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#rst2hooktail_source
===================================
準同型写像
===================================
ここまでに、群の性質や、群の働き方、部分群にまつわる様々...
この記事では少し趣向を変えて、二つの群、 $G$ と $G'$ があ...
実は、対象そのものを一つだけ考えるよりも、対象を写像して...
準同型
--------------------------------------------------
何か関数 $f$ があり、群 $G$ の元と、群 $G'$ の元とが関数...
.. image:: Joh-Homo1.gif
:align: center
つまり、写像 $f$ によって、群 $G$ の元は、何らかの方法に...
しかし、実際に使う場面では、そのような変チクリンな写像は...
.. admonition:: definition
写像 $f$ が群 $G$ の元 $x,y$ に作用するとき、 $f(xy)=f(x...
なぜ、準同型写像が群論ではそんなに重要なのかを次に考えて...
演算が移されること
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
群 $G$ の元 $a,b$ の積が、準同型写像 $f$ によってどう移さ...
<tex>
f(ab)=f(a)f(b)=a'b'
</tex>
すなわち、準同型写像によって群 $G$ の元 $ab$ が、群 $G'$ ...
.. [*] 演算は同じものではありませんが、演算が演算に移った...
単位元
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
まず、群 $G$ の単位元 $e$ は、準同型写像 $f$ によって次の...
<tex>
f(e)f(e)=f(ee)=f(e)
</tex>
左辺と中辺は準同型写像の定義そのまま、中辺と右辺の変形に...
<tex>
f(e)=f^{-1}(e)f(e)=e'
</tex>
つまり、準同型写像によって **単位元は単位元に移されます**...
.. image:: Joh-Homo2.gif
:align: center
逆元
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
同様に、 $G$ のある元 $a$ の逆元 $a^{-1}$ がどのように写...
<tex>
f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(e)=e'
</tex>
つまり、群 $G'$ において、 $f(a)$ と $f(a^{-1})$ は逆元の...
<tex>
f(a^{-1})=f(a)^{-1}
</tex>
.. image:: Joh-Homo3.gif
:align: center
.. [*] 準同型写像によって、単位元や逆元はそれぞれ単位元や...
.. [*] 数学では『構造を保存する写像』を特に"射"と呼ぶので...
準同型写像の合成
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
最後に、群 $G$ から群 $G'$ への準同型写像を $f$ , 群 $G'$...
<tex>
(g\circ f)(xy)=g(f(xy))=g(f(x)f(y))=g(f(x))g(f(y))=(g\cir...
</tex>
準同型写像の合成は、やはり準同型写像になることが分かりま...
単準同型、全準同型、同型
---------------------------------------------------------...
次に、準同型写像によって、群 $G$ が群 $G'$ にどのように移...
難しい写像は出てきませんが、ここで十分に写像の基礎を復習...
単射
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
群 $G$ の元から、群 $G'$ の元への写像により、 $G$ の元が...
.. image:: Joh-SinPro1.gif
:align: center
つまり、単射の場合、一般に $G$ の $f$ による像は、 $G'$ ...
例えば、正の整数で、ある整数 $n$ に対し、それよりも $2$ ...
全射
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
群 $G$ の全ての元を写像させたものが $G'$ になるとき、この...
.. image:: Joh-bijection2.gif
:align: center
例えば、実数 $\theta$ に複素数 $\cos \theta + i \sin \the...
同型
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
全射と単射は異なる概念ですから、この二つを組み合わせると...
.. image:: Joh-Bijection1.gif
:align: center
特に『単射でもあり全射でもある』写像を *同型写像* と呼び...
.. [*] 同型写像では、二つの元の間に、過不足なく一対一の対...
.. [*] 同型写像の定義として『 $G \rightarrow G'$ が準同型...
.. [*] 準同型写像の定義式は、いま積の形で書かれていますが...
自己準同型、自己同型
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
群 $G$ を $G$ 自身へ移す準同型写像を *自己準同型* と呼び...
自己同型は写像ですが、自己同型 ${\rm Aut}(G)$ を何度合成...
.. [*] 自己同型群は、ガロア理論で非常に重要な役割を果たし...
準同型写像の核
---------------------------------------------------------...
さて、話が同型写像にまで行ってしまいましたが、また準同型...
群 $G$ の単位元 $e$ は必ず群 $G'$ の単位元 $e'$ に移され...
群 $G$ の部分集合で、準同写像によって $e'$ に移されてしま...
.. image:: Joh-Kernel.gif
:align: center
核の大きさは、もちろん準同型写像によって変わります。最低...
.. admonition:: theorem
準同型写像 $f$ の核 $K$ は正規部分群になります
.. admonition:: proof
群 $G$ の核 $K$ に属する二つの元 $a,b$ に対し、準同型写...
.. [*] 正規部分群の概念は群論の中でも非常に重要です。順番...
