記事ソース/斜交座標での2次元フーリエ変換
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斜交座標での2次元フーリエ変換
=========================================================...
二次元フーリエ変換ってありますよね。僕が今まで見たことあ...
全て2つの変数が直交したものでした。そこで、今回2つの変...
なしている時のフーリエ変換を考えます。
この記事の結論から書くと、
<tex>
\mathcal{F}(f(x,y)) &= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\i...
&= \hat{f}(\omega_1,\omega_2) \tag{##}
</tex>
<tex>
\mathcal{F}^{-1}(\hat{f}(\omega_1,\omega_2)) &= \dfrac{1}...
&= f(x^\prime,y^\prime) \tag{##}
</tex>
に対して、次の $\mathcal{G}$ で斜交座標系でのフーリエ変換...
<tex>
\mathcal{G}(f(x,y))
&= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,...
&= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,...
&= \hat{f}(a \omega_1 + c \omega_2 , b \omega_1 + d \omeg...
</tex>
と、普通の二次元フーリエ変換の波数 $\omega_1,\omega_2$ が...
<tex>
\mathcal{G}^{-1}(\hat{f})
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 ...
&= \dfrac{1}{ad-bc} f(x^\prime,y^\prime) \tag{##}
</tex>
が成立します。
証明
===================
<tex>
\mathcal{G}^{-1} \left( \mathcal{G}(f) \right)
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 ...
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 ...
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty dy \int_{...
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty dy \int_{...
&= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,...
</tex>
ここで、
<tex>
\int_{-\infty}^\infty d \omega \exp \left( i a (x^\prime ...
\delta(x) &= \delta(-x) \tag{##}
</tex>
を用いました。さて、ここで
<tex>
\begin{cases}
s &= ax + by \\
t &= cx + dy
\end{cases} \tag{##}
</tex>
と置きます。すると、
<tex>
dsdt &=
\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial s}{\partial x} & \dfrac{\partial s}{\part...
\dfrac{\partial t}{\partial x} & \dfrac{\partial t}{\part...
\end{vmatrix} dxdy \\
&= (ad-bc)dxdy \tag{##}
</tex>
です。つまり、
<tex>
dxdy &= \dfrac{1}{ad-bc} dsdt \tag{##}
</tex>
を使って、
<tex>
&\int_{- \infty}^\infty dx \int_{- \infty}^\infty dy \de...
&= \int_{- \infty}^\infty \int_{- \infty}^\infty \delt...
&= \dfrac{1}{ad-bc} \iint \delta (s-s^\prime ) \delta (t-...
&= \dfrac{1}{ad-bc} \tag{##}
</tex>
ですから、
<tex>
\delta((ax+by)-(ax^\prime +by^\prime )) \delta((cx+dy)-(c...
</tex>
となります。よって、
<tex>
\mathcal{G}^{-1} \left( \mathcal{G}(f) \right)
&= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,...
&= \dfrac{1}{ad-bc} \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\inft...
&= \dfrac{1}{ad-bc} f(x^\prime,y^\prime) \tag{##}
</tex>
が言えました。この積分の微小要素 $dxdy$ は符号付きで
あります。 $x$ 方向を反時計周りに90度回転すると $y$ 方...
この時積分素 $dxdy$ は正になります。 $\omega_1,\omega_2$ ...
また、波面に垂直なベクトル $(a,b)$ を $(c,d)$ に原点を中...
方向を重ねる時、
反時計回りに回った方が早い場合、 $ad-bc>0$ であり、
時計回りに回った方が早い場合、 $ad-bc<0$ です。
なお、この $ad-bc$ とはベクトル $(a,b)$ と $(c,d)$ から作...
今回ここで示した定理は不思議な事だと思うのです。
直交した2方向のフーリエ変換と斜交した2方向のフーリエ変...
波数空間では少し違ったものになりますが、
もう一度フーリエ逆変換を施すと、定数倍の差こそあれ、
元の関数に戻ってくるのです。最初に試みた時は、
複雑な計算になってしまうだろうと思っていましたが、
実際やってみると、すごく簡単でした。
ここで示せたことを簡単に言葉で解釈するなら、
今までの二次元フーリエ変換では、二次元の関数を $e^{i \ome...
今日はこの辺で、お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2018-02-11@@
@@category:フーリエ解析@@
@@id:2DimFourierInObliqueCoordinate@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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斜交座標での2次元フーリエ変換
=========================================================...
