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===================================
七次元の外積
===================================
内積の演算は、一般の $n$ 次元のベクトルについて、問題なく...
<tex>
(A_{1},A_{2},...,A_{n})\cdot
\left(
\begin{array}{c}
B_{1} \\
B_{2} \\
\vdots \\
B_{n} \\
\end{array}
\right)
=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+...+A_{n}B_{n}
</tex>
ところが、外積の方は今まで三次元でしか計算していません。...
四元数を用いた外積の定義
----------------------------------------------------------
外積という計算を導入する方法として、 四元数_ を用いるもの...
<tex>
i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1 \tag{1}
</tex>
<tex>
ij=k,\ jk=i,\ ki=j \tag{2}
</tex>
<tex>
ji=-k,\ kj=-i,\ ik=-j \tag{3}
</tex>
こりゃ、いったい何なんだ?と思ってはいけません。四元数と...
四元数 $s+iu+jv+kw$ の最初の実数部分、すなわち $s$ を *ス...
.. [*] 代数学の立場で考えると、四則演算を定義できる数は、...
少し脇道に逸れますが、四元数の誕生とベクトルとの関わりに...
"Every morning in the early part of the abovecited month,...
(上述の月[四元数を発見した月]の上旬といえば、毎朝私が朝...
三次元ベクトルに対応する三元数を探す試みから始まった四元...
さて、ベクトル $(A_{1},A_{2},A_{3}),(B_{1},B_{2},B_{3})$ ...
<tex>
(iA_{1}+jA_{2}+kA_{3})(iB_{1}+jB_{2}+kB_{3})
&= iiA_{1}B_{1}+ ijA_{1}B_{2}+ ikA_{1}B_{3} \\
& \ \ + jiA_{2}B_{1}+ jjA_{2}B_{2}+ jkA_{2}B_{3} \\
& \ \ + kiA_{3}B_{1}+ kjA_{3}B_{2}+ kkA_{3}B_{3} \\
&= -A_{1}B_{1}+ kA_{1}B_{2} -jA_{1}B_{3} \\
& \ \ -kA_{2}B_{1}-A_{2}B_{2}+ iA_{2}B_{3} \\
& \ \ +jA_{3}B_{1} -i A_{3}B_{2}-A_{3}B_{3} \\
&= -(A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}) + i(A_{2}B_{3}-A_{...
& \ \ + j(A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3})+k(A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1})
</tex>
この結果から、スカラー部分を無視すると、 $i(A_{2}B_{3}-A_...
.. figure:: Joh-Hamilton.gif
四元数を発見したハミルトン。アイルランドの切手にもなって...
さらに高次の外積
-----------------------------------------------------
なんとなく察しがついて来たかと思いますが、四元数のように...
.. important::
乗法のうまく定義できた $n$ 元数があれば、 $n-1$ 次ベクト...
一般に、 $n$ 元数を 超複素数_ と言いますが、ここでは超複...
八元数は一般に $a_{1}+ia_{2}+ja_{3}+ka_{4}+la_{5}+lia_{6}...
.. csv-table::
:header: "", "i", "j","k","l","li","lj","lk"
"i", "-1" , "k" ,"-j","-li","l","-lk","lj"
"j", "-k" , "-1" ,"i","-lj","lk","l","-li"
"k", "j" , "-i" ,"-1","-lk","-lj","li","l"
"l", "li" , "lj" ,"lk","-1","-i","-j","-k"
"li", "-l" , "-lk" ,"lj","i","-1","-k","j"
"lj", "lk" , "-l" ,"-li","j","k","-1","-i"
"lk", "-lj" , "li" ,"-l","k","-j","i","-1"
では、七次元のベクトルを、八元数のベクトル部分に対応させ...
<tex>
&(ia_{1}+ja_{2}+ka_{3}+la_{4}+lia_{5}+lja_{6}+lka_{7})(ib...
&= iia_{1}b_{1}+ija_{1}b_{2}+ika_{1}b_{3}+ila_{1}b_{...
+ilja_{1}b_{6}+ilka_{1}b_{7}\\
& \ \ + jia_{2}b_{1}+jja_{2}b_{2}+jka_{2}b_{3}+jla_{2}b_{...
+jlja_{2}b_{6}+jlka_{2}b_{7}\\
& \ \ + kia_{3}b_{1}+kja_{3}b_{2}+kka_{3}b_{3}+kla_{3}b_{...
