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手投げ人工衛星
==============================
人工衛星を打ち上げるには,宇宙ロケットを使った大規模な作...
それを,「手で投げてもできるよ」と言う人がいたらどうでし...
ちょっとアレな人かな,と訝しんでしまいます.
ところが,ある場合では手で人工衛星を打ち上げることもでき...
それは重力が小さい場合,です.
重力は星の質量に比例しますから,地球よりもずっと軽い(小...
手で投げても十分人工衛星を打ち上げられるわけです.
そんな星に行けるかどうかはさて置いて,
頭の中でだけ考えてみるのも面白いので,少し考えてみましょ...
人工衛星とは
---------------------
はじめに,人工衛星とはどういったものか,を簡単に整理して...
衛星
^^^^^^^^^^^^^^
人工衛星の前に,そもそも衛星とはなにか,です.
夜空に浮かぶ月は,地球の衛星です.
月が地球のまわりをぐるぐる回っているのは,ご存知のことと...
このような天体を衛星と言います.
人工衛星
^^^^^^^^^^^^^^
人工的につくられた衛星が,人工衛星です(そのまんまですね...
おもに通信や観測などを目的としてつくられ,地球のまわりに...
天気予報でおなじみの気象衛星もその一つです.
宇宙ステーションやスペースシャトルも地球を周回しています...
これらは普通,人工衛星とは呼ばないようです.
ところで人工衛星,たまに肉眼でも確認できます.
夜中に空をみていると,光っている星のようなものが
直線的に動いていることがあります.
はじめて見たときは「UFOか!?」とビックリしますが,それは...
まだ見たことがない方は,注意して夜空を眺めてみましょう.
遥か彼方を航行する人工物を見たあかつきには,科学ってすご...
衛星が周回し続ける理由は?
----------------------------
月や人工衛星は地球のまわりをぐるぐると回っているのですが,
その動力源はいったいなんなのでしょう.
実は,基本的には「落ちている」だけなのです.
たとえば,高いところから石ころを放すと,特に力を与えなく...
その理由を,物理では「地球が石を引っ張っている」と解釈し...
この引っ張る力が重力 [*]_ であり,その力の法則が万有引力...
.. [*] 本当は二つの物体間(地球と石)にそれぞれ力が働いて...
石が地球を引く力はあまりに小さいので,地球は動かな...
.. [*] 単に重力といった場合,地球上の物体が,地球の各部分...
さらに,地球は自転していますので,地上の物体には遠...
ですので,地上で観測される重力とは万有引力と遠心力...
さて,力を加えずただ単に石ころを落とすと,地面にぶつかり...
では水平方向に力を加え,少し遠くに投げたらどうでしょうか.
遠くまで飛んでも,やはり地面にぶつかって止まりますね.
さらに加える力を大きくして石ころを飛ばします.
するとさらに遠くまで飛びますが,いつかは地面にぶつかって...
.. image:: sakima-handsatellite1.png
ここで一つ,重要なことを思い出します.地球は球である,と...
もの凄く遠くへ石ころを投げると,やはり途中で落ちているわ...
地球が丸いために落ちた分がキャンセルされ,地面につかない...
.. image:: sakima-handsatellite2.png
それはつまり,ずっとずっと地球中心に向かって落ち続けると...
これが,月や人工衛星が地球をぐるぐると回り続けている理由...
もの凄く遠くまで石を投げるには,もの凄い初速度(投げると...
それを人類は,ロケットという技術で実現したんですね.
宇宙速度
^^^^^^^^^^^^^^^
初速度が小さければ投げた物体は地球表面に落ちますが,
初速度を大きくして行くと,やがて投げられた物体は地球を周...
このとき,円を描いて周回します.
そしてそのときの初速度は,第1宇宙速度と呼ばれます.
さらに初速度を大きくすると楕円軌道になり,
さらにさらに大きくすると地球の重力から離れてどこかへ飛び...
このときの初速度には第2宇宙速度という名前が付いています.
