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三重積
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二つのベクトルの掛け算には *内積* $\cdot$ と *外積* $\t...
.. image:: Joh-VectorProds1.gif
この記事ではさらに、 $3$ つのベクトルの積を考えます。ベク...
<tex>
\bm{A} \cdot (\bm{B} \times \bm{C}) \tag{1}
</tex>
<tex>
\bm{A} \times (\bm{B} \times \bm{C}) \tag{2}
</tex>
<tex>
\bm{A} (\bm{B} \cdot \bm{C}) \tag{3}
</tex>
式 $(1)$ で定義される三重積は $(\bm{B} \times \bm{C})$ の...
式 $(2)$ で定義される三重積は $(\bm{B} \times \bm{C})$ 部...
式 $(3)$ は、 $(\bm{B} \cdot \bm{C})$ の部分がスカラーで...
結局、なんだか面白そうなのは、スカラー三重積とベクトル三...
スカラー三重積
---------------------------------------------------------...
まず、ベクトル $\bm{A},\bm{B},\bm{C}$ は一次独立だとしま...
.. image:: Joh-VectorProds2.gif
このベクトルと $\bm{A}$ の内積を取ります。
<tex>
\bm{A} \cdot (\bm{B} \times \bm{C}) = |\bm{A}||\bm{B} \ti...
</tex>
ここに出てくる $\theta$ は、 $\bm{A}$ と $\bm{B} \times \...
.. image:: Joh-vectorProds3.gif
図形的意味からも明らかですが、スカラー三重積は積の順番に...
<tex>
\bm{A} \cdot (\bm{B} \times \bm{C}) = \bm{B} \cdot (\bm{C...
</tex>
また、ベクトル $\bm{A},\bm{B},\bm{C}$ が一次従属の場合、...
<tex>
\bm{A} \cdot (\bm{B} \times \bm{C}) = 0 \ \ \Leftrightarr...
</tex>
スカラー三重積を、次のように行列式で表現することもできま...
<tex>
\bm{A} \cdot (\bm{B} \times \bm{C}) =
\left|
\begin{array}{ccc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} \\
B_{1} & B_{2} & B_{3} \\
C_{1} & C_{2} & C_{3} \\
\end{array}
\right| \tag{6}
</tex>
公式 $(4)(5)(6)$ は、実際に成分を代入すれば簡単に証明でき...
もう一つ重要なことがあります。それは、スカラー三重積は平...
.. image:: Joh-VectorProds6.gif
三つのベクトルさえあれば、順番は関係ないということでした...
<tex>
[\bm{A} \bm{B} \bm{C}]=\bm{A} \cdot (\bm{B} \times \bm{C}...
</tex>
この括弧を *グラスマン記号* と呼びます。スカラー三重積を...
.. [*] グラスマン( $\text{Hermann G}$ $\ddot{u}$ $\text{n...
ベクトル三重積
-----------------------------------------------------------
ベクトル三重積 $\bm{A} \times (\bm{B} \times \bm{C})$ は...
<tex>
\bm{A} \times (\bm{B} \times \bm{C}) = (\bm{C}\cdot \bm{A...
</tex>
この公式の証明は、実際に成分を代入すれば示せるのでここで...
.. image:: Joh-VectorProds8.gif
ベクトル三重積は、スカラー三重積とは異なり、ベクトルを入...
<tex>
\bm{B} \times (\bm{C} \times \bm{A}) = (\bm{A}\cdot \bm{B...
</tex>
<tex>
\bm{C} \times (\bm{A} \times \bm{B}) = (\bm{B}\cdot \bm{C...
</tex>
式 $(7)(8)(9)$ を足し合わせると次式を得ます。これは三つの...
<tex>
\bm{A} \times (\bm{B} \times \bm{C}) + \bm{B} \times (\bm...
</tex>
これを *ヤコビの恒等式* と呼ぶことがあります。とても美し...
.. [*] 一般に、二種類の元 $X,Y$ の積(どんな掛け算かは問...
