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.. _ジョルダン細胞のn乗: http://hooktail.sub.jp/mathInPh...
============================
行列の指数関数のラプラス変換
============================
指数関数 $e^{at}$ のラプラス変換は $\dfrac{1}{s-a}$ であ...
結果
====
まずは結果から言ってしまいましょう。
<tex>
\int_0^\infty \mathrm{exp}(At) e^{-st} dt = \dfrac{1}{sI-A}
\tag{##}
</tex>
が成立します。ここで左辺は行列 $\mathrm{exp}(At)$ のそれ...
そこで証明します。それには、これよりも弱い主張である、正...
<tex>
\int_0^\infty \mathrm{exp}(\Lambda t) e^{-st} dt = \dfrac...
\tag{##}
</tex>
ちなみに任意の複素正方行列はジョルダン標準形、つまり対角...
(i)Λが対角化される場合
======================
まず、定数 $a$ を定数として $n$ 次複素正方行列 $\Lambda=\...
この時、
<tex>
\mathrm{exp}(\Lambda t) =
\begin{pmatrix}
e^{at} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & e^{at} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & e^{at}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。このラプラス変換なのですが、式(2)の左辺が
<tex>
\int_0^\infty \mathrm{exp}(\Lambda t) e^{-st} dt =
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{s-a} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \dfrac{1}{s-a} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \dfrac{1}{s-a}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
であり、右辺は $sI-\Lambda = \begin{pmatrix} s-a & 0 & \c...
<tex>
\dfrac{1}{sI-\Lambda} =
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{s-a} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \dfrac{1}{s-a} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \dfrac{1}{s-a}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となり一致し、式(2)が示されました。
(ii)Λがジョルダン細胞になる場合
===============================
この場合、ちょっと大変です。 $\Lambda_n$ が $n$ 次の...
$\Lambda_n=\begin{pmatrix} a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ ...
<tex>
\mathrm{exp}(\Lambda_n t) =
\begin{pmatrix}
e^{at} & \dfrac{t}{1!}e^{at} & \dfrac{t^2}{2!}e^{at} & \c...
0 & e^{at} & \dfrac{t}{1!}e^{at} & \cdots & \dfrac{t^{n-1...
0 & 0 & e^{at} & \cdots & \dfrac{t^{n-1}}{(n-3)!}e^{at} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & e^{at}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
これをラプラス変換すると
<tex>
\mathcal{L}[t^n e^{at}] &= \left( -\dfrac{d}{ds} \right)^...
&= \dfrac{(n!)}{(s-a)^{n+1}}
\tag{##}
</tex>
ですから、
<tex>
\mathrm{exp}(\Lambda_n t) =
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{s-a} & \dfrac{1}{(s-a)^2} & \dfrac{1}{(s-a)^3} ...
0 & \dfrac{1}{s-a} & \dfrac{1}{(s-a)^2} & \cdots & \dfrac...
0 & 0 & \dfrac{1}{s-a} & \cdots & \dfrac{1}{(s-a)^{n-2}} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \dfrac{1}{s-a}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。
結構大変な逆行列の計算
----------------------
一方、右辺について
<tex>
sI - \Lambda =
\begin{pmatrix}
s-a & -1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & s-a & -1 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & s-a & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & s-a
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
です。その逆行列は
<tex>
\dfrac{1}{ sI - \Lambda } =
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{s-a} & \dfrac{1}{(s-a)^2} & \dfrac{1}{(s-a)^3} ...
0 & \dfrac{1}{s-a} & \dfrac{1}{(s-a)^2} & \cdots & \dfrac...
0 & 0 & \dfrac{1}{s-a} & \cdots & \dfrac{1}{(s-a)^{n-2}} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \dfrac{1}{s-a}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。これを示します。証明には数学的帰納法を用いま...
まずは $n$ 次のジョルダン細胞に似た次の式 $K_n$ について...
<tex>
K_n =
\begin{pmatrix}
x & -1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & x & -1 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & x & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
とすると、
<tex>
K_n =
\begin{pmatrix}
x & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & x & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & x & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -x^{-1} \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}
\cdots \cdots
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & -x^{-1} & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & -x^{-1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
と分解できます。よって、 $K_n$ の逆行列は
<tex>
K_n^{-1} =
\begin{pmatrix}
1 & x^{-1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & x^{-1} & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}
\cdots \cdots
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x^{-1} \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x^{-1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & x^{-1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & x^{-1} & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x^{-1} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x^{-1}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。ここで、 $n$ 次正方行列 $M_{n}$ を次のように...