+klja_{3}b_{6}+klka_{3}b_{7}\\
& \ \ + lia_{4}b_{1}+lja_{4}b_{2}+lka_{4}b_{3}+lla_{4}b_{...
+llja_{4}b_{6}+llka_{4}b_{7}\\
& \ \ + liia_{5}b_{1}+lija_{5}b_{2}+lika_{5}b_{3}+lila_{5...
+lilja_{5}b_{6}+lilka_{5}b_{7}\\
& \ \ + ljia_{6}b_{1}+ljja_{6}b_{2}+ljka_{6}b_{3}+ljla_{6...
+ljlja_{6}b_{6}+ljlka_{6}b_{7}\\
& \ \ + lkia_{7}b_{1}+lkja_{7}b_{2}+lkka_{7}b_{3}+lkla_{7...
+lklja_{7}b_{6}+lklka_{7}b_{7}\\
&= -a_{1}b_{1}+ka_{1}b_{2}-ja_{1}b_{3}-lia_{1}b_{4}+...
-lka_{1}b_{6}+lja_{1}b_{7}\\
& \ \ -ka_{2}b_{1}-a_{2}b_{2}+ia_{2}b_{3}-lja_{2}b_{4}+l...
+la_{2}b_{6}-lia_{2}b_{7}\\
& \ \ + ja_{3}b_{1}-ia_{3}b_{2}-a_{3}b_{3}-lka_{3}b_{4}-l...
+lia_{3}b_{6}+la_{3}b_{7}\\
& \ \ + lia_{4}b_{1}+lja_{4}b_{2}+lka_{4}b_{3}-a_{4}b_{4}...
-ja_{4}b_{6}-ka_{4}b_{7}\\
& \ \ -la_{5}b_{1}-lka_{5}b_{2}+lja_{5}b_{3}+ia_{5}b_{4}-...
-ka_{5}b_{6}+ja_{5}b_{7}\\
& \ \ + lka_{6}b_{1}-la_{6}b_{2}-lia_{6}b_{3}+ja_{6}b_{4}...
-a_{6}b_{6}-ia_{6}b_{7}\\
& \ \ -lja_{7}b_{1}+lia_{7}b_{2}-la_{7}b_{3}+ka_{7}b_{4}-...
+ia_{7}b_{6}-a_{7}b_{7}\\
&= -(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}+a_{5}b_{...
& \ \ +i(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}-a_{4}b_{5}+a_{5}b_{4}-a_{6...
& \ \ +j(-a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{6}+a_{5}b_{7}+a_{...
& \ \ +k(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}-a_{4}b_{7}-a_{5}b_{6}+a_{6...
& \ \ +l(a_{1}b_{5}+a_{2}b_{6}+a_{3}b_{7}-a_{5}b_{1}-a_{6...
& \ \ +li(-a_{1}b_{4}-a_{2}b_{7}+a_{3}b_{6}+a_{4}b_{1}-a_...
& \ \ +lk(-a_{1}b_{6}+a_{2}b_{5}-a_{3}b_{4}+a_{4}b_{3}-a_...
</tex>
最後の八行だけ見て頂ければ結構です。四元数のとき同様、ス...
<tex>
\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3} \\
a_{4} \\
a_{5} \\
a_{6} \\
a_{7} \\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2} \\
b_{3} \\
b_{4} \\
b_{5} \\
b_{6} \\
b_{7} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}-a_{4}b_{5}+a_{5}b_{4}-a_{6}b_{7}+a_...
-a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{6}+a_{5}b_{7}+a_{6}b_{4}-a...
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}-a_{4}b_{7}-a_{5}b_{6}+a_{6}b_{5}+a_...
a_{1}b_{5}+a_{2}b_{6}+a_{3}b_{7}-a_{5}b_{1}-a_{6}b_{2}-a_...
-a_{1}b_{4}-a_{2}b_{7}+a_{3}b_{6}+a_{4}b_{1}-a_{6}b_{3}+a...
a_{1}b_{7}-a_{2}b_{4}-a_{3}b_{5}+a_{4}b_{2}+a_{5}b_{3}-a_...
-a_{1}b_{6}+a_{2}b_{5}-a_{3}b_{4}+a_{4}b_{3}-a_{5}b_{2}+a...
\end{array}
\right)
</tex>
なんだかよく見ると、三次元の外積が三つ混ざったような形を...
.. [*] 多元数にもっと興味のある人は、多元環、多元体といっ...
