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#rst2hooktail_source
==========================
四元数
==========================
実数は直線上の一点を、虚数は平面上の一点を表すものです。
しかし、残念ながら3次元以上の一点を表すような数を美しく定...
それでも、乗法の交換則を犠牲にすればなんとか四元数という...
高校や大学でも四元数の話を少し習うかもしれませんが、
物理学で実際に四元数をどのように応用できるかというと、勉...
実は、四元数を使うと剛体の回転が美しく記述できるのです。
剛体の回転運動や、結晶構造の解析などに役立ちますし、
実際にスペースシャトルの姿勢を制御する計算にも四元数が使...
四元数の基礎
--------------------------
あまり数学的な内容には立ち入らずに、必要事項だけを簡単に...
(興味のある人はもっと詳しい本を読んでみてください。)
四元数の生い立ち
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
四元数はアイルランドの数学者ハミルトン( $\text{(Sir Willi...
ダブリン市内のロイヤル運河沿いを歩いていたとき、
突如として四元数の原理がひらめいたということです。
ハミルトンはとっさに運河にかかるブロハム橋に、 $i^{2}=j^{...
いまではハミルトンを記念して、その橋はウィリアム・ローア...
という噂だったのですが、現地ではそのような様子はまったく...
ハミルトンの当時は、Brougham Bridge と呼ばれていたそうで...
Broughamの現地での発音が、ブルームなのだそうで、音に準じ...
と綴られているとのことです。(普通の英語だと、Broughamは、...
感じに読むと思いますので、アイルランド弁でしょうか。地名...
.. figure:: Joh-4dim-bridge1.jpg
ウィリアム・ローアン・ハミルトン橋( $2005$ 年Joh撮影)
四元数を記念するプレートも付いています。プレートの内容は...
『 $1843$ 年 $10$ 月 $16$ 日、ウィリアム・ローアン・ハミ...
歩いている際、天才的な閃きによって四元数の基本となる演算...
$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ を発見し、この橋の石に書き込んだので...
.. figure:: Joh-4dim-bridge2.jpg
四元数を記念したプレート
アイルランド旅行の際には、是非行ってみたい場所ですね。
四元数の定義
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
四元数とは次のような数です。
<tex>
q=s+iu+jv+kw
</tex>
ここで $s$ , $u$ , $v$ , $w$ は実数で、 $i$ , $j$ , $k$ ...
<tex>
i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1
</tex>
<tex>
ij=k,\ jk=i,\ ki=j
</tex>
<tex>
ji=-k,\ kj=-i,\ ik=-j
</tex>
四元数の積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
二つの四元数の積を考えてみます。
<tex>
qq' &=(s+iu+jv+kw)(s'+iu'+jv'+kw')\\
&=ss'+isu'+jsv'+ksw'+ius'-uu'+kuv'-juw'\\
&+jvs'-kvu'-vv'+ivw'+kws'+jwu'-iwv'-ww'\\
&=(ss'-uu'-vv'-ww')+i(su'+ us'+vw'-wv')+j(sv'-uw'+vs'+wu'...
&+k(sw'+uv'-vu'+ws')
</tex>
この結果はダッシュのついた記号とつかない記号とに関して対...
<tex>
qq'\ne q'q
</tex>
分配則や結合則は成り立ちます。
補足:
四元数をスカラー部分とベクトル部分に分けて、次のように書...
<tex>
q=s+\bm{v}
</tex>
ここで $\bm{v}=iu+jv+kw$ です。この表式を用いると、四元数...
<tex>
qq'=(ss'-\bm{v}\cdot \bm{v}')+(sv'+s'\bm{v}+\bm{v}\time...
</tex>
共役四元数
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
四元数 $q=s+iu+jv+kw$ の共役というものを次のように定義し...
<tex>
\overline {q}=s-iu-jv-kw
</tex>
このとき、次の関係が成り立つことは計算してみればすぐに分...
<tex>
q\overline {q}=\overline {q}q=s^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}
</tex>
四元数の絶対値
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
共役四元数を用いて、四元数の絶対値を次のように定義します。
<tex>
|q| =\sqrt{q\overline {q}}=\sqrt{s^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}}
</tex>
これより、 $ |q| =0$ となるのは、 $s=u=v=w=0$ のときだけ...
四元数の逆数
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
逆数は次のように定義します。
<tex>
\displaystyle q^{-1}={\overline {q}\over \big\arrowvert q...