第1宇宙速度の大きさ
---------------------
もう少し具体的に,衛星を周回させるために必要な初速度,第1...
ここからは,投げる物体のことを人工天体と呼ぶことにします.
質量がそれぞれ $M$ と $m$ の二つの物体間に働く 万有引力 $...
.. _eq1:
<tex>
F = G\frac{Mm}{r^2} \tag{1}
</tex>
という法則で表されます.ここで $G$ は万有引力定数という定...
$M$ の方を惑星の質量, $m$ の方を人工天体の質量としておき...
つぎに,運動方程式を考えます.運動方程式とは
<tex>
ma=F
</tex>
でしたね.いま,地球のまわりを人工天体が円運動するとしま...
人工天体が衛星として地球を周回するときの高度を十分低いも...
回転半径は地球の半径と同じ $r$ としておいて良いでしょう.
.. [*] このように設定したときの速度が第1宇宙速度です.
人工天体の速度を $v$ とすると,上記運動方程式の加速度 $a$...
<tex>
a=\frac{v^2}{r}
</tex>
と書くことができます.円運動をしている場合,
このように半径と速度を用いて加速度を書き表せるんですね.
というわけで上に書いた運動方程式は
.. _eq2:
<tex>
m\frac{v^2}{r} = F \tag{2}
</tex>
と書き換えることができます.
`式(1)`_ と `式(2)`_ から
<tex>
m\frac{v^2}{r} = G\frac{Mm}{r^2}
</tex>
となり, $v=$ に変形すると
.. _eq3:
<tex>
v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \tag{3}
</tex>
となることが分かります.これがいか程の大きさか計算してみ...
万有引力定数 $G=6.67\times10^{-11}\,\mathrm{[N\cdot m^2/k...
地球質量 $M=6.0\times10^{24}\,\mathrm{[kg]}$ ,
地球半径 $r=6.4\times10^6\,\mathrm{[m]}$ を代入して計算す...
<tex>
v = 7.9\times10^3\,\mathrm{[m/s]}
</tex>
という値が得られます.
これを時速に直す( $60\times60$ を掛けて $10^3$ で割る)と
<tex>
v = 2.8\times10^4\,\mathrm{[km/h]}
</tex>
です.時速二万八千キロ.とても手で投げて得られる速度では...
人工衛星を手投げで打ち上げるには
------------------------------------
地球上で人工衛星を打ち上げるには,時速二万八千キロという...
そしてこの速度は, `式(3)`_ から惑星の質量 $M$ に比例し,
半径 $r$ に逆比例することが見て取れます.
いよいよ人工衛星を手で打ち上げるための条件を考えて行くわ...
第1宇宙速度の式の変数が $M$ と $r$ の二つあるので,このま...
そこでまず,これら二つの変数の間の関係を求め,変数の数を...
惑星半径と質量の関係
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
簡単のため,惑星の密度が一定であるとします.
この密度を $\rho$ (単位は $\mathrm{[kg/m^3]}$ )としてお...
球の体積 $V$ と半径 $r$ の関係は
<tex>
V=\frac{4}{3}\pi r^3
</tex>
となることはよく知られています.そして質量 $M$ と密度 $\r...
<tex>
M=\rho V
</tex>
という関係がありますね.これら二つの式から,
<tex>
M &= \rho V\\
&= \frac{4}{3}\rho\pi r^3
</tex>
というふうに,惑星半径と質量の関係が分かりました.
さらに, $\frac{4}{3}\rho\pi$ というのは定数(単なる数値...
いまはこれを $A$ と置いておきます.すると結局
.. _eq4:
<tex>
M = Ar^3 \tag{4}
</tex>
という関係に落ち着きます.この関係をグラフにすると
.. image:: sakima-handsatellite3.png
のようになります.半径が大きくなると,その3乗に比例して質...
第1宇宙速度と惑星半径の関係
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
`式(3)`_ の第1宇宙速度 $v$ をもう一度書いておきます.
