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#rst2hooktail_source
==================================
剰余類
==================================
整数全体の集合 $Z$ が、整数の合同関係(ある整数で割られた...
むしろ、具体的な同値関係から離れて、一般的に群の類別とは...
左剰余類と右剰余類
----------------------------------------------------------
群 $G$ と、その部分群 $H$ があるとします。 $a$ を $G$ の...
<tex>
aH = \{ah|h \in H \}
</tex>
<tex>
Ha = \{ha|h \in H \}
</tex>
.. [*] わざわざ左と右を区別するのは、一般に $a$ と $h$ の...
.. [*] 単位元の剰余類は、左剰余類であっても右剰余類であっ...
.. [*] $H$ には単位元が含まれるので、 $a$ 自身は必ず剰余...
さて、 $G$ は群でしたので演算に関して閉じているはずで、 $...
ここで、剰余類によって本当に群が類別されることを示してお...
.. admonition:: Proof
二つの剰余類は共通集合を持たないはずですので $aH \cap bH...
.. [*] 二つの元が同じ剰余類に属するという関係が、同値関係...
類別の一意性
---------------------------------------------------------...
同じ剰余類に属する元は、同値であると言われるのでした。も...
<tex>
a \sim b \ \ \Longleftrightarrow \ \ \exists h \ s.t...
</tex>
群 $G$ の元のうち、同値ではない $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ ...
<tex>
G=H+a_{1}H+a_{2}H+...+a_{m}H \tag{1}
</tex>
大事なポイントは、群 $G$ とその部分群 $H$ をまず想定し、 ...
もう一つ確認しておくことは、類が一般には群にならないとい...
.. [*] 剰余類を定義するにあたって、元 $a$ を左から作用さ...
代表、部分群の指数
-----------------------------------------------------------
さて、類別に関して出てくる用語をもう少し定義しておきます...
また、群 $G$ が有限個の $H$ 剰余類の和集合として表わされ...
<tex>
G=a_{1}H+a_{2}H+...+a_{r}H
</tex>
例えば、上式のように書ける場合、 $H$ の $G$ における指数...
<tex>
|G:H|=r
</tex>
同じ群 $G$ に対しても、 $H$ によって類別の仕方は違います...
例
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
整数全体 $Z$ は加群を作ります。部分集合 $H=\{...,-10,-5,0...
<tex>
Z=H + (1+H) + (2+H) + (3+H) + (4+H)
</tex>
ここで、 $(2+H)$ などと書いたのは、集合 $H$ の全ての集合...
例題
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
類別を理解するのは、実際に手を動かしてみるのが一番です。 ...
部分群として $H_{1}=\{ e, (1 \ 2) \}$ を考えましょう。す...
<tex>
S_{3}=H_{1}+(1 \ 3)H_{1} + (2 \ 3)H_{1}
</tex>
この類別によって過不足なく $S_{3}$ の元が表現されているこ...
<tex>
S_{3}=H_{2}+(1 \ 2)H_{2}
</tex>
また、自明な例ではありますが、 $H_{3}=\{ e\} $ も部分群を...
<tex>
S_{3}=H_{3}+(1 \ 2)H_{3} + (1 \ 3)H_{3}+(2 \ 3)H_{3}+(1 \...
</tex>
問題
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
(1) $|G:\{e \}|=|G|$ を確認してください。
(2) $|G:G|=1$ を確認してください。
(3) $n$ 次の対称群と交代群について、 $|S_{n}:A_{n}|=2$...
.. _整数の加法群の剰余類: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
.. _`集合の元同士を足す・掛ける`: http://www12.plala.or.j...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: Remainder@@
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剰余類
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整数全体の集合 $Z$ が、整数の合同関係(ある整数で割られた...
むしろ、具体的な同値関係から離れて、一般的に群の類別とは...
左剰余類と右剰余類
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群 $G$ と、その部分群 $H$ があるとします。 $a$ を $G$ の...
<tex>
aH = \{ah|h \in H \}
</tex>
<tex>
Ha = \{ha|h \in H \}
</tex>
.. [*] わざわざ左と右を区別するのは、一般に $a$ と $h$ の...
.. [*] 単位元の剰余類は、左剰余類であっても右剰余類であっ...
.. [*] $H$ には単位元が含まれるので、 $a$ 自身は必ず剰余...
さて、 $G$ は群でしたので演算に関して閉じているはずで、 $...
ここで、剰余類によって本当に群が類別されることを示してお...
.. admonition:: Proof
二つの剰余類は共通集合を持たないはずですので $aH \cap bH...
.. [*] 二つの元が同じ剰余類に属するという関係が、同値関係...
類別の一意性
---------------------------------------------------------...
同じ剰余類に属する元は、同値であると言われるのでした。も...
<tex>
a \sim b \ \ \Longleftrightarrow \ \ \exists h \ s.t...
</tex>
群 $G$ の元のうち、同値ではない $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ ...
<tex>
G=H+a_{1}H+a_{2}H+...+a_{m}H \tag{1}
</tex>
大事なポイントは、群 $G$ とその部分群 $H$ をまず想定し、 ...
もう一つ確認しておくことは、類が一般には群にならないとい...
.. [*] 剰余類を定義するにあたって、元 $a$ を左から作用さ...
代表、部分群の指数
-----------------------------------------------------------
さて、類別に関して出てくる用語をもう少し定義しておきます...
また、群 $G$ が有限個の $H$ 剰余類の和集合として表わされ...
<tex>
G=a_{1}H+a_{2}H+...+a_{r}H
</tex>
例えば、上式のように書ける場合、 $H$ の $G$ における指数...
<tex>
|G:H|=r
</tex>
同じ群 $G$ に対しても、 $H$ によって類別の仕方は違います...
例
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整数全体 $Z$ は加群を作ります。部分集合 $H=\{...,-10,-5,0...
<tex>
Z=H + (1+H) + (2+H) + (3+H) + (4+H)
</tex>
ここで、 $(2+H)$ などと書いたのは、集合 $H$ の全ての集合...
例題
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
類別を理解するのは、実際に手を動かしてみるのが一番です。 ...
部分群として $H_{1}=\{ e, (1 \ 2) \}$ を考えましょう。す...
<tex>
S_{3}=H_{1}+(1 \ 3)H_{1} + (2 \ 3)H_{1}
</tex>
この類別によって過不足なく $S_{3}$ の元が表現されているこ...
<tex>
S_{3}=H_{2}+(1 \ 2)H_{2}
</tex>
また、自明な例ではありますが、 $H_{3}=\{ e\} $ も部分群を...
<tex>
S_{3}=H_{3}+(1 \ 2)H_{3} + (1 \ 3)H_{3}+(2 \ 3)H_{3}+(1 \...
</tex>
問題
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(1) $|G:\{e \}|=|G|$ を確認してください。
(2) $|G:G|=1$ を確認してください。
(3) $n$ 次の対称群と交代群について、 $|S_{n}:A_{n}|=2$...
.. _整数の加法群の剰余類: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
.. _`集合の元同士を足す・掛ける`: http://www12.plala.or.j...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: Remainder@@
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