_{\rho} \phi - ...
&= - \partial^{\mu} \partial_{\mu} \phi \\
&= - \Box \phi \tag{##}
</tex>
よって、
式 $(2)$ は、
<tex>
\dfrac{\delta (S_1+S_2)}{\delta \phi} &= - \mu^2 \phi - \...
\left( \Box + \mu^2 \right) \phi &= - \dfrac{1}{3!} \lamb...
</tex>
と書けるわけです。今日はここまで、お疲れさまでした!
@@reference: 九後汰一郎,ゲージ場の量子論I,培風館,1989,p21...
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-03-28@@
@@category:量子力学@@
@@id:fieldDerivative@@
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場のラグランジアンの使い方
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この記事では、中性スカラー場のラグランジアンから、
オイラー・ラグランジュ方程式を使って、運動方程式を導きま...
その計算過程を詳しく示すのが目的です。
ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式
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ここではラグランジアン $\mathcal{L}$ を次の様に定めます。
<tex>
\mathcal{L} = \dfrac{1}{2}\partial_{\mu} \phi \partial^{\...
</tex>
これをオイラー・ラグランジュ方程式に代入します。それは次...
<tex>
\dfrac{\delta S}{\delta \phi} = \dfrac{\partial \mathcal{...
</tex>
計算の実行
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さて、まず中辺第一項を求めます。これはまあそんなに難しく...
<tex>
\delta S_1 &= \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}...
&= \left(- \dfrac{1}{2} \mu^2 (\phi+\delta \phi)^2 - \dfr...
&= - \left\{ \dfrac{1}{2} \mu^2 \left( (\phi^2+ 2 \phi \d...
&= - \mu^2 \phi \delta \phi - \dfrac{1}{4!} 4 \lambda \ph...
&= - \mu^2 \phi \delta \phi - \dfrac{1}{3!} \lambda \phi^...
</tex>
ですね。
だから、
<tex>
\dfrac{\delta S_1}{\delta \phi} &= - \mu^2 \phi - \dfrac{...
</tex>
となります。ここでは微小量 $\delta \phi$ を用いましたが、...
<tex>
\dfrac{\delta S_2}{\delta \phi} &= - \partial_{\nu} \left...
&= - \partial_{\nu} \left( \dfrac{\partial}{\partial (\pa...
&= - \partial_{\nu} \left( \dfrac{\partial}{\partial (\pa...
&= - \partial_{\nu} \left( \dfrac{1}{2} g^{\mu \rho} \del...
&= - \dfrac{1}{2} g^{\mu \rho} \partial_{\mu} \partial_{\...
&= - \dfrac{1}{2} \partial^{\rho} \partial_{\rho} \phi - ...
&= - \partial^{\mu} \partial_{\mu} \phi \\
&= - \Box \phi \tag{##}
</tex>
よって、
式 $(2)$ は、
<tex>
\dfrac{\delta (S_1+S_2)}{\delta \phi} &= - \mu^2 \phi - \...
\left( \Box + \mu^2 \right) \phi &= - \dfrac{1}{3!} \lamb...
</tex>
と書けるわけです。今日はここまで、お疲れさまでした!
@@reference: 九後汰一郎,ゲージ場の量子論I,培風館,1989,p21...
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-03-28@@
@@category:量子力学@@
@@id:fieldDerivative@@
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