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========================
合成関数の微分への利用
========================
高校生の頃の多くの人がとった方法、そう公式を覚える方法で...
この方法で任意の関数を微分しようと思ったら、関数の形だけ...
例えば次のような微分の問題、
<tex>
&\frac{d \ln x^{2}}{dx} = \frac{2}{x} \tag{A}\\
&\frac{\partial \ln r}{\partial x} = \frac{x}{r^{2}} \qqu...
&\frac{d L(q,\dot{q},t)}{dt} = \frac{\partial L}{\partial...
</tex>
これだけでも憶えるのはつらいものがあります。そこで微分の...
そうすることで関数を微分するという問題は、合成関数の微分...
この方法の利点は、ごく限られた微分の公式を覚えているだけ...
ここでは、実際に掲示板でよせられた質問を例にとって考えて...
、頑張って最後まで読んでみましょう。
質問と解説
--------------------------------
掲示板で次のような問題について質問がよせられてきました。
質問
^^^^^^^^^^^
位置ベクトル ${\bm{r} = x\bm{e}_{x} + y \bm{e}_{y} + z \b...
<tex>
\nabla r &= \left(
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial x}
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial y}
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial z}
\right) r\\
&= \frac{\partial r}{\partial x} \bm{e}_{x}
+ \frac{\partial r}{\partial y} \bm{e}_{y}
+ \frac{\partial r}{\partial z} \bm{e}_{z}\\
&= \frac{x}{r} \bm{e}_{x} + \frac{y}{r} \bm{e}_{...
&= \frac{x\bm{e}_{x} + y \bm{e}_{y} + z \bm{e}_{...
&= \frac{\bm{r}}{r} \tag{1}
</tex>
解説
^^^^^^^^^^^
この問題の場合、関数 $r$ を次のような合成関数として見るの...
<tex>
&f = f(x,y,z) \tag{2}\\
&r = r(x,y,z) = r(f) \tag{3}
</tex>
すると偏微分は合成関数の偏微分の公式
<tex>
\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial r}{\parti...
</tex>
が使えます。 $\tag{2}$ , $\tag{3}$ に具体的な関数を書き込...
<tex>
&f = x^2 +y^2 +z^2 \tag{5}\\
&r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2 } = \sqrt{f} \tag{6}
</tex>
これでもう計算の準備が整いました。ここでひとこと説明を加...
結局ここで説明している計算の方法としてはこうなります。
まず ${\tag{5}}$ , $\tag{6}$ のようにある関数 $f$ を関数 ...
そうすることで関数 $r$ を適当に微分の公式が使えるような関...
そして ${\tag{5}}$ , ${\tag{6}}$ を $\tag{4}$ 式に代入し...
数式で示すと、次の通りです。
<tex>
&\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \tag{7}\\
&\frac{\partial r}{\partial f} = \frac{1}{2} f^{\frac{1}{...
&\frac{\partial r}{\partial x} = 2x \frac{1}{2 \sqrt{x^2 ...
\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 +z^2}} = \frac{x}{r} \tag{9}
</tex>
ただし $\tag{7}$ と $\tag{8}$ で、次の公式の $n=2$ の場合...
<tex>
\frac{\partial g^{n}}{\partial g} = n g^{n-1} (n \neq 0 )...
</tex>
後の $y,z$ についての偏微分についても同じ方法でもとまりま...
<tex>
&\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} \tag{11}\\
&\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} \tag{12}
</tex>
です。こうして $\tag{9}$ , $\tag{11}$ , $\tag{12}$ から $...
補足説明
^^^^^^^^^^
ここでは与えた式 $\tag{4}$ の導出を説明しておきます。
実はこの式は、全微分 $df,dr$ から自然に出てくる式です。こ...
<tex>
&df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}...
&dr
= \frac{\partial r}{\partial x}dx + \frac{\partial r}{\pa...
= \frac{\partial r}{\partial f}df \tag{14}
</tex>
になります。 $\tag{13}$ を $\tag{14}$ の最後のところに代...
<tex>
\frac{\partial r}{\partial x}dx + \frac{\partial r}{\par...
= \frac{\partial r}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial...
</tex>
が成り立つことが分かります。両辺を比較すると公式として与...
