記事ソース/行列Aと逆行列A^{-1}の積を入れ替えるとどうなるか?
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
行列Aと逆行列A^{-1}の積を入れ替えるとどうなるか?
=========================================================...
今回の話は短いです。気楽にお読みください。
逆行列は左から掛けても右から掛けても同じ?
=============================================
n次の正則な(つまり、逆行列を持つ)行列 $ A $ とその逆行...
<tex>
A^{-1}A=I \tag{##}
</tex>
です。 $I$ はn次の単位行列です。
ここで、私が気になったのは、
<tex>
AA^{-1}=? \tag{##}
</tex>
の値はどうなるかです。ここで、左からの逆行列を $L$
右からの逆行列を $R$ とします [*]_ 。
.. [*] ここで注意しておくと $A$ が正則な時、列基本変形(右...
もしくは、行基本変形(左から掛ける変形)のみで単位行列に変...
(詳しくは参考文献の第2章[4,4]参照。)ので、 $L$ が存在...
存在するならやはり $A$ が正則となり $L$ も存在します。と...
それは、[4,4]の証明の中で、基本変形行列とその逆行列の可...
逆行列が存在することは仮定しなければなりません。もっとい...
ください (^^; 。
つまり、
<tex>
LA=AR=I
</tex>
です。すると、
<tex>
L=LI=L(AR)=LAR=(LA)R=IR=R
</tex>
となり、結局、 $L=R$ が結論されます。
よって、これを $A^{-1}$ と呼べるわけです。
直交行列での実例
====================
例えば、 $A^{-1}A=I$ となるように作られた、
<tex>
A = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sq...
0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} \\
-\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\s...
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
という直交行列に対し、
<tex>
AA^{-1} &=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sq...
0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} \\
-\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\s...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
\dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sq...
\dfrac{1}{\sqrt{6}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\s...
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} - \...
\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} & \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{6}...
-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} - ...
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
&=I \tag{##}
</tex>
と確かに $AA^{-1} =I$ が成立しています。
これは、私は理屈では分かるのですが、
とても不思議だと思っています。
それでは、今日はこの辺で。
@@reference: 齋藤正彦,線型代数入門,東京大学出版会,1966,p5...
@@author:クロメル@@
@@accept:2012-07-24@@
@@category:物理数学@@
@@id:comAA-1@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
行列Aと逆行列A^{-1}の積を入れ替えるとどうなるか?
=========================================================...
今回の話は短いです。気楽にお読みください。
逆行列は左から掛けても右から掛けても同じ?
=============================================
n次の正則な(つまり、逆行列を持つ)行列 $ A $ とその逆行...
<tex>
A^{-1}A=I \tag{##}
</tex>
です。 $I$ はn次の単位行列です。
ここで、私が気になったのは、
<tex>
AA^{-1}=? \tag{##}
</tex>
の値はどうなるかです。ここで、左からの逆行列を $L$
右からの逆行列を $R$ とします [*]_ 。
.. [*] ここで注意しておくと $A$ が正則な時、列基本変形(右...
もしくは、行基本変形(左から掛ける変形)のみで単位行列に変...
(詳しくは参考文献の第2章[4,4]参照。)ので、 $L$ が存在...
存在するならやはり $A$ が正則となり $L$ も存在します。と...
それは、[4,4]の証明の中で、基本変形行列とその逆行列の可...
逆行列が存在することは仮定しなければなりません。もっとい...
ください (^^; 。
つまり、
<tex>
LA=AR=I
</tex>
です。すると、
<tex>
L=LI=L(AR)=LAR=(LA)R=IR=R
</tex>
となり、結局、 $L=R$ が結論されます。
よって、これを $A^{-1}$ と呼べるわけです。
直交行列での実例
====================
例えば、 $A^{-1}A=I$ となるように作られた、
<tex>
A = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sq...
0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} \\
-\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\s...
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
という直交行列に対し、
<tex>
AA^{-1} &=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sq...
0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} \\
-\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\s...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
\dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sq...
\dfrac{1}{\sqrt{6}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\s...
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} - \...
\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} & \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{6}...
-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} - ...
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
&=I \tag{##}
</tex>
と確かに $AA^{-1} =I$ が成立しています。
これは、私は理屈では分かるのですが、
とても不思議だと思っています。
それでは、今日はこの辺で。
@@reference: 齋藤正彦,線型代数入門,東京大学出版会,1966,p5...
@@author:クロメル@@
@@accept:2012-07-24@@
@@category:物理数学@@
@@id:comAA-1@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.003 sec.