<tex>
M_{n} =
\begin{pmatrix}
1 & x^{-1}& x^{-2} & \cdots & x^{-n+1} \\
0 & 1 & x^{-1} & \cdots & x^{-n+2} \\
0 & 0 & 1 & \cdots & x^{-n+3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
この時、全ての自然数 $n$ に対して、
<tex>
K_{n}^{-1} &= x^{-1} M_{n} \\
&= \begin{pmatrix}
x^{-1} & x^{-2}& x^{-3} & \cdots & x^{-n} \\
0 & x^{-1} & x^{-2} & \cdots & x^{-n+1} \\
0 & 0 & x^{-1} & \cdots & x^{-n+2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x^{-1}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
が成立する事を示します。
(ア) $n=k-1$ の時、 $n=k$ でも成立する事を示す。
<tex>
K_{k-1}^{-1} = x^{-1} M_{k-1}
\tag{##}
</tex>
が成立するとします。この時、 $k-1$ 次列ベクトル $\bm{b} =...
<tex>
K_{k}^{-1} &= x^{-1}
\begin{pmatrix}
M_{k-1} & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_{k-1} & \bm{b} \\
0 & 1
\end{pmatrix}
&= x^{-1}
\begin{pmatrix}
1 & x^{-1}& x^{-2} & \cdots & x^{-k+1} \\
0 & 1 & x^{-1} & \cdots & x^{-k+2} \\
0 & 0 & 1 & \cdots & x^{-k+3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}
&= x^{-1} M_{k}
\tag{##}
</tex>
となります。
(イ) $n=1$ の時
<tex>
K_{1}^{-1}
&= x^{-1} \\
&= x^{-1} M_{1}
\tag{##}
</tex>
これは成立する。つまり、(ア)と(イ)から全ての自然数 $n...
最後の仕上げ
============
ここまで示せれば、あとはもう少しです。正方行列 $A$ をジョ...
<tex>
P \Lambda P^{-1} = A \\
PP^{-1}=I
\tag{##}
</tex>
ですから、
<tex>
P (sI - \Lambda)^{-1} P^{-1}
&= \left( P (sI - \Lambda) P^{-1} \right)^{-1} \\
&= \left( sPP^{-1} - P \Lambda P^{-1} \right)^{-1} \\
&= (sI - A)^{-1}
\tag{##}
</tex>
と言う式と、ラプラス変換の線形性から、式(2)の左から $P$ ...
今日はこの辺で、お疲れ様でした!!
@@author:クロメル@@
@@accept:2017-01-28@@
@@category:フーリエ解析@@
@@id:expOfMatAndLaplace@@
終了行:
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============================
行列の指数関数のラプラス変換
============================
指数関数 $e^{at}$ のラプラス変換は $\dfrac{1}{s-a}$ であ...
結果
====
まずは結果から言ってしまいましょう。
<tex>
\int_0^\infty \mathrm{exp}(At) e^{-st} dt = \dfrac{1}{sI-A}
\tag{##}
</tex>
が成立します。ここで左辺は行列 $\mathrm{exp}(At)$ のそれ...
そこで証明します。それには、これよりも弱い主張である、正...
<tex>
\int_0^\infty \mathrm{exp}(\Lambda t) e^{-st} dt = \dfrac...
\tag{##}
</tex>
ちなみに任意の複素正方行列はジョルダン標準形、つまり対角...
(i)Λが対角化される場合
======================
まず、定数 $a$ を定数として $n$ 次複素正方行列 $\Lambda=\...
この時、
<tex>
\mathrm{exp}(\Lambda t) =
\begin{pmatrix}
e^{at} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & e^{at} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & e^{at}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。このラプラス変換なのですが、式(2)の左辺が
<tex>
\int_0^\infty \mathrm{exp}(\Lambda t) e^{-st} dt =
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{s-a} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \dfrac{1}{s-a} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \dfrac{1}{s-a}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
であり、右辺は $sI-\Lambda = \begin{pmatrix} s-a & 0 & \c...
<tex>
\dfrac{1}{sI-\Lambda} =
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{s-a} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \dfrac{1}{s-a} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \dfrac{1}{s-a}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となり一致し、式(2)が示されました。
(ii)Λがジョルダン細胞になる場合
===============================
この場合、ちょっと大変です。 $\Lambda_n$ が $n$ 次の...
$\Lambda_n=\begin{pmatrix} a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ ...
<tex>
\mathrm{exp}(\Lambda_n t) =
\begin{pmatrix}
e^{at} & \dfrac{t}{1!}e^{at} & \dfrac{t^2}{2!}e^{at} & \c...
0 & e^{at} & \dfrac{t}{1!}e^{at} & \cdots & \dfrac{t^{n-1...
0 & 0 & e^{at} & \cdots & \dfrac{t^{n-1}}{(n-3)!}e^{at} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & e^{at}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
これをラプラス変換すると
<tex>
\mathcal{L}[t^n e^{at}] &= \left( -\dfrac{d}{ds} \right)^...
