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交流電流の輸送
=========================================================...
交流電流のいいところは、変圧が可能で長い送電線の大きな抵...
輸送するとき、昇圧してやればジュール熱の損失を減らす事が...
って聞いたことありませんか?私は、抵抗にかかる電
圧を上げるって言う事は、オームの法則から電流の増加を引き...
増大させてしまうのではないかということが疑問でした。
この記事では、簡単な回路方程式を解いてみてどんな仕組みで、
電力損失が減るのか考える事にします。
必要な知識は、複素電流を知っていることと、相互インダクタ...
ことです。この記事の「(1)の時」、「(2)の時」はまと...
変圧比と変流比の話(式 $(11)$ )までいったら、
飛ばして「二つの変圧器をもつ回路とその回路方程式」に行っ...
(この記事は2009年8月5日に書き直しをしました。
修正前の記事には間違いがあった事をお詫びします。
計算はあっていたのですが、
電源の内部抵抗を考えなかった為に、
結果がおかしかったのです。
本文中の(1)の場合と(2)の場合のうち、
(2)の場合しか書いていなかったということです。)
一つの変圧器をもつ回路とその回路方程式
========================================
.. image:: chromel-alterCurrentTrans1-01-t.png
上図のような回路を考えます。
左の回路を回路1、右を回路2とします。
変圧器と言うのは、巻き数の違う二つのコイルに
共通の鉄芯を挿入して、相互インダクタンスを持つようにした...
自己インダクタンス $L_1$ を持つコイルの巻き数を $N_1$ と...
同じく $L_2$ を持つコイルの巻き数を $N_2$ とします。
また、二つのコイルを貫く磁束に漏れは無いものとし [*]_ 、...
$M$ とします。このとき、 $L_1=L_0 N_1^2$ 、 $L_2=L_0 N_2^...
なります。 $L_0$ は、巻き数の二乗あたりのインダクタンスで...
ただの比例係数として考えてしまってもかまいません。
特に有用な式として、 $M^2 = L_1 L_2$ があります。
.. [*] 実際には結合係数 $k=\frac{M}{\sqrt{L_1L_2}} \ , \ ...
キルヒホッフの法則より、それぞれの回路を一周したときの電...
<tex>
E(t)=L_1 \frac{dI_1}{dt}+R_1I_1+M\frac{dI_2}{dt} \tag{##}
</tex>
<tex>
0=M\frac{dI_1}{dt}+L_2\frac{dI_2}{dt}+R_2I_2 \tag{##}
</tex>
となります。
ここで $E(t)$ は電源電圧です。
今何がしたいかというと、 $E(t)$ を正弦波として与えた時の...
抵抗 $R_1 \ ,\ R_2$ での消費電力やそれぞれの回路での電力...
回路方程式の特解
==================
交流電流は複素表現をすると、 $E=E(t)= E_0 e^{i \omega t}$...
すると微分方程式の特解は、 $I_1=I_{10}e^{i \omega t}$ 、
$I_2=I_{20}e^{i \omega t}$ と表現できます [*]_ 。ここで注...
$I_{10},I_{20}$ は複素数であって、波の位相がずれることを...
つまり、 $A,\phi$ を実数として、
<tex>
I_1 &= Ae^{i (\omega t +\phi)} \\
&= (Ae^{i \phi})e^{i \omega t} \\
&= I_{10} e^{i \omega t}
</tex>
のように、任意の正弦波応答を表せるということです。
.. [*] 真面目に微分方程式を解くと大抵の初期条件では減衰項...
式 $(1)$ 、式 $(2)$ は、微分演算を $i\omega$ に変えること...
解くことが可能になります。
こうして、式 $(1)$ 、式 $(2)$ を書き換えると、
<tex>
E=i \omega L_1 I_1 + R_1I_1 + i \omega M I_2 \tag{##}
</tex>
<tex>
0=i \omega M I_1 + i \omega L_2 I_2 +R_2 I_2 \tag{##}
</tex>
となります。
整理するために行列で書くと、
<tex>
\begin{pmatrix}
i \omega L_1 + R_1 & i \omega M \\
i \omega M & i \omega L_2 +R_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_1 \\
I_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
E \\
0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
こうしてこれは連立方程式となって、 $I$ を求めるわけです。
逆行列を求めて計算します。
逆行列は、この行列を $A$ と置くと、
<tex>
\begin{pmatrix}
I_1 \\
I_2
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{\Delta}
\begin{pmatrix}
i \omega L_2 + R_2 & -i \omega M \\
-i \omega M & i \omega L_1 + R_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
E_0e^{i \omega t} \\
0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
<tex>
\det A = \Delta &= (i \omega L_1+R_1)(i \omega L_2+R_2)-(...
&= i \omega (L_1 R_2 +L_2 R_2 )+R_1R_2 \tag{##}
</tex>
ここで、さっき書いたように
二つのコイルを貫く磁束に漏れはないものとしました( $M^2=L_...