<tex>
v = \sqrt{\frac{GM}{r}}
</tex>
ここで $M$ に `式(4)`_ を代入しますと,つぎのようになりま...
.. _eq5:
<tex>
v = r\sqrt{GA} \tag{5}
</tex>
これをグラフにすると,
.. image:: sakima-handsatellite4.png
のようになります. $v$ は $r$ に比例しています.比例係数...
惑星半径が小さければ,第1宇宙速度も小さくて済むことになり...
手投げ可能な半径
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ようやく,手投げ人工衛星を可能にする条件を求める準備が整...
手で投げる物は,石などの投げやすいものとしておきます.
手で石を投げてどの位の速度がでるのかよく知りませんが,時...
これを秒速何メートルに直すと, $13.88\,\mathrm{[m/s]}$ .
この速度を `式(5)`_ に代入すると
<tex>
13.88 = r\sqrt{GA}
</tex>
したがって求める半径は
<tex>
r = \frac{13.88}{\sqrt{GA}}
</tex>
となります. $A=\frac{4}{3}\rho\pi$ を元に戻し,ここで考...
地球の平均密度 $\rho=5.52\,\mathrm{[g/cm^3]}=5.52\times10...
万有引力定数 $G=6.67\times10^{-11}\,\mathrm{[N\cdot m^2/k...
<tex>
r &= \frac{13.88}{\sqrt{G\times4\rho\pi/3}}\\
&= \frac{13.88}{\sqrt{6.67\times10^{-11}\times4\times5....
&= 1.12\times10^4\,\mathrm{[m]}
</tex>
したがって,手投げ人工衛星が実現可能な惑星の半径は,
約 $1.12\times10^4\,\mathrm{[m]}$ ,つまり約 11.2 キロメ...
ちなみにこのときの惑星質量は $2.54\times10^8\,\mathrm{[kg...
少し乱暴な計算でしたが,このように簡単なモデルを設定し,
基本法則を頼りにいろいろと空想できるのが,物理学の面白い...
さらに,そのような重力の小さな場所で物を投げたら投げた反...
ジャンプしたらどこまで飛ぶのか,などといろいろ考えてみる...
小惑星探査機はやぶさ
--------------------
このページで考えたみたような小惑星,太陽系にも実際に存在...
おもに火星と木星の間にあり,軌道が分かっているものだけで...
(実際の小惑星の直径はもう少し小さく, 1, 2 キロメートル...
そしてさらに,日本の JAXA_ が小惑星「イトカワ」から表面の...
2003年5月9日に 小惑星探査機はやぶさ_ を打ち上げ,現在ミッ...
小惑星「イトカワ」は直径約500メートル,上で求めた半径より...
小惑星上での重力は地球のざっと一万分の一以下,
火星に送り込んだ「ローバー」のような自走型の探査機は使え...
その理由は,ちょっと走ると浮いてしまうというのもあります...
重力(定数 $g$ )が微少なのでタイヤが十分な摩擦力 $F=\mu ...
得られないという理由も大きいようです.なので,どうせ浮く...
小惑星探査機はホッピングしながら進むそうです.
はやぶさは2005年夏にターゲットの小惑星に極接近し,サンプ...
そして2007年夏にサンプルを地球に持って帰るというなんとも...
小惑星への往復に用いられる電気推進エンジン,接近のための...
現代科学の粋が凝らされていますね.こういったロマン溢れる...
ガッチリと支えているものが物理学だということは,言うまで...
.. _式(1): #eq1
.. _式(2): #eq2
.. _式(3): #eq3
.. _式(4): #eq4
.. _式(5): #eq5
.. _JAXA: http://www.jaxa.jp/index_j.html
.. _小惑星探査機はやぶさ: http://www.isas.jaxa.jp/j/enter...
@@reference:ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%BA%E5%B7%A5%E8%A...
@@reference:nssdc.gsfc.nasa.gov/imgcat/,NSSDC PLANETARY I...