.. _剰余類: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Remainder/
.. _群について基本的なこと: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: Homomorphic@@
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#rst2hooktail_source
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準同型写像
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ここまでに、群の性質や、群の働き方、部分群にまつわる様々...
この記事では少し趣向を変えて、二つの群、 $G$ と $G'$ があ...
実は、対象そのものを一つだけ考えるよりも、対象を写像して...
準同型
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何か関数 $f$ があり、群 $G$ の元と、群 $G'$ の元とが関数...
.. image:: Joh-Homo1.gif
:align: center
つまり、写像 $f$ によって、群 $G$ の元は、何らかの方法に...
しかし、実際に使う場面では、そのような変チクリンな写像は...
.. admonition:: definition
写像 $f$ が群 $G$ の元 $x,y$ に作用するとき、 $f(xy)=f(x...
なぜ、準同型写像が群論ではそんなに重要なのかを次に考えて...
演算が移されること
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
群 $G$ の元 $a,b$ の積が、準同型写像 $f$ によってどう移さ...
<tex>
f(ab)=f(a)f(b)=a'b'
</tex>
すなわち、準同型写像によって群 $G$ の元 $ab$ が、群 $G'$ ...
.. [*] 演算は同じものではありませんが、演算が演算に移った...
単位元
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
まず、群 $G$ の単位元 $e$ は、準同型写像 $f$ によって次の...
<tex>
f(e)f(e)=f(ee)=f(e)
</tex>
左辺と中辺は準同型写像の定義そのまま、中辺と右辺の変形に...
<tex>
f(e)=f^{-1}(e)f(e)=e'
</tex>
つまり、準同型写像によって **単位元は単位元に移されます**...
.. image:: Joh-Homo2.gif
:align: center
逆元
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同様に、 $G$ のある元 $a$ の逆元 $a^{-1}$ がどのように写...
<tex>
f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(e)=e'
</tex>
つまり、群 $G'$ において、 $f(a)$ と $f(a^{-1})$ は逆元の...
<tex>
f(a^{-1})=f(a)^{-1}
</tex>
.. image:: Joh-Homo3.gif
:align: center
.. [*] 準同型写像によって、単位元や逆元はそれぞれ単位元や...
.. [*] 数学では『構造を保存する写像』を特に"射"と呼ぶので...
準同型写像の合成
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最後に、群 $G$ から群 $G'$ への準同型写像を $f$ , 群 $G'$...
<tex>
(g\circ f)(xy)=g(f(xy))=g(f(x)f(y))=g(f(x))g(f(y))=(g\cir...
</tex>
準同型写像の合成は、やはり準同型写像になることが分かりま...
単準同型、全準同型、同型
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次に、準同型写像によって、群 $G$ が群 $G'$ にどのように移...
難しい写像は出てきませんが、ここで十分に写像の基礎を復習...
単射
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
群 $G$ の元から、群 $G'$ の元への写像により、 $G$ の元が...
.. image:: Joh-SinPro1.gif
:align: center
つまり、単射の場合、一般に $G$ の $f$ による像は、 $G'$ ...
例えば、正の整数で、ある整数 $n$ に対し、それよりも $2$ ...
全射
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群 $G$ の全ての元を写像させたものが $G'$ になるとき、この...
.. image:: Joh-bijection2.gif
:align: center
例えば、実数 $\theta$ に複素数 $\cos \theta + i \sin \the...
同型
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
全射と単射は異なる概念ですから、この二つを組み合わせると...
.. image:: Joh-Bijection1.gif
:align: center
特に『単射でもあり全射でもある』写像を *同型写像* と呼び...
.. [*] 同型写像では、二つの元の間に、過不足なく一対一の対...
.. [*] 同型写像の定義として『 $G \rightarrow G'$ が準同型...
.. [*] 準同型写像の定義式は、いま積の形で書かれていますが...
自己準同型、自己同型
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群 $G$ を $G$ 自身へ移す準同型写像を *自己準同型* と呼び...
自己同型は写像ですが、自己同型 ${\rm Aut}(G)$ を何度合成...
.. [*] 自己同型群は、ガロア理論で非常に重要な役割を果たし...
準同型写像の核
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さて、話が同型写像にまで行ってしまいましたが、また準同型...
群 $G$ の単位元 $e$ は必ず群 $G'$ の単位元 $e'$ に移され...
群 $G$ の部分集合で、準同写像によって $e'$ に移されてしま...
.. image:: Joh-Kernel.gif
:align: center
核の大きさは、もちろん準同型写像によって変わります。最低...
.. admonition:: theorem
準同型写像 $f$ の核 $K$ は正規部分群になります
.. admonition:: proof
群 $G$ の核 $K$ に属する二つの元 $a,b$ に対し、準同型写...
.. [*] 正規部分群の概念は群論の中でも非常に重要です。順番...
.. _剰余類: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Remainder/
.. _群について基本的なこと: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: Homomorphic@@
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