これで必要な情報(この方程式の特解)が求められました。
<tex>
I_1 = \frac{R_2 +i \omega L_2}{i \omega(L_1 R_2 + L_2 R_1...
</tex>
<tex>
I_2=\frac{-i \omega M}{i \omega(L_1 R_2 + L_2 R_1) + R_1R...
</tex>
です。
解の検証
==========
よって、コイルの両端にできる電圧 $V_{coil1} , V_{coil2}$ ...
<tex>
\frac{V_{coil1}}{V_{coil2}} &= \frac{i \omega L_1 I_1 + i...
{i \omega M I_1+i\omega L_2 I_2} \\
&= \frac{L_0 N_1(N_1I_1+N_2I_2)}{L_0 N_2(N_1I_1+N_2I_2)} \\
&= \frac{N_1}{N_2} \tag{##}
</tex>
となり、巻き数比( $\frac{N_1}{N_2}$ )は、変圧比に等しい...
これは、磁束に漏れがない理想的な時に限り厳密に成り立ちま...
以下、 $\omega L_2 > \omega M> \omega L_1 > R_2 > R_1 $ ...
電流 $I_1$ と $I_2$ に注目してみましょう。この二つの比を...
<tex>
\frac{I_1}{I_2} &=\frac{ E \Delta}{E \Delta}\frac{R_2 + i...
&\fallingdotseq -\frac{L_2}{M} \\
&= -\frac{N_2}{N_1} \tag{##}
</tex>
おおよそ( $R_2$ が $\omega L_2$ に比べて無視できる時)変流...
よって、大まかに言って、エネルギーが保存されます。
<tex>
V_1 I_1 &\fallingdotseq \frac{N_1}{N_2}V_2 \times(-\frac{...
&= -V_2 I_2 \tag{##}
</tex>
以下、二つの場合の場合分けします。
(1) $L_2R_1>L_1R_2$ の時
(2) $L_2R_1<L_1R_2$ の時
(1)の時
===================
まず、コイルの両端に掛かる電圧 $V_{coil1},V_{coil2}$ を考...
電圧には、一次側の電流 $I_1$ のほかに、二次側の電流 $I_2$...
<tex>
V_{coil1} &= L_1 I_1 + M I_2 \\
&= \frac{i \omega L_1 (i \omega L_2 + R_2)E }{i \omega(L_...
+ \frac{-(i \omega M)^2E}{i \omega(L_1 R_2 + L_2 R_1) + R...
&= \frac{i \omega L_1 R_2 }{i \omega(L_1 R_2 + L_2 R_1) +...
&\fallingdotseq \frac{L_1 R_2E}{L_2 R_1} \\
&= \frac{N_1^2 R_2E}{N_2^2 R_1} \tag{##}
</tex>
<tex>
V_{coil2} &= \frac{N_2}{N_1}V_{coil1} \\
&\fallingdotseq \frac{N_1 R_2 E}{N_2 R_1} \tag{##}
</tex>
なんと、コイル $L_2$ の巻き数を $L_1$ の巻き数より
大きくしていくと、コイル $ L_1 $ に掛かる電圧は、 $\frac{...
で、コイル $L_2$ に掛かる電圧は、 $\frac{N_1}{N_2}$ で小...
また、電流によってコイル磁束の大部分、つまり、 $\frac{(i ...
は、打ち消しあっていて、その残り、つまり、 $\frac{i \omeg...
次に、電流 $I_2$ を考えます。
<tex>
I_2 &= \frac{-i \omega M}{i \omega(R_2 L_1+ R_1 L_2)+R_1R...
&\fallingdotseq -\frac{M}{R_1 L_2}E \\
&= \frac{-L_0 N_1 N_2}{R_1 L_0 N_2^2}E \\
&= (\frac{-N_1}{N_2})\frac{E}{R_1} \tag{##}
</tex>
よって、コイル $L_2$ の巻き数 $N_2$ の方を大きくしてやる...
減少することがわかります。 $I_2$ に $R_2$ を掛けてやると...
<tex>
V_{R2} &= -(\frac{N_1}{N_2})\frac{R_2E}{R_1} \tag{##}
</tex>
これもやはり巻き数 $N_2$ の増加に対して、減少することがわ...
抵抗 $R_2$ での平均消費電力 $P_2$ は、
<tex>
P_2 &= R_2I_2^2 \\
&= R_2 \frac{M^2}{R_1^2L_2^2}E^2 \\
&= \frac{R_2 L_0^2 N_1^2 N_2^2}{R_1^2 L_0^2 N_2^4}E^2 \\
&= (\frac{N_1^2}{N_2^2})\frac{R_2E^2}{R_1^2} \tag{##}
</tex>
となり、やはり減少します。
一方、電流 $I_1$ はどうなるでしょうか?
<tex>
I_1 &= \frac{R+i \omega L_2}{i \omega(L_1 R_2 + L_2 R_1) ...
&\fallingdotseq \frac{L_2E}{L_2 R_1} \\
&= \frac{E}{R_1} \tag{##}
</tex>
電流 $I_1$ は、 $L_2$ が十分に大きい時( $L_1 R_2 < L_2 R_...