@@author:崎間@@
@@accept:2005-01-31@@
@@category:力学@@
@@id:handSatellite@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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手投げ人工衛星
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人工衛星を打ち上げるには,宇宙ロケットを使った大規模な作...
それを,「手で投げてもできるよ」と言う人がいたらどうでし...
ちょっとアレな人かな,と訝しんでしまいます.
ところが,ある場合では手で人工衛星を打ち上げることもでき...
それは重力が小さい場合,です.
重力は星の質量に比例しますから,地球よりもずっと軽い(小...
手で投げても十分人工衛星を打ち上げられるわけです.
そんな星に行けるかどうかはさて置いて,
頭の中でだけ考えてみるのも面白いので,少し考えてみましょ...
人工衛星とは
---------------------
はじめに,人工衛星とはどういったものか,を簡単に整理して...
衛星
^^^^^^^^^^^^^^
人工衛星の前に,そもそも衛星とはなにか,です.
夜空に浮かぶ月は,地球の衛星です.
月が地球のまわりをぐるぐる回っているのは,ご存知のことと...
このような天体を衛星と言います.
人工衛星
^^^^^^^^^^^^^^
人工的につくられた衛星が,人工衛星です(そのまんまですね...
おもに通信や観測などを目的としてつくられ,地球のまわりに...
天気予報でおなじみの気象衛星もその一つです.
宇宙ステーションやスペースシャトルも地球を周回しています...
これらは普通,人工衛星とは呼ばないようです.
ところで人工衛星,たまに肉眼でも確認できます.
夜中に空をみていると,光っている星のようなものが
直線的に動いていることがあります.
はじめて見たときは「UFOか!?」とビックリしますが,それは...
まだ見たことがない方は,注意して夜空を眺めてみましょう.
遥か彼方を航行する人工物を見たあかつきには,科学ってすご...
衛星が周回し続ける理由は?
----------------------------
月や人工衛星は地球のまわりをぐるぐると回っているのですが,
その動力源はいったいなんなのでしょう.
実は,基本的には「落ちている」だけなのです.
たとえば,高いところから石ころを放すと,特に力を与えなく...
その理由を,物理では「地球が石を引っ張っている」と解釈し...
この引っ張る力が重力 [*]_ であり,その力の法則が万有引力...
.. [*] 本当は二つの物体間(地球と石)にそれぞれ力が働いて...
石が地球を引く力はあまりに小さいので,地球は動かな...
.. [*] 単に重力といった場合,地球上の物体が,地球の各部分...
さらに,地球は自転していますので,地上の物体には遠...
ですので,地上で観測される重力とは万有引力と遠心力...
さて,力を加えずただ単に石ころを落とすと,地面にぶつかり...
では水平方向に力を加え,少し遠くに投げたらどうでしょうか.
遠くまで飛んでも,やはり地面にぶつかって止まりますね.
さらに加える力を大きくして石ころを飛ばします.
するとさらに遠くまで飛びますが,いつかは地面にぶつかって...
.. image:: sakima-handsatellite1.png
ここで一つ,重要なことを思い出します.地球は球である,と...
もの凄く遠くへ石ころを投げると,やはり途中で落ちているわ...
地球が丸いために落ちた分がキャンセルされ,地面につかない...
.. image:: sakima-handsatellite2.png
それはつまり,ずっとずっと地球中心に向かって落ち続けると...
これが,月や人工衛星が地球をぐるぐると回り続けている理由...
もの凄く遠くまで石を投げるには,もの凄い初速度(投げると...
それを人類は,ロケットという技術で実現したんですね.
宇宙速度
^^^^^^^^^^^^^^^
初速度が小さければ投げた物体は地球表面に落ちますが,
初速度を大きくして行くと,やがて投げられた物体は地球を周...
このとき,円を描いて周回します.
そしてそのときの初速度は,第1宇宙速度と呼ばれます.
さらに初速度を大きくすると楕円軌道になり,
さらにさらに大きくすると地球の重力から離れてどこかへ飛び...
このときの初速度には第2宇宙速度という名前が付いています.