<tex>
&\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial r}{\part...
&\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{\partial r}{\par...
&\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{\partial r}{\part...
</tex>
ここまでのまとめ
^^^^^^^^^^^^^^^^^
関数を何の関数として見るかが、重要。
練習問題
^^^^^^^^^^^
一通りの事が分かったところで実際に問題を解いてみましょう。
次の式を $\tag{1}$ , $\tag{4}$ , $\tag{10}$ を使って ${\b...
<tex>
&\nabla \bm{r} \tag{18}\\
&\nabla \frac{1}{r} \tag{19}
</tex>
答え
^^^^^^
<tex>
\nabla \bm{r} &= \left(
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial x}
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial y}
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial z}
\right) \left(x \bm{e}_{x} + y \bm{e}_{y} + z...
&= \left( \bm{e}_{x} \frac{\partial x\bm{e}...
+\bm{e}_{x} \frac{\partial y\bm{e}...
+\bm{e}_{x} \frac{\partial z\bm{e}...
+\bm{e}_{y} \frac{\partial x\bm{e}...
+\bm{e}_{y} \frac{\partial y\bm{e}...
+\bm{e}_{y} \frac{\partial z\bm{e}...
+\bm{e}_{z} \frac{\partial x\bm{e}...
+\bm{e}_{z} \frac{\partial y\bm{e}...
+\bm{e}_{z} \frac{\partial z\bm{e}...
&= \bm{e}_{x}\bm{e}_{x} + \bm{e}_{y}\bm{e}...
\\
\nabla \frac{1}{r} &= \nabla r^{-1}\\
&= \left(
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial x}
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial y}
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial z}
\right) \frac{1}{r} \\
&= \frac{\partial r^{-1}}{\partial x}\...
&= \frac{\partial r}{\partial x} \frac...
&= \frac{\partial r^{-1}}{\partial r} ...
&= \frac{\partial r^{-1}}{\partial r} ...
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial x}
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial y}
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial z}
\right) r \\
&= \frac{\partial r^{-1}}{\partial r} ...
&= (-1) r^{(-1-1)} \nabla r \qquad[\b...
&= - \frac{1}{r^2} \frac{\bm{r}}{r} \q...
&= - \frac{\bm{r}}{r^{3}} \\
&= \frac{-x}{r^{3}}\bm{e}_{x} + \frac{...
</tex>
式 $\tag{20}$ の最後のカッコ書きの部分については演算規則...
あと、式 $\tag{19}$ のように微分される関数がある1つの変数...
<tex>
\nabla &= \left(
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial x}
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial y}
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial z}
\right)\\
&= \left( \frac{\partial s}{\partial x} \bm{e}_{x}...
&= \nabla s \frac{\partial}{\partial s}\tag{22}
</tex>
例として $s=r$ のときを書いておきます。これは $\tag{22}$ ...
<tex>
\nabla &= \left( \frac{\partial r}{\partial x} \bm{e}_{x}...
&= \frac{\bm{r}}{r} \frac{\partial}{\partial r} \...
</tex>
それでは $\tag{23}$ を使って次の式の成分を求めてみます。
<tex>
\nabla {r}^{n} \qquad(n\neq 0) \tag{24}
</tex>
この式の ${n=1}$ の場合が質問された問題 $\tag{1}$ で、 ${...
<tex>
\nabla r^{n} &= \frac{ \bm{r}}{r} \frac{\partial}{\partia...
&= \frac{ \bm{r}}{r} n r^{n-1} \qquad[\beca...
&= n r^{n-2} \bm{r} \tag{25}
</tex>
はじめの解法よりもずっと短くなったのが分かると思います。...
1つの計算問題を2つの計算に分けたにすぎません。しかし分け...
代入していく事ができます。これはミスを少なく、短い時間で...
物理への応用の話
------------------
せっかくここまで理解できたのだから、物理でこの計算方法が...
この方法は物理で使う計算のあらゆる場面で使われるのですが...
はじめに静電場 ${\bm{E}(\bm{r})}$ を真空中で定義しておき...
<tex>
\bm{E} &\equiv \int dV^{\prime} \frac{ \rho (\bm{r}^{\pr...