.. [*] 七次元ベクトルの外積では、ヤコビの恒等式 $\bm{A} \...
補足:一次元ベクトルの外積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
四元数、八元数と見てきましたが、そういえば私達のよく知っ...
<tex>
(ib_{1})(ib_{2})=-b_{1}b_{2}
</tex>
四元数や八元数のときと同様、マイナス付き内積のようなスカ...
補足2:さらに高次の外積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
有理数や実数、複素数、四元数、八元数、といった種類の数の...
十六元数は $sedenion$ と呼ばれ、確かにそういうものがあり...
いままでに、 $n$ 元数の $n$ が大きくなっていく過程で、数...
これが四元数の乗法になると、交換則が失われ、二つの四元数 ...
これ以上不自由な乗法など考えたくもありませんが、十六元数...
.. [*] $(xx)y = x (xy)$ となる性質を $alternative$ と言い...
結論
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ベクトルの外積を定義するには、乗法の定義された $n$ 元数が...
他の次元のベクトルで外積を定義できないのは少し残念ではあ...
.. [*] ただし、外積を他の次元にも拡張しようという試みは色...
.. _参考: http://uk.arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0204/0204...
.. _四元数: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/quate...
.. _体: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/FieldDef/
.. _超複素数:
.. _環: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/RingDef/
@@reference: www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilto...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: SevenDCrossProd@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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七次元の外積
===================================
内積の演算は、一般の $n$ 次元のベクトルについて、問題なく...
<tex>
(A_{1},A_{2},...,A_{n})\cdot
\left(
\begin{array}{c}
B_{1} \\
B_{2} \\
\vdots \\
B_{n} \\
\end{array}
\right)
=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+...+A_{n}B_{n}
</tex>
ところが、外積の方は今まで三次元でしか計算していません。...
四元数を用いた外積の定義
----------------------------------------------------------
外積という計算を導入する方法として、 四元数_ を用いるもの...
<tex>
i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1 \tag{1}
</tex>
<tex>
ij=k,\ jk=i,\ ki=j \tag{2}
</tex>
<tex>
ji=-k,\ kj=-i,\ ik=-j \tag{3}
</tex>
こりゃ、いったい何なんだ?と思ってはいけません。四元数と...
四元数 $s+iu+jv+kw$ の最初の実数部分、すなわち $s$ を *ス...
.. [*] 代数学の立場で考えると、四則演算を定義できる数は、...
少し脇道に逸れますが、四元数の誕生とベクトルとの関わりに...
"Every morning in the early part of the abovecited month,...
(上述の月[四元数を発見した月]の上旬といえば、毎朝私が朝...
三次元ベクトルに対応する三元数を探す試みから始まった四元...
さて、ベクトル $(A_{1},A_{2},A_{3}),(B_{1},B_{2},B_{3})$ ...
<tex>
(iA_{1}+jA_{2}+kA_{3})(iB_{1}+jB_{2}+kB_{3})
&= iiA_{1}B_{1}+ ijA_{1}B_{2}+ ikA_{1}B_{3} \\
& \ \ + jiA_{2}B_{1}+ jjA_{2}B_{2}+ jkA_{2}B_{3} \\
& \ \ + kiA_{3}B_{1}+ kjA_{3}B_{2}+ kkA_{3}B_{3} \\
&= -A_{1}B_{1}+ kA_{1}B_{2} -jA_{1}B_{3} \\
& \ \ -kA_{2}B_{1}-A_{2}B_{2}+ iA_{2}B_{3} \\
& \ \ +jA_{3}B_{1} -i A_{3}B_{2}-A_{3}B_{3} \\
&= -(A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}) + i(A_{2}B_{3}-A_{...
& \ \ + j(A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3})+k(A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1})
</tex>
この結果から、スカラー部分を無視すると、 $i(A_{2}B_{3}-A_...
.. figure:: Joh-Hamilton.gif
四元数を発見したハミルトン。アイルランドの切手にもなって...
さらに高次の外積
-----------------------------------------------------
なんとなく察しがついて来たかと思いますが、四元数のように...
.. important::
乗法のうまく定義できた $n$ 元数があれば、 $n-1$ 次ベクト...
一般に、 $n$ 元数を 超複素数_ と言いますが、ここでは超複...
八元数は一般に $a_{1}+ia_{2}+ja_{3}+ka_{4}+la_{5}+lia_{6}...