コイルの巻き数には関係せず一定です。
最後にまとめておくと、
(1)の時( $L_2R_1>L_1R_2$ の時)
<tex>
V_{coil1} \fallingdotseq \frac{N_1^2 R_2E}{N_2^2 R_1}
</tex>
<tex>
V_{coil2} \fallingdotseq \frac{N_1 R_2 E}{N_2 R_1}
</tex>
<tex>
I_1 \fallingdotseq \frac{E}{R_1}
</tex>
<tex>
I_2 \fallingdotseq (\frac{-N_1}{N_2})\frac{E}{R_1}
</tex>
となります。
(2)の時
===================
(2) $L_2R_1<L_1R_2$ の時です。
電源の内部抵抗 $R_1$ が十分に小さい時とお考えください。
同様に、種々の量を列挙していきます。
<tex>
V_{coil1} &= \frac{i \omega L_1(i \omega L_2 + R_2)E-(i \...
&\fallingdotseq \frac{i \omega L_1 R_2E}{i \omega L_1 R_2...
&=E \tag{##}
</tex>
<tex>
V_{coil2} &= \frac{N_2}{N_1}V_{coil1} \\
&\fallingdotseq \frac{N_2 E}{N_1} \tag{##}
</tex>
<tex>
I_1 &= \frac{i \omega L_2 +R_2}{i \omega(L_1R_2 +L_2R_1)+...
&\fallingdotseq \frac{L_2}{L_1 R_2}E \\
&= \frac{N_2^2}{N_1^2 R_2}E \tag{##}
</tex>
<tex>
I_2 &= \frac{-i \omega M}{i \omega(L_1R_2+L_2R_1)+R_1R_2}...
&\fallingdotseq \frac{-M}{R_2 L_1}E \\
&= -\frac{L_0 N_1 N_2}{R_2 L_0 N_1^2}E \\
&= -(\frac{N_2}{N_1})\frac{E}{R_2} \tag{##}
</tex>
<tex>
V_{R2} &= R_2I_2 \\
&\fallingdotseq - \frac{N_2}{N_1}E \tag{##}
</tex>
<tex>
P_2 &= R_2 I_2^2 \\
&= \frac{N_2^2}{N_1^2} \frac{E^2}{R_2} \tag{##}
</tex>
すみません。種々の量のただの列挙になってしまい、
話をまとめられる力を持っていませんが、(1)の時も(2)...
式 $(10)$ と $(11)$ はなりたっていることに注意してくださ...
この話にはまだ続きがあります。
変圧器を二段にした時、計算がきれいになります。
ぜひ続きをご覧ください。
二つの変圧器をもつ回路とその回路方程式
========================================
.. image:: chromel-alterCurrentTrans2-01-t.png
上図のような回路を考えます。
左の回路を回路1、真ん中を回路2、右を回路3とします。
記事の前半と同じく自己インダクタンス $L_1$ を持つコイルの...
同じく $L_2$ を持つコイルの巻き数を $N_2$ とします。
また、二つのコイルを貫く磁束に漏れは無いものとし、相互イ...
$M$ とします。
今回も定常解のみを考えることにします。
キルヒホッフの法則より、それぞれの回路を一周したときの電...
<tex>
\begin{pmatrix}
i \omega L_1 + R_1 & i \omega M & 0 \\
i \omega M & 2i \omega L_2 +R_2 & i \omega M \\
0 & i \omega M & i \omega L_1 + R_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_1 \\
I_2 \\
I_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
E(t) \\
0 \\
0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ここで $E(t)= E_0 e^{i \omega t}$ は電源電圧です。
今何がしたいかというと、 $E(t)$ を正弦波として与えた時の...
抵抗 $R_1 \ ,\ R_2\ , R_3$ での消費電力やそれぞれの回路で...
よって、式 $(1)$ を余因子行列を使って逆行列を求めて $I$ ...
<tex>\frac{1}{\det A}
\begin{pmatrix}
(2i \omega L_2+R_2)(i \omega L_1 + R_3) - (i \omega M)^2 ...
- i \omega M (i \omega L_1 + R_3) & ? & ? \\
(i\omega M)^2 & ? & ?
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
E \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
I_1 \\
I_2 \\
I_3
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ただし、
<tex>
\det A &= (i \omega L_1 + R_1)(2i \omega L_2 + R_2)(i \om...
&= (i \omega)^3 L_0 N_1^2 \times 2L_0N_2^2 \times L_0 N_1...
\ - (i \omega )^3 L_0^2(N_1N_2)^2 L_0 N_1^2 \times 2 \\
&+ 2(i \omega)^2 L_1L_2 (R_1 + R_3) \ + (i \omega)L_1^2R_2
\ + i \omega L_1 R_2 (R_1+ R_3) \ + 2 i \omega L_2 R_1 R_3
\ +R_1R_2R_3 \\
&= 2(i \omega)^2 L_1L_2 (R_1 + R_3) \ + (i \omega)L_1^2R_2
\ + i \omega L_1 R_2 (R_1+ R_3) \ + 2 i \omega L_2 R_1 R_3
\ +R_1R_2R_3 \tag{##}
</tex>
ここで、 $\omega$ が十分大きいものとして $\omega L_2 > \o...