第1宇宙速度の大きさ
---------------------
もう少し具体的に,衛星を周回させるために必要な初速度,第1...
ここからは,投げる物体のことを人工天体と呼ぶことにします.
質量がそれぞれ $M$ と $m$ の二つの物体間に働く 万有引力 $...
.. _eq1:
<tex>
F = G\frac{Mm}{r^2} \tag{1}
</tex>
という法則で表されます.ここで $G$ は万有引力定数という定...
$M$ の方を惑星の質量, $m$ の方を人工天体の質量としておき...
つぎに,運動方程式を考えます.運動方程式とは
<tex>
ma=F
</tex>
でしたね.いま,地球のまわりを人工天体が円運動するとしま...
人工天体が衛星として地球を周回するときの高度を十分低いも...
回転半径は地球の半径と同じ $r$ としておいて良いでしょう.
.. [*] このように設定したときの速度が第1宇宙速度です.
人工天体の速度を $v$ とすると,上記運動方程式の加速度 $a$...
<tex>
a=\frac{v^2}{r}
</tex>
と書くことができます.円運動をしている場合,
このように半径と速度を用いて加速度を書き表せるんですね.
というわけで上に書いた運動方程式は
.. _eq2:
<tex>
m\frac{v^2}{r} = F \tag{2}
</tex>
と書き換えることができます.
`式(1)`_ と `式(2)`_ から
<tex>
m\frac{v^2}{r} = G\frac{Mm}{r^2}
</tex>
となり, $v=$ に変形すると
.. _eq3:
<tex>
v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \tag{3}
</tex>
となることが分かります.これがいか程の大きさか計算してみ...
万有引力定数 $G=6.67\times10^{-11}\,\mathrm{[N\cdot m^2/k...
地球質量 $M=6.0\times10^{24}\,\mathrm{[kg]}$ ,
地球半径 $r=6.4\times10^6\,\mathrm{[m]}$ を代入して計算す...
<tex>
v = 7.9\times10^3\,\mathrm{[m/s]}
</tex>
という値が得られます.
これを時速に直す( $60\times60$ を掛けて $10^3$ で割る)と
<tex>
v = 2.8\times10^4\,\mathrm{[km/h]}
</tex>
です.時速二万八千キロ.とても手で投げて得られる速度では...
人工衛星を手投げで打ち上げるには
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地球上で人工衛星を打ち上げるには,時速二万八千キロという...
そしてこの速度は, `式(3)`_ から惑星の質量 $M$ に比例し,
半径 $r$ に逆比例することが見て取れます.
いよいよ人工衛星を手で打ち上げるための条件を考えて行くわ...
第1宇宙速度の式の変数が $M$ と $r$ の二つあるので,このま...
そこでまず,これら二つの変数の間の関係を求め,変数の数を...
惑星半径と質量の関係
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
簡単のため,惑星の密度が一定であるとします.
この密度を $\rho$ (単位は $\mathrm{[kg/m^3]}$ )としてお...
球の体積 $V$ と半径 $r$ の関係は
<tex>
V=\frac{4}{3}\pi r^3
</tex>
となることはよく知られています.そして質量 $M$ と密度 $\r...
<tex>
M=\rho V
</tex>
という関係がありますね.これら二つの式から,
<tex>
M &= \rho V\\
&= \frac{4}{3}\rho\pi r^3
</tex>
というふうに,惑星半径と質量の関係が分かりました.
さらに, $\frac{4}{3}\rho\pi$ というのは定数(単なる数値...
いまはこれを $A$ と置いておきます.すると結局
.. _eq4:
<tex>
M = Ar^3 \tag{4}
</tex>
という関係に落ち着きます.この関係をグラフにすると
.. image:: sakima-handsatellite3.png
のようになります.半径が大きくなると,その3乗に比例して質...
第1宇宙速度と惑星半径の関係
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
`式(3)`_ の第1宇宙速度 $v$ をもう一度書いておきます.