&= \dfrac{(n!)}{(s-a)^{n+1}}
\tag{##}
</tex>
ですから、
<tex>
\mathrm{exp}(\Lambda_n t) =
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{s-a} & \dfrac{1}{(s-a)^2} & \dfrac{1}{(s-a)^3} ...
0 & \dfrac{1}{s-a} & \dfrac{1}{(s-a)^2} & \cdots & \dfrac...
0 & 0 & \dfrac{1}{s-a} & \cdots & \dfrac{1}{(s-a)^{n-2}} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \dfrac{1}{s-a}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。
結構大変な逆行列の計算
----------------------
一方、右辺について
<tex>
sI - \Lambda =
\begin{pmatrix}
s-a & -1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & s-a & -1 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & s-a & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & s-a
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
です。その逆行列は
<tex>
\dfrac{1}{ sI - \Lambda } =
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{s-a} & \dfrac{1}{(s-a)^2} & \dfrac{1}{(s-a)^3} ...
0 & \dfrac{1}{s-a} & \dfrac{1}{(s-a)^2} & \cdots & \dfrac...
0 & 0 & \dfrac{1}{s-a} & \cdots & \dfrac{1}{(s-a)^{n-2}} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \dfrac{1}{s-a}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。これを示します。証明には数学的帰納法を用いま...
まずは $n$ 次のジョルダン細胞に似た次の式 $K_n$ について...
<tex>
K_n =
\begin{pmatrix}
x & -1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & x & -1 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & x & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
とすると、
<tex>
K_n =
\begin{pmatrix}
x & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & x & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & x & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -x^{-1} \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}
\cdots \cdots
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & -x^{-1} & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & -x^{-1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
と分解できます。よって、 $K_n$ の逆行列は
<tex>
K_n^{-1} =
\begin{pmatrix}
1 & x^{-1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & x^{-1} & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}
\cdots \cdots
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x^{-1} \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x^{-1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & x^{-1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & x^{-1} & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x^{-1} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x^{-1}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。ここで、 $n$ 次正方行列 $M_{n}$ を次のように...
<tex>
M_{n} =
\begin{pmatrix}
1 & x^{-1}& x^{-2} & \cdots & x^{-n+1} \\
0 & 1 & x^{-1} & \cdots & x^{-n+2} \\
0 & 0 & 1 & \cdots & x^{-n+3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
この時、全ての自然数 $n$ に対して、
<tex>
K_{n}^{-1} &= x^{-1} M_{n} \\
&= \begin{pmatrix}
x^{-1} & x^{-2}& x^{-3} & \cdots & x^{-n} \\
0 & x^{-1} & x^{-2} & \cdots & x^{-n+1} \\
0 & 0 & x^{-1} & \cdots & x^{-n+2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x^{-1}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
が成立する事を示します。
(ア) $n=k-1$ の時、 $n=k$ でも成立する事を示す。
<tex>
K_{k-1}^{-1} = x^{-1} M_{k-1}
\tag{##}
</tex>
が成立するとします。この時、 $k-1$ 次列ベクトル $\bm{b} =...
<tex>
K_{k}^{-1} &= x^{-1}
\begin{pmatrix}
M_{k-1} & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_{k-1} & \bm{b} \\
0 & 1
\end{pmatrix}
&= x^{-1}
\begin{pmatrix}
1 & x^{-1}& x^{-2} & \cdots & x^{-k+1} \\
0 & 1 & x^{-1} & \cdots & x^{-k+2} \\
0 & 0 & 1 & \cdots & x^{-k+3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}
&= x^{-1} M_{k}
\tag{##}
</tex>
となります。
(イ) $n=1$ の時
<tex>
K_{1}^{-1}
&= x^{-1} \\
&= x^{-1} M_{1}
\tag{##}
</tex>
これは成立する。つまり、(ア)と(イ)から全ての自然数 $n...
最後の仕上げ
============
ここまで示せれば、あとはもう少しです。正方行列 $A$ をジョ...
<tex>
P \Lambda P^{-1} = A \\
PP^{-1}=I
\tag{##}
</tex>
ですから、
<tex>
P (sI - \Lambda)^{-1} P^{-1}
&= \left( P (sI - \Lambda) P^{-1} \right)^{-1} \\
&= \left( sPP^{-1} - P \Lambda P^{-1} \right)^{-1} \\
&= (sI - A)^{-1}
\tag{##}
</tex>
と言う式と、ラプラス変換の線形性から、式(2)の左から $P$ ...
今日はこの辺で、お疲れ様でした!!
@@author:クロメル@@
@@accept:2017-01-28@@
@@category:フーリエ解析@@
@@id:expOfMatAndLaplace@@
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