そして、
<tex>
\det A \fallingdotseq (i \omega)^2 L_1L_2 (R_1 + R_3) \ta...
</tex>
と近似します。
すると、
<tex>
I_1 &= \frac{(2i \omega L_2+R_2)(i \omega L_1 + R_3) - (i...
&= \frac{- \omega^2 L_1 L_2 + 2i\omega L_2R_3 + i \omega ...
&\fallingdotseq \frac{(i \omega)^2 L_1 L_2}{(i \omega)^2 ...
&=\frac{E}{R_1+R_3} \tag{##}
</tex>
<tex>
I_2 &= \frac{-(i \omega M)(i\omega L_1 + R_3)}{\det A}E \\
&\fallingdotseq \frac{-(i \omega )^2 L_1 M}{i \omega M^2(...
&= -\frac{N_1}{N_2(R_1+ R_3)}E \tag{##}
</tex>
<tex>
I_3 &= \frac{(i\omega M)^2}{\det A}E \\
&\fallingdotseq \frac{(i \omega M)^2}{(i \omega M)^2(R_1+...
&= \frac{E}{R_1 + R_3} \tag{##}
</tex>
回路2において、電流は、巻き数比 $\frac{N_2}{N_1}$ の逆数...
この電流の減少が、電流を輸送する時の送電線(抵抗 $R_2$ )...
実際に回路2の抵抗で消費される電力を計算すると、
<tex>
R_2 I_2^2 \fallingdotseq \frac{N_1^2 R_2 E^2}{N_2^2(R_1+R...
</tex>
となって、確かに消費電力は巻数比の(逆数の)2乗で減少し...
この時、抵抗にかかる電圧は $R_2 I_2 \varpropto \frac{N_1}...
抵抗の両端にかかる電圧は減っていきます。(そんなバカな!)
それでは、コイルの両端の電圧、 $V_{coil1}, V_{coil2-1},V_...
ただし $coil2-1, coil2-2$ は、それぞれ、回路2の左側のコ...
<tex>
V_{coil1} &= i \omega L_1 I_1 + i\omega M I_2 \\
&= \frac{ \{ (2i\omega L_2 +R_2)(i \omega + R_1)-(i \omeg...
&= \frac{ 2(i \omega)^3 L_1^2 L_2 -2(i \omega)^3M^2L_1 + ...
&\fallingdotseq \frac{ (i \omega)^2 L_1 L_2 R_3 }{(i \ome...
&= \frac{R_3 E}{R_1+R_3} \tag{##}
</tex>
<tex>
V_{coil2-1} &= \frac{N_2}{N_1}V_{coil1} \\
&\fallingdotseq \frac{N_2 R_3 E}{N_1(R_1+R_3)} \tag{##}
</tex>
<tex>
V_{coil2-2} &= i \omega L_2 I_2 + i \omega M I_3 \\
&= \frac{E}{\det A} \{ i \omega L_2 (- i \omega M) (i \om...
&\fallingdotseq \frac{- (i \omega)^2 M L_2 R_3}{(i \omega...
&= \frac{-N_2 R_3 E}{N_1(R_1+R_3)} \tag{##}
</tex>
<tex>
V_{coil3} &= \frac{N_1}{N_2}V_{coil2-2} \\
&\fallingdotseq \frac{-R_3E}{R_1+R_3} \tag{##}
</tex>
よって、近似的には回路1と回路3のコイルにかかる電圧は、...
その一方で、回路2のコイルにかかる電圧は、コイル2の巻き...
(減圧する)と減少することが分かります。
これで、しくみが分かりました。
変圧器を用いて送電線の部分を昇圧すれば、
抵抗にかかる電圧が巻数比(の逆数) $\frac{N_1}{N_2}$ に比...
コイル2-1,2-2の両端にかかる電圧は増えていくのです。
コイル2-1,2-2にかかる電圧の符号は反対ですので、これらが打...
エネルギーの流れ
============================
最後に回路方程式からエネルギーの流れを計算しておきます。
電流はどんなでも構いません。
<tex>
E = L_1 \frac{dI_1}{dt} + R_1 I_1 + M \frac{dI_2}{dt} \ta...
</tex>
<tex>
0 = M \frac{dI_1}{dt} + 2 L_2 \frac{dI_2}{dt} + R_2 I_2 +...
</tex>
<tex>
0 = M \frac{dI_2}{dt} + L_3 \frac{dI_3}{dt} + R_3 I_3 \ta...
</tex>
式 $(37)$ に $I_1$ をかけて、 $t$ で一周期分の積分をとり...
すると、
<tex>
\int EI_1 dt
&= L_1 \int I_1 \frac{dI_1}{dt}dt + R_1 \int I_1^2 dt + M...