</tex>
四元数には乗法の交換則を除いて(零による除算はもちろん除く...
四元数の積を三次元の回転の表現に応用する
--------------------------
三次元での剛体の有限回転は、一般に交換則には従いません。...
「ベクトル $\bm{x}$ を、原点を通る単位ベクトル $\bm{u}$ ...
<tex>
\bm{x}'=q \bm{x} \overline {q}
</tex>
<tex>
\displaystyle q=\cos {\theta \over 2} + \bm{u} \sin {\t...
</tex>
ここで、 $\bm{u}=iu_{1}+ju_{2}+ku_{3}$ です。
また、回転 $q_{1}$ に引き続いて回転 $q_{2}$ を行う場合は...
<tex>
x'=(q_{2}q_{1})x(\overline {q_{1}}\ \overline {q_{2}})
</tex>
なんて簡単なんでしょう!
例題
--------------------------
実際に計算して確かめてみましょう。
「ベクトル $(0,0,1)$ を $y$ 軸の回りに90度回転させる」と...
.. image:: Joh-4dim.png
ベクトル $\bm{x}=(0,0,1)$ は、四元数表示で次のようになり...
<tex>
\bm{x}=k
</tex>
また、 $y$ 軸の回りに90度回転させることを四元数で表現する...
<tex>
q= \cos \frac{\pi}{4} + j\sin \frac{\pi}{4}= \frac{1}{\sq...
</tex>
先ほどの公式を使って、求めるベクトルは次のように計算でき...
<tex>
\bm{x}'=&q \bm{x} \overline{q}\\
&=(\frac{1}{\sqrt{2}} + j\frac{1}{\sqrt{2}})k(\frac{1}{\s...
&=(\frac{1}{\sqrt{2}} + j\frac{1}{\sqrt{2}})(k\frac{1}{\s...
&=k\frac{1}{2}+i\frac{1}{2}+i\frac{1}{2}-k\frac{1}{2}\\
&=i
</tex>
四元数表示では $\bm{x}'=i$ はベクトル $(1,0,0)$ を意味す...
@@author: Joh@@
@@accept: 2005-01-20@@
@@category: 物理数学@@
@@id:quaternion@@
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#rst2hooktail_source
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四元数
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実数は直線上の一点を、虚数は平面上の一点を表すものです。
しかし、残念ながら3次元以上の一点を表すような数を美しく定...
それでも、乗法の交換則を犠牲にすればなんとか四元数という...
高校や大学でも四元数の話を少し習うかもしれませんが、
物理学で実際に四元数をどのように応用できるかというと、勉...
実は、四元数を使うと剛体の回転が美しく記述できるのです。
剛体の回転運動や、結晶構造の解析などに役立ちますし、
実際にスペースシャトルの姿勢を制御する計算にも四元数が使...
四元数の基礎
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あまり数学的な内容には立ち入らずに、必要事項だけを簡単に...
(興味のある人はもっと詳しい本を読んでみてください。)
四元数の生い立ち
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
四元数はアイルランドの数学者ハミルトン( $\text{(Sir Willi...
ダブリン市内のロイヤル運河沿いを歩いていたとき、
突如として四元数の原理がひらめいたということです。
ハミルトンはとっさに運河にかかるブロハム橋に、 $i^{2}=j^{...
いまではハミルトンを記念して、その橋はウィリアム・ローア...
という噂だったのですが、現地ではそのような様子はまったく...
ハミルトンの当時は、Brougham Bridge と呼ばれていたそうで...
Broughamの現地での発音が、ブルームなのだそうで、音に準じ...
と綴られているとのことです。(普通の英語だと、Broughamは、...
感じに読むと思いますので、アイルランド弁でしょうか。地名...
.. figure:: Joh-4dim-bridge1.jpg
ウィリアム・ローアン・ハミルトン橋( $2005$ 年Joh撮影)
四元数を記念するプレートも付いています。プレートの内容は...
『 $1843$ 年 $10$ 月 $16$ 日、ウィリアム・ローアン・ハミ...
歩いている際、天才的な閃きによって四元数の基本となる演算...
$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ を発見し、この橋の石に書き込んだので...
.. figure:: Joh-4dim-bridge2.jpg
四元数を記念したプレート
アイルランド旅行の際には、是非行ってみたい場所ですね。
四元数の定義
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
四元数とは次のような数です。
<tex>
q=s+iu+jv+kw
</tex>
ここで $s$ , $u$ , $v$ , $w$ は実数で、 $i$ , $j$ , $k$ ...