.. csv-table::
:header: "", "i", "j","k","l","li","lj","lk"
"i", "-1" , "k" ,"-j","-li","l","-lk","lj"
"j", "-k" , "-1" ,"i","-lj","lk","l","-li"
"k", "j" , "-i" ,"-1","-lk","-lj","li","l"
"l", "li" , "lj" ,"lk","-1","-i","-j","-k"
"li", "-l" , "-lk" ,"lj","i","-1","-k","j"
"lj", "lk" , "-l" ,"-li","j","k","-1","-i"
"lk", "-lj" , "li" ,"-l","k","-j","i","-1"
では、七次元のベクトルを、八元数のベクトル部分に対応させ...
<tex>
&(ia_{1}+ja_{2}+ka_{3}+la_{4}+lia_{5}+lja_{6}+lka_{7})(ib...
&= iia_{1}b_{1}+ija_{1}b_{2}+ika_{1}b_{3}+ila_{1}b_{...
+ilja_{1}b_{6}+ilka_{1}b_{7}\\
& \ \ + jia_{2}b_{1}+jja_{2}b_{2}+jka_{2}b_{3}+jla_{2}b_{...
+jlja_{2}b_{6}+jlka_{2}b_{7}\\
& \ \ + kia_{3}b_{1}+kja_{3}b_{2}+kka_{3}b_{3}+kla_{3}b_{...
+klja_{3}b_{6}+klka_{3}b_{7}\\
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+llja_{4}b_{6}+llka_{4}b_{7}\\
& \ \ + liia_{5}b_{1}+lija_{5}b_{2}+lika_{5}b_{3}+lila_{5...
+lilja_{5}b_{6}+lilka_{5}b_{7}\\
& \ \ + ljia_{6}b_{1}+ljja_{6}b_{2}+ljka_{6}b_{3}+ljla_{6...
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+lklja_{7}b_{6}+lklka_{7}b_{7}\\
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-lka_{1}b_{6}+lja_{1}b_{7}\\
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+lia_{3}b_{6}+la_{3}b_{7}\\
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-ja_{4}b_{6}-ka_{4}b_{7}\\
& \ \ -la_{5}b_{1}-lka_{5}b_{2}+lja_{5}b_{3}+ia_{5}b_{4}-...
-ka_{5}b_{6}+ja_{5}b_{7}\\
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</tex>
最後の八行だけ見て頂ければ結構です。四元数のとき同様、ス...
<tex>
\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3} \\
a_{4} \\
a_{5} \\
a_{6} \\
a_{7} \\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
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b_{3} \\
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b_{5} \\
b_{6} \\
b_{7} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}-a_{4}b_{5}+a_{5}b_{4}-a_{6}b_{7}+a_...
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a_{1}b_{7}-a_{2}b_{4}-a_{3}b_{5}+a_{4}b_{2}+a_{5}b_{3}-a_...
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\end{array}
\right)
</tex>
なんだかよく見ると、三次元の外積が三つ混ざったような形を...
.. [*] 多元数にもっと興味のある人は、多元環、多元体といっ...
.. [*] 七次元ベクトルの外積では、ヤコビの恒等式 $\bm{A} \...
補足:一次元ベクトルの外積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
四元数、八元数と見てきましたが、そういえば私達のよく知っ...
<tex>
(ib_{1})(ib_{2})=-b_{1}b_{2}
</tex>
四元数や八元数のときと同様、マイナス付き内積のようなスカ...
補足2:さらに高次の外積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
有理数や実数、複素数、四元数、八元数、といった種類の数の...
十六元数は $sedenion$ と呼ばれ、確かにそういうものがあり...
いままでに、 $n$ 元数の $n$ が大きくなっていく過程で、数...
これが四元数の乗法になると、交換則が失われ、二つの四元数 ...
これ以上不自由な乗法など考えたくもありませんが、十六元数...
.. [*] $(xx)y = x (xy)$ となる性質を $alternative$ と言い...
結論
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ベクトルの外積を定義するには、乗法の定義された $n$ 元数が...
他の次元のベクトルで外積を定義できないのは少し残念ではあ...
.. [*] ただし、外積を他の次元にも拡張しようという試みは色...
.. _参考: http://uk.arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0204/0204...
.. _四元数: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/quate...
.. _体: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/FieldDef/
.. _超複素数:
.. _環: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/RingDef/
@@reference: www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilto...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: SevenDCrossProd@@
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