<tex>
v = \sqrt{\frac{GM}{r}}
</tex>
ここで $M$ に `式(4)`_ を代入しますと,つぎのようになりま...
.. _eq5:
<tex>
v = r\sqrt{GA} \tag{5}
</tex>
これをグラフにすると,
.. image:: sakima-handsatellite4.png
のようになります. $v$ は $r$ に比例しています.比例係数...
惑星半径が小さければ,第1宇宙速度も小さくて済むことになり...
手投げ可能な半径
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ようやく,手投げ人工衛星を可能にする条件を求める準備が整...
手で投げる物は,石などの投げやすいものとしておきます.
手で石を投げてどの位の速度がでるのかよく知りませんが,時...
これを秒速何メートルに直すと, $13.88\,\mathrm{[m/s]}$ .
この速度を `式(5)`_ に代入すると
<tex>
13.88 = r\sqrt{GA}
</tex>
したがって求める半径は
<tex>
r = \frac{13.88}{\sqrt{GA}}
</tex>
となります. $A=\frac{4}{3}\rho\pi$ を元に戻し,ここで考...
地球の平均密度 $\rho=5.52\,\mathrm{[g/cm^3]}=5.52\times10...
万有引力定数 $G=6.67\times10^{-11}\,\mathrm{[N\cdot m^2/k...
<tex>
r &= \frac{13.88}{\sqrt{G\times4\rho\pi/3}}\\
&= \frac{13.88}{\sqrt{6.67\times10^{-11}\times4\times5....
&= 1.12\times10^4\,\mathrm{[m]}
</tex>
したがって,手投げ人工衛星が実現可能な惑星の半径は,
約 $1.12\times10^4\,\mathrm{[m]}$ ,つまり約 11.2 キロメ...
ちなみにこのときの惑星質量は $2.54\times10^8\,\mathrm{[kg...
少し乱暴な計算でしたが,このように簡単なモデルを設定し,
基本法則を頼りにいろいろと空想できるのが,物理学の面白い...
さらに,そのような重力の小さな場所で物を投げたら投げた反...
ジャンプしたらどこまで飛ぶのか,などといろいろ考えてみる...
小惑星探査機はやぶさ
--------------------
このページで考えたみたような小惑星,太陽系にも実際に存在...
おもに火星と木星の間にあり,軌道が分かっているものだけで...
(実際の小惑星の直径はもう少し小さく, 1, 2 キロメートル...
そしてさらに,日本の JAXA_ が小惑星「イトカワ」から表面の...
2003年5月9日に 小惑星探査機はやぶさ_ を打ち上げ,現在ミッ...
小惑星「イトカワ」は直径約500メートル,上で求めた半径より...
小惑星上での重力は地球のざっと一万分の一以下,
火星に送り込んだ「ローバー」のような自走型の探査機は使え...
その理由は,ちょっと走ると浮いてしまうというのもあります...
重力(定数 $g$ )が微少なのでタイヤが十分な摩擦力 $F=\mu ...
得られないという理由も大きいようです.なので,どうせ浮く...
小惑星探査機はホッピングしながら進むそうです.
はやぶさは2005年夏にターゲットの小惑星に極接近し,サンプ...
そして2007年夏にサンプルを地球に持って帰るというなんとも...
小惑星への往復に用いられる電気推進エンジン,接近のための...
現代科学の粋が凝らされていますね.こういったロマン溢れる...
ガッチリと支えているものが物理学だということは,言うまで...
.. _式(1): #eq1
.. _式(2): #eq2
.. _式(3): #eq3
.. _式(4): #eq4
.. _式(5): #eq5
.. _JAXA: http://www.jaxa.jp/index_j.html
.. _小惑星探査機はやぶさ: http://www.isas.jaxa.jp/j/enter...
@@reference:ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%BA%E5%B7%A5%E8%A...
@@reference:nssdc.gsfc.nasa.gov/imgcat/,NSSDC PLANETARY I...
@@author:崎間@@
@@accept:2005-01-31@@
@@category:力学@@
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