&= \frac{1}{2}L_1 I_1^2 + R_1 \int I_1^2 dt + M \int I_1 ...
</tex>
次に式 $(38)$ に $I_2$ をかけて、同様に $t$ で一周期分積...
<tex>
0&= M \int \frac{dI_1}{dt} I_2 dt + L_2 I_2^2 + R_2 \int ...
</tex>
同様に、今度は式 $(39)$ に $I_3$ をかけて $t$ で積分しま...
<tex>
0&= M \int \frac{dI_2}{dt} I_3 + R_3 \int I_3^2 dt + \fra...
</tex>
最後に式 $(40)$ 〜 $(42)$ を辺々足します。この時、
<tex>
\int \left( \dfrac{dI_1}{dt} I_2 + I_1 \dfrac{dI_2}{dt} \...
&= \int \dfrac{d}{dt}(I_1I_2) dt \\
&= I_1 I_2 + C^\prime \tag{##}
</tex>
ここで、 $C^\prime$ は積分定数です。
すると、
<tex>
\int EI_1 dt + C = \frac{1}{2}(L_1 I_1^2+ 2 L_2 I_2^2 +L_...
</tex>
ここで、 $C$ を真面目に計算すると、
<tex>
C = \frac{1}{2}(L_1 I_1^2(0)+ 2 L_2 I_2^2(0) +L_3 I_3^2(0...
</tex>
左辺は電源 $E$ が供給するエネルギーと時刻 $t=0$ に於いて...
こうして、エネルギーの流れがどうなっているかが分かりまし...
それでは、長くなりましたが今日はこの辺で。
.. _wikipedia: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%90%E5%...
@@author: クロメル@@
@@accept: 2009-08-05@@
@@category: 電磁気学@@
@@id:alterCurrentTransport@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
交流電流の輸送
=========================================================...
交流電流のいいところは、変圧が可能で長い送電線の大きな抵...
輸送するとき、昇圧してやればジュール熱の損失を減らす事が...
って聞いたことありませんか?私は、抵抗にかかる電
圧を上げるって言う事は、オームの法則から電流の増加を引き...
増大させてしまうのではないかということが疑問でした。
この記事では、簡単な回路方程式を解いてみてどんな仕組みで、
電力損失が減るのか考える事にします。
必要な知識は、複素電流を知っていることと、相互インダクタ...
ことです。この記事の「(1)の時」、「(2)の時」はまと...
変圧比と変流比の話(式 $(11)$ )までいったら、
飛ばして「二つの変圧器をもつ回路とその回路方程式」に行っ...
(この記事は2009年8月5日に書き直しをしました。
修正前の記事には間違いがあった事をお詫びします。
計算はあっていたのですが、
電源の内部抵抗を考えなかった為に、
結果がおかしかったのです。
本文中の(1)の場合と(2)の場合のうち、
(2)の場合しか書いていなかったということです。)
一つの変圧器をもつ回路とその回路方程式
========================================
.. image:: chromel-alterCurrentTrans1-01-t.png
上図のような回路を考えます。
左の回路を回路1、右を回路2とします。
変圧器と言うのは、巻き数の違う二つのコイルに
共通の鉄芯を挿入して、相互インダクタンスを持つようにした...
自己インダクタンス $L_1$ を持つコイルの巻き数を $N_1$ と...
同じく $L_2$ を持つコイルの巻き数を $N_2$ とします。
また、二つのコイルを貫く磁束に漏れは無いものとし [*]_ 、...
$M$ とします。このとき、 $L_1=L_0 N_1^2$ 、 $L_2=L_0 N_2^...
なります。 $L_0$ は、巻き数の二乗あたりのインダクタンスで...
ただの比例係数として考えてしまってもかまいません。
特に有用な式として、 $M^2 = L_1 L_2$ があります。
.. [*] 実際には結合係数 $k=\frac{M}{\sqrt{L_1L_2}} \ , \ ...
キルヒホッフの法則より、それぞれの回路を一周したときの電...
<tex>
E(t)=L_1 \frac{dI_1}{dt}+R_1I_1+M\frac{dI_2}{dt} \tag{##}
</tex>
<tex>
0=M\frac{dI_1}{dt}+L_2\frac{dI_2}{dt}+R_2I_2 \tag{##}
</tex>
となります。
ここで $E(t)$ は電源電圧です。
今何がしたいかというと、 $E(t)$ を正弦波として与えた時の...
抵抗 $R_1 \ ,\ R_2$ での消費電力やそれぞれの回路での電力...
回路方程式の特解
==================
交流電流は複素表現をすると、 $E=E(t)= E_0 e^{i \omega t}$...
すると微分方程式の特解は、 $I_1=I_{10}e^{i \omega t}$ 、
$I_2=I_{20}e^{i \omega t}$ と表現できます [*]_ 。ここで注...
$I_{10},I_{20}$ は複素数であって、波の位相がずれることを...
