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#rst2hooktail_source
=========================================================...
三角関数の微分1
=========================================================...
三角関数を続けて微分して行くと, $\sin$ や $\cos$ の繰り...
たとえば, $\sin(x)$ の微分は
<tex>
\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)
</tex>
ですし, $\cos(x)$ の微分は
<tex>
\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)
</tex>
です.2階微分,3階微分となると,これがどんどん繰り返され...
使っているうちに公式として覚えてしまいますが,
そもそも三角関数の微分とは何を意味しているのでしょうか.
ここでは,できるだけ視覚的なイメージから,三角関数の微分...
sin(x) の接線の傾き
===================
$f(x)=\sin(x)$ のグラフはつぎのようなものです.
.. image:: fig1.png
縦軸に $\sin(x)$ ,横軸に $x$ をとっています.微分とはそ...
このグラフに,接線の傾きを書き込みますと
.. image:: fig2.png
というふうになります.この接線の傾きに注目しましょう.
$\sin(x)$ のグラフ自体が $x$ 軸と交わる部分,すなわち $x=...
接線の傾きが最大もしくは最小になることが分かります.
傾きが最大,というのは最も急に右上に傾いている部分,とい...
.. image:: fig3.png
また,接線の傾きがゼロになるのは $x=\frac{\pi}{2},\, \fra...
.. image:: fig4.png
sin(x) の微分のグラフ
=====================
微分のグラフとは,この接線の傾きのグラフです.
縦軸のスケールは気にしないでおいて,接線の傾きの情報をグ...
横軸は先ほどと同じ,縦軸には $\frac{df(x)}{dx}$ ,つまり...
傾きの最大,最小,ゼロの情報から,つぎのように点を打てま...
.. image:: fig5.png
さらに,それぞれの点の間の中途半端な部分も点で埋めます.
最初に $\sin(x)$ のグラフの接線の傾きを描いてみましたから,
なんとなくつぎのようになることが分かると思います.
.. image:: fig6.png
さらに点をたくさん打ちまして,滑らかにつなぐと
.. image:: fig7.png
というものになります.これは見たことありますね. $\cos(x)...
これで, $\sin(x)$ の微分が $\cos(x)$ になるということが,
グラフの直感的イメージから導かれたことになります.
cos(x) の微分のグラフ
=====================
$f(x)=\cos(x)$ のグラフに対して,同様のことを行ってみます.
すると最終的にはつぎのグラフが得られます.
.. image:: fig8.png
これは $\sin(x)$ のグラフと比べて上下が正反対ですから, $...
と言うことができます.したがって, $\cos(x)$ の微分は $-\...
「微分とは接線の傾きである」というイメージさえつかんでい...
このように三角関数の微分も,図形から直感的に理解すること...
@@author: 崎間@@
@@accept: 2004-07-14@@
@@category: 物理数学@@
@@id:trifuncDiff1@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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三角関数の微分1
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三角関数を続けて微分して行くと, $\sin$ や $\cos$ の繰り...
たとえば, $\sin(x)$ の微分は
<tex>
\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)
</tex>
ですし, $\cos(x)$ の微分は
<tex>
\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)
</tex>
です.2階微分,3階微分となると,これがどんどん繰り返され...
使っているうちに公式として覚えてしまいますが,
そもそも三角関数の微分とは何を意味しているのでしょうか.
ここでは,できるだけ視覚的なイメージから,三角関数の微分...
sin(x) の接線の傾き
===================
$f(x)=\sin(x)$ のグラフはつぎのようなものです.
.. image:: fig1.png
縦軸に $\sin(x)$ ,横軸に $x$ をとっています.微分とはそ...
このグラフに,接線の傾きを書き込みますと
.. image:: fig2.png
というふうになります.この接線の傾きに注目しましょう.
$\sin(x)$ のグラフ自体が $x$ 軸と交わる部分,すなわち $x=...
接線の傾きが最大もしくは最小になることが分かります.
傾きが最大,というのは最も急に右上に傾いている部分,とい...
.. image:: fig3.png
また,接線の傾きがゼロになるのは $x=\frac{\pi}{2},\, \fra...
.. image:: fig4.png
sin(x) の微分のグラフ
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微分のグラフとは,この接線の傾きのグラフです.
縦軸のスケールは気にしないでおいて,接線の傾きの情報をグ...
横軸は先ほどと同じ,縦軸には $\frac{df(x)}{dx}$ ,つまり...
傾きの最大,最小,ゼロの情報から,つぎのように点を打てま...
.. image:: fig5.png
さらに,それぞれの点の間の中途半端な部分も点で埋めます.
最初に $\sin(x)$ のグラフの接線の傾きを描いてみましたから,
なんとなくつぎのようになることが分かると思います.
.. image:: fig6.png
さらに点をたくさん打ちまして,滑らかにつなぐと
.. image:: fig7.png
というものになります.これは見たことありますね. $\cos(x)...
これで, $\sin(x)$ の微分が $\cos(x)$ になるということが,
グラフの直感的イメージから導かれたことになります.
cos(x) の微分のグラフ
=====================
$f(x)=\cos(x)$ のグラフに対して,同様のことを行ってみます.
すると最終的にはつぎのグラフが得られます.
.. image:: fig8.png
これは $\sin(x)$ のグラフと比べて上下が正反対ですから, $...
と言うことができます.したがって, $\cos(x)$ の微分は $-\...
「微分とは接線の傾きである」というイメージさえつかんでい...
このように三角関数の微分も,図形から直感的に理解すること...
@@author: 崎間@@
@@accept: 2004-07-14@@
@@category: 物理数学@@
@@id:trifuncDiff1@@
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