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準同型定理の例
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一つ前の記事で、準同型定理を勉強しました。準同型定理とは...
.. admonition:: theorem
群 $G$ の群 $G'$ の上への準同型写像の核を $K$ とします...
証明も簡単につけましたが、これだけではまだ、定理の意味(使...
例1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
複素数の乗法群 $C^{*}$ (複素数全体から $0$ を抜くと乗群に...
<tex>
z \in C^{*} \ \longmapsto \ f(z)=|z| \in R^{*}
</tex>
ある一つの複素数に、絶対値は一つしかありませんし、絶対値...
さて、 $R^{*}$ の単位元は $1$ ですが、 $1$ に移される複素...
<tex>
T= \{z||z|=1,z \in C^{*} \}
</tex>
よって、準同型定理より次のことが言えます。
<tex>
C^{*}/T \sim R^{*}
</tex>
.. [*] この結果の意味が、よく納得できるでしょうか?極座標...
例2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
実数の加法群 $R$ から、複素数の乗法群 $C^{*}$ への準同型...
<tex>
\theta \in R \ \longmapsto \ f(\theta)=\cos 2 \pi \th...
</tex>
確かにこの写像が、実数の加法群を複素数の乗法群に対応させ...
<tex>
R/Z \sim T
</tex>
.. [*] ここで出てきた $R/Z$ を一次元トーラス群と呼びます(...
例3
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
正則な $n \times n$ の行列全体からなる乗群 $GL(n,R)$ (こ...
<tex>
A \in GL(n,R) \ \longmapsto \ {\rm det}A \in R^{*}
</tex>
確かに行列式は一つの行列に一つだけ決まりますし、正則な行...
<tex>
GL(n,R)/SL(n,R) \sim R^{*}
</tex>
.. [*] この例も、行列を一次変換の作用素だと考えると、特殊...
例4
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
群 $G$ から群 $G'$ への準同型写像を考えます。もし $G$ が...
<tex>
G/\{ e\} =G \sim G'
</tex>
<tex>
G/G = \{ e \} \sim G'
</tex>
最初の例は、 $G$ と $G'$ が同型だという主張です。二番目の...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: Homomorphic3@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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準同型定理の例
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一つ前の記事で、準同型定理を勉強しました。準同型定理とは...
.. admonition:: theorem
群 $G$ の群 $G'$ の上への準同型写像の核を $K$ とします...
証明も簡単につけましたが、これだけではまだ、定理の意味(使...
例1
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複素数の乗法群 $C^{*}$ (複素数全体から $0$ を抜くと乗群に...
<tex>
z \in C^{*} \ \longmapsto \ f(z)=|z| \in R^{*}
</tex>
ある一つの複素数に、絶対値は一つしかありませんし、絶対値...
さて、 $R^{*}$ の単位元は $1$ ですが、 $1$ に移される複素...
<tex>
T= \{z||z|=1,z \in C^{*} \}
</tex>
よって、準同型定理より次のことが言えます。
<tex>
C^{*}/T \sim R^{*}
</tex>
.. [*] この結果の意味が、よく納得できるでしょうか?極座標...
例2
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実数の加法群 $R$ から、複素数の乗法群 $C^{*}$ への準同型...
<tex>
\theta \in R \ \longmapsto \ f(\theta)=\cos 2 \pi \th...
</tex>
確かにこの写像が、実数の加法群を複素数の乗法群に対応させ...
<tex>
R/Z \sim T
</tex>
.. [*] ここで出てきた $R/Z$ を一次元トーラス群と呼びます(...
例3
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正則な $n \times n$ の行列全体からなる乗群 $GL(n,R)$ (こ...
<tex>
A \in GL(n,R) \ \longmapsto \ {\rm det}A \in R^{*}
</tex>
確かに行列式は一つの行列に一つだけ決まりますし、正則な行...
<tex>
GL(n,R)/SL(n,R) \sim R^{*}
</tex>
.. [*] この例も、行列を一次変換の作用素だと考えると、特殊...
例4
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群 $G$ から群 $G'$ への準同型写像を考えます。もし $G$ が...
<tex>
G/\{ e\} =G \sim G'
</tex>
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G/G = \{ e \} \sim G'
</tex>
最初の例は、 $G$ と $G'$ が同型だという主張です。二番目の...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: Homomorphic3@@
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