つまり、 $A,\phi$ を実数として、
<tex>
I_1 &= Ae^{i (\omega t +\phi)} \\
&= (Ae^{i \phi})e^{i \omega t} \\
&= I_{10} e^{i \omega t}
</tex>
のように、任意の正弦波応答を表せるということです。
.. [*] 真面目に微分方程式を解くと大抵の初期条件では減衰項...
式 $(1)$ 、式 $(2)$ は、微分演算を $i\omega$ に変えること...
解くことが可能になります。
こうして、式 $(1)$ 、式 $(2)$ を書き換えると、
<tex>
E=i \omega L_1 I_1 + R_1I_1 + i \omega M I_2 \tag{##}
</tex>
<tex>
0=i \omega M I_1 + i \omega L_2 I_2 +R_2 I_2 \tag{##}
</tex>
となります。
整理するために行列で書くと、
<tex>
\begin{pmatrix}
i \omega L_1 + R_1 & i \omega M \\
i \omega M & i \omega L_2 +R_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_1 \\
I_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
E \\
0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
こうしてこれは連立方程式となって、 $I$ を求めるわけです。
逆行列を求めて計算します。
逆行列は、この行列を $A$ と置くと、
<tex>
\begin{pmatrix}
I_1 \\
I_2
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{\Delta}
\begin{pmatrix}
i \omega L_2 + R_2 & -i \omega M \\
-i \omega M & i \omega L_1 + R_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
E_0e^{i \omega t} \\
0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
<tex>
\det A = \Delta &= (i \omega L_1+R_1)(i \omega L_2+R_2)-(...
&= i \omega (L_1 R_2 +L_2 R_2 )+R_1R_2 \tag{##}
</tex>
ここで、さっき書いたように
二つのコイルを貫く磁束に漏れはないものとしました( $M^2=L_...
これで必要な情報(この方程式の特解)が求められました。
<tex>
I_1 = \frac{R_2 +i \omega L_2}{i \omega(L_1 R_2 + L_2 R_1...
</tex>
<tex>
I_2=\frac{-i \omega M}{i \omega(L_1 R_2 + L_2 R_1) + R_1R...
</tex>
です。
解の検証
==========
よって、コイルの両端にできる電圧 $V_{coil1} , V_{coil2}$ ...
<tex>
\frac{V_{coil1}}{V_{coil2}} &= \frac{i \omega L_1 I_1 + i...
{i \omega M I_1+i\omega L_2 I_2} \\
&= \frac{L_0 N_1(N_1I_1+N_2I_2)}{L_0 N_2(N_1I_1+N_2I_2)} \\
&= \frac{N_1}{N_2} \tag{##}
</tex>
となり、巻き数比( $\frac{N_1}{N_2}$ )は、変圧比に等しい...
これは、磁束に漏れがない理想的な時に限り厳密に成り立ちま...
以下、 $\omega L_2 > \omega M> \omega L_1 > R_2 > R_1 $ ...
電流 $I_1$ と $I_2$ に注目してみましょう。この二つの比を...
<tex>
\frac{I_1}{I_2} &=\frac{ E \Delta}{E \Delta}\frac{R_2 + i...
&\fallingdotseq -\frac{L_2}{M} \\
&= -\frac{N_2}{N_1} \tag{##}
</tex>
おおよそ( $R_2$ が $\omega L_2$ に比べて無視できる時)変流...
よって、大まかに言って、エネルギーが保存されます。
<tex>
V_1 I_1 &\fallingdotseq \frac{N_1}{N_2}V_2 \times(-\frac{...
&= -V_2 I_2 \tag{##}
</tex>
以下、二つの場合の場合分けします。
(1) $L_2R_1>L_1R_2$ の時
(2) $L_2R_1<L_1R_2$ の時
(1)の時
===================
まず、コイルの両端に掛かる電圧 $V_{coil1},V_{coil2}$ を考...
電圧には、一次側の電流 $I_1$ のほかに、二次側の電流 $I_2$...
<tex>
V_{coil1} &= L_1 I_1 + M I_2 \\
&= \frac{i \omega L_1 (i \omega L_2 + R_2)E }{i \omega(L_...
+ \frac{-(i \omega M)^2E}{i \omega(L_1 R_2 + L_2 R_1) + R...
&= \frac{i \omega L_1 R_2 }{i \omega(L_1 R_2 + L_2 R_1) +...
&\fallingdotseq \frac{L_1 R_2E}{L_2 R_1} \\
&= \frac{N_1^2 R_2E}{N_2^2 R_1} \tag{##}
</tex>
<tex>
V_{coil2} &= \frac{N_2}{N_1}V_{coil1} \\
&\fallingdotseq \frac{N_1 R_2 E}{N_2 R_1} \tag{##}
</tex>
なんと、コイル $L_2$ の巻き数を $L_1$ の巻き数より
大きくしていくと、コイル $ L_1 $ に掛かる電圧は、 $\frac{...
で、コイル $L_2$ に掛かる電圧は、 $\frac{N_1}{N_2}$ で小...