&= \int dV^{\prime}\frac{\rho}{4 \pi \epsilon_{0}}...
&=- \int dV^{\prime} \frac{\rho}{4 \pi \epsilon_{0...
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial (x-x^{\p...
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial (y-y^{\p...
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial (z-z^{\p...
\right)\frac{1}{R} \qquad[\because (21)] \\
&=- \int dV^{\prime} \frac{\rho}{4 \pi \epsilon_{0...
\bm{e}_{x} \frac{\partial x }{\partial (x-x^{...
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial y}{\partial (y-y^{\...
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial z}{\partial (z-z^{\...
\right)\frac{1}{R} \\
&=- \int dV^{\prime} \frac{\rho}{4 \pi \epsilon_{0...
\bm{e}_{x} \frac{1}{\frac{\partial (x-x^{\pri...
+ \bm{e}_{y} \frac{1}{\frac{\partial (y-y^{\pri...
+ \bm{e}_{z} \frac{1}{\frac{\partial (z-z^{\pri...
\right)\frac{1}{R} \\
&=- \int dV^{\prime} \frac{\rho}{4 \pi \epsilon_{0...
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial x}
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial y}
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial z}
\right) \frac{1}{R}\\
&=- \int dV^{\prime} \frac{\rho}{4 \pi \epsilon_{0...
&= - \nabla \left( \int dV^{\prime} \frac{\rho}{4\...
&= - \nabla V \tag{26}
</tex>
すると電位 ${V(\bm{r})}$ の定義式は次のようになる事を意味...
<tex>
V(\bm{r}) \equiv \int dV^{\prime} \frac{\rho}{4\pi\epsilo...
</tex>
次にこのスカラー量である電位というものを導入する意味です...
足した合わせた後でその勾配をとることによって任意の位置で...
まとめ
--------
ここで今回の説明をまとめると、次の2つです。
微分の計算を合成関数の微分の方法、そしてその応用例として...
最後に、この計算方法は一般の微分の計算に利用できるという...
@@author:おこめ@@
@@accept:2004-04-26@@
@@category:物理数学@@
@@id:useCompositeFunction@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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合成関数の微分への利用
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高校生の頃の多くの人がとった方法、そう公式を覚える方法で...
この方法で任意の関数を微分しようと思ったら、関数の形だけ...
例えば次のような微分の問題、
<tex>
&\frac{d \ln x^{2}}{dx} = \frac{2}{x} \tag{A}\\
&\frac{\partial \ln r}{\partial x} = \frac{x}{r^{2}} \qqu...
&\frac{d L(q,\dot{q},t)}{dt} = \frac{\partial L}{\partial...
</tex>
これだけでも憶えるのはつらいものがあります。そこで微分の...
そうすることで関数を微分するという問題は、合成関数の微分...
この方法の利点は、ごく限られた微分の公式を覚えているだけ...
ここでは、実際に掲示板でよせられた質問を例にとって考えて...
、頑張って最後まで読んでみましょう。
質問と解説
--------------------------------
掲示板で次のような問題について質問がよせられてきました。
質問
^^^^^^^^^^^
位置ベクトル ${\bm{r} = x\bm{e}_{x} + y \bm{e}_{y} + z \b...
<tex>
\nabla r &= \left(
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial x}
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial y}
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial z}
\right) r\\
&= \frac{\partial r}{\partial x} \bm{e}_{x}
+ \frac{\partial r}{\partial y} \bm{e}_{y}
+ \frac{\partial r}{\partial z} \bm{e}_{z}\\
&= \frac{x}{r} \bm{e}_{x} + \frac{y}{r} \bm{e}_{...
&= \frac{x\bm{e}_{x} + y \bm{e}_{y} + z \bm{e}_{...
&= \frac{\bm{r}}{r} \tag{1}
</tex>
解説
^^^^^^^^^^^
この問題の場合、関数 $r$ を次のような合成関数として見るの...
<tex>
&f = f(x,y,z) \tag{2}\\
&r = r(x,y,z) = r(f) \tag{3}
</tex>
すると偏微分は合成関数の偏微分の公式
<tex>
\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial r}{\parti...
</tex>
が使えます。 $\tag{2}$ , $\tag{3}$ に具体的な関数を書き込...