.. _軸性ベクトルと極性ベクトル: http://www12.plala.or.jp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: Triprod@@
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#rst2hooktail_source
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三重積
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二つのベクトルの掛け算には *内積* $\cdot$ と *外積* $\t...
.. image:: Joh-VectorProds1.gif
この記事ではさらに、 $3$ つのベクトルの積を考えます。ベク...
<tex>
\bm{A} \cdot (\bm{B} \times \bm{C}) \tag{1}
</tex>
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\bm{A} \times (\bm{B} \times \bm{C}) \tag{2}
</tex>
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\bm{A} (\bm{B} \cdot \bm{C}) \tag{3}
</tex>
式 $(1)$ で定義される三重積は $(\bm{B} \times \bm{C})$ の...
式 $(2)$ で定義される三重積は $(\bm{B} \times \bm{C})$ 部...
式 $(3)$ は、 $(\bm{B} \cdot \bm{C})$ の部分がスカラーで...
結局、なんだか面白そうなのは、スカラー三重積とベクトル三...
スカラー三重積
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まず、ベクトル $\bm{A},\bm{B},\bm{C}$ は一次独立だとしま...
.. image:: Joh-VectorProds2.gif
このベクトルと $\bm{A}$ の内積を取ります。
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\bm{A} \cdot (\bm{B} \times \bm{C}) = |\bm{A}||\bm{B} \ti...
</tex>
ここに出てくる $\theta$ は、 $\bm{A}$ と $\bm{B} \times \...
.. image:: Joh-vectorProds3.gif
図形的意味からも明らかですが、スカラー三重積は積の順番に...
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\bm{A} \cdot (\bm{B} \times \bm{C}) = \bm{B} \cdot (\bm{C...
</tex>
また、ベクトル $\bm{A},\bm{B},\bm{C}$ が一次従属の場合、...
<tex>
\bm{A} \cdot (\bm{B} \times \bm{C}) = 0 \ \ \Leftrightarr...
</tex>
スカラー三重積を、次のように行列式で表現することもできま...
<tex>
\bm{A} \cdot (\bm{B} \times \bm{C}) =
\left|
\begin{array}{ccc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} \\
B_{1} & B_{2} & B_{3} \\
C_{1} & C_{2} & C_{3} \\
\end{array}
\right| \tag{6}
</tex>
公式 $(4)(5)(6)$ は、実際に成分を代入すれば簡単に証明でき...
もう一つ重要なことがあります。それは、スカラー三重積は平...
.. image:: Joh-VectorProds6.gif
三つのベクトルさえあれば、順番は関係ないということでした...
<tex>
[\bm{A} \bm{B} \bm{C}]=\bm{A} \cdot (\bm{B} \times \bm{C}...
</tex>
この括弧を *グラスマン記号* と呼びます。スカラー三重積を...
.. [*] グラスマン( $\text{Hermann G}$ $\ddot{u}$ $\text{n...
ベクトル三重積
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ベクトル三重積 $\bm{A} \times (\bm{B} \times \bm{C})$ は...
<tex>
\bm{A} \times (\bm{B} \times \bm{C}) = (\bm{C}\cdot \bm{A...
</tex>
この公式の証明は、実際に成分を代入すれば示せるのでここで...
.. image:: Joh-VectorProds8.gif
ベクトル三重積は、スカラー三重積とは異なり、ベクトルを入...
<tex>
\bm{B} \times (\bm{C} \times \bm{A}) = (\bm{A}\cdot \bm{B...
</tex>
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\bm{C} \times (\bm{A} \times \bm{B}) = (\bm{B}\cdot \bm{C...
</tex>
式 $(7)(8)(9)$ を足し合わせると次式を得ます。これは三つの...
<tex>
\bm{A} \times (\bm{B} \times \bm{C}) + \bm{B} \times (\bm...
</tex>
これを *ヤコビの恒等式* と呼ぶことがあります。とても美し...
.. [*] 一般に、二種類の元 $X,Y$ の積(どんな掛け算かは問...
.. _軸性ベクトルと極性ベクトル: http://www12.plala.or.jp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: Triprod@@
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