また、電流によってコイル磁束の大部分、つまり、 $\frac{(i ...
は、打ち消しあっていて、その残り、つまり、 $\frac{i \omeg...
次に、電流 $I_2$ を考えます。
<tex>
I_2 &= \frac{-i \omega M}{i \omega(R_2 L_1+ R_1 L_2)+R_1R...
&\fallingdotseq -\frac{M}{R_1 L_2}E \\
&= \frac{-L_0 N_1 N_2}{R_1 L_0 N_2^2}E \\
&= (\frac{-N_1}{N_2})\frac{E}{R_1} \tag{##}
</tex>
よって、コイル $L_2$ の巻き数 $N_2$ の方を大きくしてやる...
減少することがわかります。 $I_2$ に $R_2$ を掛けてやると...
<tex>
V_{R2} &= -(\frac{N_1}{N_2})\frac{R_2E}{R_1} \tag{##}
</tex>
これもやはり巻き数 $N_2$ の増加に対して、減少することがわ...
抵抗 $R_2$ での平均消費電力 $P_2$ は、
<tex>
P_2 &= R_2I_2^2 \\
&= R_2 \frac{M^2}{R_1^2L_2^2}E^2 \\
&= \frac{R_2 L_0^2 N_1^2 N_2^2}{R_1^2 L_0^2 N_2^4}E^2 \\
&= (\frac{N_1^2}{N_2^2})\frac{R_2E^2}{R_1^2} \tag{##}
</tex>
となり、やはり減少します。
一方、電流 $I_1$ はどうなるでしょうか?
<tex>
I_1 &= \frac{R+i \omega L_2}{i \omega(L_1 R_2 + L_2 R_1) ...
&\fallingdotseq \frac{L_2E}{L_2 R_1} \\
&= \frac{E}{R_1} \tag{##}
</tex>
電流 $I_1$ は、 $L_2$ が十分に大きい時( $L_1 R_2 < L_2 R_...
コイルの巻き数には関係せず一定です。
最後にまとめておくと、
(1)の時( $L_2R_1>L_1R_2$ の時)
<tex>
V_{coil1} \fallingdotseq \frac{N_1^2 R_2E}{N_2^2 R_1}
</tex>
<tex>
V_{coil2} \fallingdotseq \frac{N_1 R_2 E}{N_2 R_1}
</tex>
<tex>
I_1 \fallingdotseq \frac{E}{R_1}
</tex>
<tex>
I_2 \fallingdotseq (\frac{-N_1}{N_2})\frac{E}{R_1}
</tex>
となります。
(2)の時
===================
(2) $L_2R_1<L_1R_2$ の時です。
電源の内部抵抗 $R_1$ が十分に小さい時とお考えください。
同様に、種々の量を列挙していきます。
<tex>
V_{coil1} &= \frac{i \omega L_1(i \omega L_2 + R_2)E-(i \...
&\fallingdotseq \frac{i \omega L_1 R_2E}{i \omega L_1 R_2...
&=E \tag{##}
</tex>
<tex>
V_{coil2} &= \frac{N_2}{N_1}V_{coil1} \\
&\fallingdotseq \frac{N_2 E}{N_1} \tag{##}
</tex>
<tex>
I_1 &= \frac{i \omega L_2 +R_2}{i \omega(L_1R_2 +L_2R_1)+...
&\fallingdotseq \frac{L_2}{L_1 R_2}E \\
&= \frac{N_2^2}{N_1^2 R_2}E \tag{##}
</tex>
<tex>
I_2 &= \frac{-i \omega M}{i \omega(L_1R_2+L_2R_1)+R_1R_2}...
&\fallingdotseq \frac{-M}{R_2 L_1}E \\
&= -\frac{L_0 N_1 N_2}{R_2 L_0 N_1^2}E \\
&= -(\frac{N_2}{N_1})\frac{E}{R_2} \tag{##}
</tex>
<tex>
V_{R2} &= R_2I_2 \\
&\fallingdotseq - \frac{N_2}{N_1}E \tag{##}
</tex>
<tex>
P_2 &= R_2 I_2^2 \\
&= \frac{N_2^2}{N_1^2} \frac{E^2}{R_2} \tag{##}
</tex>
すみません。種々の量のただの列挙になってしまい、
話をまとめられる力を持っていませんが、(1)の時も(2)...
式 $(10)$ と $(11)$ はなりたっていることに注意してくださ...
この話にはまだ続きがあります。
変圧器を二段にした時、計算がきれいになります。
ぜひ続きをご覧ください。
二つの変圧器をもつ回路とその回路方程式
========================================
.. image:: chromel-alterCurrentTrans2-01-t.png
上図のような回路を考えます。
左の回路を回路1、真ん中を回路2、右を回路3とします。
記事の前半と同じく自己インダクタンス $L_1$ を持つコイルの...
同じく $L_2$ を持つコイルの巻き数を $N_2$ とします。
また、二つのコイルを貫く磁束に漏れは無いものとし、相互イ...