<tex>
&f = x^2 +y^2 +z^2 \tag{5}\\
&r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2 } = \sqrt{f} \tag{6}
</tex>
これでもう計算の準備が整いました。ここでひとこと説明を加...
結局ここで説明している計算の方法としてはこうなります。
まず ${\tag{5}}$ , $\tag{6}$ のようにある関数 $f$ を関数 ...
そうすることで関数 $r$ を適当に微分の公式が使えるような関...
そして ${\tag{5}}$ , ${\tag{6}}$ を $\tag{4}$ 式に代入し...
数式で示すと、次の通りです。
<tex>
&\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \tag{7}\\
&\frac{\partial r}{\partial f} = \frac{1}{2} f^{\frac{1}{...
&\frac{\partial r}{\partial x} = 2x \frac{1}{2 \sqrt{x^2 ...
\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 +z^2}} = \frac{x}{r} \tag{9}
</tex>
ただし $\tag{7}$ と $\tag{8}$ で、次の公式の $n=2$ の場合...
<tex>
\frac{\partial g^{n}}{\partial g} = n g^{n-1} (n \neq 0 )...
</tex>
後の $y,z$ についての偏微分についても同じ方法でもとまりま...
<tex>
&\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} \tag{11}\\
&\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} \tag{12}
</tex>
です。こうして $\tag{9}$ , $\tag{11}$ , $\tag{12}$ から $...
補足説明
^^^^^^^^^^
ここでは与えた式 $\tag{4}$ の導出を説明しておきます。
実はこの式は、全微分 $df,dr$ から自然に出てくる式です。こ...
<tex>
&df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}...
&dr
= \frac{\partial r}{\partial x}dx + \frac{\partial r}{\pa...
= \frac{\partial r}{\partial f}df \tag{14}
</tex>
になります。 $\tag{13}$ を $\tag{14}$ の最後のところに代...
<tex>
\frac{\partial r}{\partial x}dx + \frac{\partial r}{\par...
= \frac{\partial r}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial...
</tex>
が成り立つことが分かります。両辺を比較すると公式として与...
<tex>
&\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial r}{\part...
&\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{\partial r}{\par...
&\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{\partial r}{\part...
</tex>
ここまでのまとめ
^^^^^^^^^^^^^^^^^
関数を何の関数として見るかが、重要。
練習問題
^^^^^^^^^^^
一通りの事が分かったところで実際に問題を解いてみましょう。
次の式を $\tag{1}$ , $\tag{4}$ , $\tag{10}$ を使って ${\b...
<tex>
&\nabla \bm{r} \tag{18}\\
&\nabla \frac{1}{r} \tag{19}
</tex>
答え
^^^^^^
<tex>
\nabla \bm{r} &= \left(
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial x}
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial y}
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial z}
\right) \left(x \bm{e}_{x} + y \bm{e}_{y} + z...
&= \left( \bm{e}_{x} \frac{\partial x\bm{e}...
+\bm{e}_{x} \frac{\partial y\bm{e}...
+\bm{e}_{x} \frac{\partial z\bm{e}...
+\bm{e}_{y} \frac{\partial x\bm{e}...
+\bm{e}_{y} \frac{\partial y\bm{e}...
+\bm{e}_{y} \frac{\partial z\bm{e}...
+\bm{e}_{z} \frac{\partial x\bm{e}...
+\bm{e}_{z} \frac{\partial y\bm{e}...
+\bm{e}_{z} \frac{\partial z\bm{e}...
&= \bm{e}_{x}\bm{e}_{x} + \bm{e}_{y}\bm{e}...
\\
\nabla \frac{1}{r} &= \nabla r^{-1}\\
&= \left(
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial x}
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial y}
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial z}
\right) \frac{1}{r} \\
&= \frac{\partial r^{-1}}{\partial x}\...
&= \frac{\partial r}{\partial x} \frac...
&= \frac{\partial r^{-1}}{\partial r} ...
&= \frac{\partial r^{-1}}{\partial r} ...
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial x}
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial y}
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial z}
\right) r \\
&= \frac{\partial r^{-1}}{\partial r} ...
&= (-1) r^{(-1-1)} \nabla r \qquad[\b...