二次元フーリエ変換ってありますよね。僕が今まで見たことあ...
全て2つの変数が直交したものでした。そこで、今回2つの変...
なしている時のフーリエ変換を考えます。
この記事の結論から書くと、
<tex>
\mathcal{F}(f(x,y)) &= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\i...
&= \hat{f}(\omega_1,\omega_2) \tag{##}
</tex>
<tex>
\mathcal{F}^{-1}(\hat{f}(\omega_1,\omega_2)) &= \dfrac{1}...
&= f(x^\prime,y^\prime) \tag{##}
</tex>
に対して、次の $\mathcal{G}$ で斜交座標系でのフーリエ変換...
<tex>
\mathcal{G}(f(x,y))
&= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,...
&= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,...
&= \hat{f}(a \omega_1 + c \omega_2 , b \omega_1 + d \omeg...
</tex>
と、普通の二次元フーリエ変換の波数 $\omega_1,\omega_2$ が...
<tex>
\mathcal{G}^{-1}(\hat{f})
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 ...
&= \dfrac{1}{ad-bc} f(x^\prime,y^\prime) \tag{##}
</tex>
が成立します。
証明
===================
<tex>
\mathcal{G}^{-1} \left( \mathcal{G}(f) \right)
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 ...
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 ...
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty dy \int_{...
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty dy \int_{...
&= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,...
</tex>
ここで、
<tex>
\int_{-\infty}^\infty d \omega \exp \left( i a (x^\prime ...
\delta(x) &= \delta(-x) \tag{##}
</tex>
を用いました。さて、ここで
<tex>
\begin{cases}
s &= ax + by \\
t &= cx + dy
\end{cases} \tag{##}
</tex>
と置きます。すると、
<tex>
dsdt &=
\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial s}{\partial x} & \dfrac{\partial s}{\part...
\dfrac{\partial t}{\partial x} & \dfrac{\partial t}{\part...
\end{vmatrix} dxdy \\
&= (ad-bc)dxdy \tag{##}
</tex>
です。つまり、
<tex>
dxdy &= \dfrac{1}{ad-bc} dsdt \tag{##}
</tex>
を使って、
<tex>
&\int_{- \infty}^\infty dx \int_{- \infty}^\infty dy \de...
&= \int_{- \infty}^\infty \int_{- \infty}^\infty \delt...
&= \dfrac{1}{ad-bc} \iint \delta (s-s^\prime ) \delta (t-...
&= \dfrac{1}{ad-bc} \tag{##}
</tex>
ですから、
<tex>
\delta((ax+by)-(ax^\prime +by^\prime )) \delta((cx+dy)-(c...
</tex>
となります。よって、
<tex>
\mathcal{G}^{-1} \left( \mathcal{G}(f) \right)
&= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,...
&= \dfrac{1}{ad-bc} \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\inft...
&= \dfrac{1}{ad-bc} f(x^\prime,y^\prime) \tag{##}
</tex>
が言えました。この積分の微小要素 $dxdy$ は符号付きで
あります。 $x$ 方向を反時計周りに90度回転すると $y$ 方...
この時積分素 $dxdy$ は正になります。 $\omega_1,\omega_2$ ...
また、波面に垂直なベクトル $(a,b)$ を $(c,d)$ に原点を中...
方向を重ねる時、
反時計回りに回った方が早い場合、 $ad-bc>0$ であり、
時計回りに回った方が早い場合、 $ad-bc<0$ です。
なお、この $ad-bc$ とはベクトル $(a,b)$ と $(c,d)$ から作...
今回ここで示した定理は不思議な事だと思うのです。
直交した2方向のフーリエ変換と斜交した2方向のフーリエ変...
波数空間では少し違ったものになりますが、
もう一度フーリエ逆変換を施すと、定数倍の差こそあれ、
元の関数に戻ってくるのです。最初に試みた時は、
複雑な計算になってしまうだろうと思っていましたが、
実際やってみると、すごく簡単でした。
ここで示せたことを簡単に言葉で解釈するなら、
今までの二次元フーリエ変換では、二次元の関数を $e^{i \ome...
今日はこの辺で、お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2018-02-11@@
@@category:フーリエ解析@@
@@id:2DimFourierInObliqueCoordinate@@
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