<tex>
i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1
</tex>
<tex>
ij=k,\ jk=i,\ ki=j
</tex>
<tex>
ji=-k,\ kj=-i,\ ik=-j
</tex>
四元数の積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
二つの四元数の積を考えてみます。
<tex>
qq' &=(s+iu+jv+kw)(s'+iu'+jv'+kw')\\
&=ss'+isu'+jsv'+ksw'+ius'-uu'+kuv'-juw'\\
&+jvs'-kvu'-vv'+ivw'+kws'+jwu'-iwv'-ww'\\
&=(ss'-uu'-vv'-ww')+i(su'+ us'+vw'-wv')+j(sv'-uw'+vs'+wu'...
&+k(sw'+uv'-vu'+ws')
</tex>
この結果はダッシュのついた記号とつかない記号とに関して対...
<tex>
qq'\ne q'q
</tex>
分配則や結合則は成り立ちます。
補足:
四元数をスカラー部分とベクトル部分に分けて、次のように書...
<tex>
q=s+\bm{v}
</tex>
ここで $\bm{v}=iu+jv+kw$ です。この表式を用いると、四元数...
<tex>
qq'=(ss'-\bm{v}\cdot \bm{v}')+(sv'+s'\bm{v}+\bm{v}\time...
</tex>
共役四元数
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
四元数 $q=s+iu+jv+kw$ の共役というものを次のように定義し...
<tex>
\overline {q}=s-iu-jv-kw
</tex>
このとき、次の関係が成り立つことは計算してみればすぐに分...
<tex>
q\overline {q}=\overline {q}q=s^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}
</tex>
四元数の絶対値
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
共役四元数を用いて、四元数の絶対値を次のように定義します。
<tex>
|q| =\sqrt{q\overline {q}}=\sqrt{s^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}}
</tex>
これより、 $ |q| =0$ となるのは、 $s=u=v=w=0$ のときだけ...
四元数の逆数
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
逆数は次のように定義します。
<tex>
\displaystyle q^{-1}={\overline {q}\over \big\arrowvert q...
</tex>
四元数には乗法の交換則を除いて(零による除算はもちろん除く...
四元数の積を三次元の回転の表現に応用する
--------------------------
三次元での剛体の有限回転は、一般に交換則には従いません。...
「ベクトル $\bm{x}$ を、原点を通る単位ベクトル $\bm{u}$ ...
<tex>
\bm{x}'=q \bm{x} \overline {q}
</tex>
<tex>
\displaystyle q=\cos {\theta \over 2} + \bm{u} \sin {\t...
</tex>
ここで、 $\bm{u}=iu_{1}+ju_{2}+ku_{3}$ です。
また、回転 $q_{1}$ に引き続いて回転 $q_{2}$ を行う場合は...
<tex>
x'=(q_{2}q_{1})x(\overline {q_{1}}\ \overline {q_{2}})
</tex>
なんて簡単なんでしょう!
例題
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実際に計算して確かめてみましょう。
「ベクトル $(0,0,1)$ を $y$ 軸の回りに90度回転させる」と...
.. image:: Joh-4dim.png
ベクトル $\bm{x}=(0,0,1)$ は、四元数表示で次のようになり...
<tex>
\bm{x}=k
</tex>
また、 $y$ 軸の回りに90度回転させることを四元数で表現する...
<tex>
q= \cos \frac{\pi}{4} + j\sin \frac{\pi}{4}= \frac{1}{\sq...
</tex>
先ほどの公式を使って、求めるベクトルは次のように計算でき...
<tex>
\bm{x}'=&q \bm{x} \overline{q}\\
&=(\frac{1}{\sqrt{2}} + j\frac{1}{\sqrt{2}})k(\frac{1}{\s...
&=(\frac{1}{\sqrt{2}} + j\frac{1}{\sqrt{2}})(k\frac{1}{\s...
&=k\frac{1}{2}+i\frac{1}{2}+i\frac{1}{2}-k\frac{1}{2}\\
&=i
</tex>
四元数表示では $\bm{x}'=i$ はベクトル $(1,0,0)$ を意味す...
@@author: Joh@@
@@accept: 2005-01-20@@
@@category: 物理数学@@
@@id:quaternion@@
ページ名:
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物理のかぎプロジェクト
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