&= - \frac{1}{r^2} \frac{\bm{r}}{r} \q...
&= - \frac{\bm{r}}{r^{3}} \\
&= \frac{-x}{r^{3}}\bm{e}_{x} + \frac{...
</tex>
式 $\tag{20}$ の最後のカッコ書きの部分については演算規則...
あと、式 $\tag{19}$ のように微分される関数がある1つの変数...
<tex>
\nabla &= \left(
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial x}
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial y}
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial z}
\right)\\
&= \left( \frac{\partial s}{\partial x} \bm{e}_{x}...
&= \nabla s \frac{\partial}{\partial s}\tag{22}
</tex>
例として $s=r$ のときを書いておきます。これは $\tag{22}$ ...
<tex>
\nabla &= \left( \frac{\partial r}{\partial x} \bm{e}_{x}...
&= \frac{\bm{r}}{r} \frac{\partial}{\partial r} \...
</tex>
それでは $\tag{23}$ を使って次の式の成分を求めてみます。
<tex>
\nabla {r}^{n} \qquad(n\neq 0) \tag{24}
</tex>
この式の ${n=1}$ の場合が質問された問題 $\tag{1}$ で、 ${...
<tex>
\nabla r^{n} &= \frac{ \bm{r}}{r} \frac{\partial}{\partia...
&= \frac{ \bm{r}}{r} n r^{n-1} \qquad[\beca...
&= n r^{n-2} \bm{r} \tag{25}
</tex>
はじめの解法よりもずっと短くなったのが分かると思います。...
1つの計算問題を2つの計算に分けたにすぎません。しかし分け...
代入していく事ができます。これはミスを少なく、短い時間で...
物理への応用の話
------------------
せっかくここまで理解できたのだから、物理でこの計算方法が...
この方法は物理で使う計算のあらゆる場面で使われるのですが...
はじめに静電場 ${\bm{E}(\bm{r})}$ を真空中で定義しておき...
<tex>
\bm{E} &\equiv \int dV^{\prime} \frac{ \rho (\bm{r}^{\pr...
&= \int dV^{\prime}\frac{\rho}{4 \pi \epsilon_{0}}...
&=- \int dV^{\prime} \frac{\rho}{4 \pi \epsilon_{0...
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial (x-x^{\p...
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial (y-y^{\p...
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial (z-z^{\p...
\right)\frac{1}{R} \qquad[\because (21)] \\
&=- \int dV^{\prime} \frac{\rho}{4 \pi \epsilon_{0...
\bm{e}_{x} \frac{\partial x }{\partial (x-x^{...
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial y}{\partial (y-y^{\...
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial z}{\partial (z-z^{\...
\right)\frac{1}{R} \\
&=- \int dV^{\prime} \frac{\rho}{4 \pi \epsilon_{0...
\bm{e}_{x} \frac{1}{\frac{\partial (x-x^{\pri...
+ \bm{e}_{y} \frac{1}{\frac{\partial (y-y^{\pri...
+ \bm{e}_{z} \frac{1}{\frac{\partial (z-z^{\pri...
\right)\frac{1}{R} \\
&=- \int dV^{\prime} \frac{\rho}{4 \pi \epsilon_{0...
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial x}
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial y}
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial z}
\right) \frac{1}{R}\\
&=- \int dV^{\prime} \frac{\rho}{4 \pi \epsilon_{0...
&= - \nabla \left( \int dV^{\prime} \frac{\rho}{4\...
&= - \nabla V \tag{26}
</tex>
すると電位 ${V(\bm{r})}$ の定義式は次のようになる事を意味...
<tex>
V(\bm{r}) \equiv \int dV^{\prime} \frac{\rho}{4\pi\epsilo...
</tex>
次にこのスカラー量である電位というものを導入する意味です...
足した合わせた後でその勾配をとることによって任意の位置で...
まとめ
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ここで今回の説明をまとめると、次の2つです。
微分の計算を合成関数の微分の方法、そしてその応用例として...
最後に、この計算方法は一般の微分の計算に利用できるという...
@@author:おこめ@@
@@accept:2004-04-26@@
@@category:物理数学@@
@@id:useCompositeFunction@@
ページ名:
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