$M$ とします。
今回も定常解のみを考えることにします。
キルヒホッフの法則より、それぞれの回路を一周したときの電...
<tex>
\begin{pmatrix}
i \omega L_1 + R_1 & i \omega M & 0 \\
i \omega M & 2i \omega L_2 +R_2 & i \omega M \\
0 & i \omega M & i \omega L_1 + R_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_1 \\
I_2 \\
I_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
E(t) \\
0 \\
0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ここで $E(t)= E_0 e^{i \omega t}$ は電源電圧です。
今何がしたいかというと、 $E(t)$ を正弦波として与えた時の...
抵抗 $R_1 \ ,\ R_2\ , R_3$ での消費電力やそれぞれの回路で...
よって、式 $(1)$ を余因子行列を使って逆行列を求めて $I$ ...
<tex>\frac{1}{\det A}
\begin{pmatrix}
(2i \omega L_2+R_2)(i \omega L_1 + R_3) - (i \omega M)^2 ...
- i \omega M (i \omega L_1 + R_3) & ? & ? \\
(i\omega M)^2 & ? & ?
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
E \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
I_1 \\
I_2 \\
I_3
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ただし、
<tex>
\det A &= (i \omega L_1 + R_1)(2i \omega L_2 + R_2)(i \om...
&= (i \omega)^3 L_0 N_1^2 \times 2L_0N_2^2 \times L_0 N_1...
\ - (i \omega )^3 L_0^2(N_1N_2)^2 L_0 N_1^2 \times 2 \\
&+ 2(i \omega)^2 L_1L_2 (R_1 + R_3) \ + (i \omega)L_1^2R_2
\ + i \omega L_1 R_2 (R_1+ R_3) \ + 2 i \omega L_2 R_1 R_3
\ +R_1R_2R_3 \\
&= 2(i \omega)^2 L_1L_2 (R_1 + R_3) \ + (i \omega)L_1^2R_2
\ + i \omega L_1 R_2 (R_1+ R_3) \ + 2 i \omega L_2 R_1 R_3
\ +R_1R_2R_3 \tag{##}
</tex>
ここで、 $\omega$ が十分大きいものとして $\omega L_2 > \o...
そして、
<tex>
\det A \fallingdotseq (i \omega)^2 L_1L_2 (R_1 + R_3) \ta...
</tex>
と近似します。
すると、
<tex>
I_1 &= \frac{(2i \omega L_2+R_2)(i \omega L_1 + R_3) - (i...
&= \frac{- \omega^2 L_1 L_2 + 2i\omega L_2R_3 + i \omega ...
&\fallingdotseq \frac{(i \omega)^2 L_1 L_2}{(i \omega)^2 ...
&=\frac{E}{R_1+R_3} \tag{##}
</tex>
<tex>
I_2 &= \frac{-(i \omega M)(i\omega L_1 + R_3)}{\det A}E \\
&\fallingdotseq \frac{-(i \omega )^2 L_1 M}{i \omega M^2(...
&= -\frac{N_1}{N_2(R_1+ R_3)}E \tag{##}
</tex>
<tex>
I_3 &= \frac{(i\omega M)^2}{\det A}E \\
&\fallingdotseq \frac{(i \omega M)^2}{(i \omega M)^2(R_1+...
&= \frac{E}{R_1 + R_3} \tag{##}
</tex>
回路2において、電流は、巻き数比 $\frac{N_2}{N_1}$ の逆数...
この電流の減少が、電流を輸送する時の送電線(抵抗 $R_2$ )...
実際に回路2の抵抗で消費される電力を計算すると、
<tex>
R_2 I_2^2 \fallingdotseq \frac{N_1^2 R_2 E^2}{N_2^2(R_1+R...
</tex>
となって、確かに消費電力は巻数比の(逆数の)2乗で減少し...
この時、抵抗にかかる電圧は $R_2 I_2 \varpropto \frac{N_1}...
抵抗の両端にかかる電圧は減っていきます。(そんなバカな!)
それでは、コイルの両端の電圧、 $V_{coil1}, V_{coil2-1},V_...
ただし $coil2-1, coil2-2$ は、それぞれ、回路2の左側のコ...
<tex>
V_{coil1} &= i \omega L_1 I_1 + i\omega M I_2 \\
&= \frac{ \{ (2i\omega L_2 +R_2)(i \omega + R_1)-(i \omeg...
&= \frac{ 2(i \omega)^3 L_1^2 L_2 -2(i \omega)^3M^2L_1 + ...
&\fallingdotseq \frac{ (i \omega)^2 L_1 L_2 R_3 }{(i \ome...
&= \frac{R_3 E}{R_1+R_3} \tag{##}
</tex>
<tex>
V_{coil2-1} &= \frac{N_2}{N_1}V_{coil1} \\
&\fallingdotseq \frac{N_2 R_3 E}{N_1(R_1+R_3)} \tag{##}
</tex>
<tex>
V_{coil2-2} &= i \omega L_2 I_2 + i \omega M I_3 \\
&= \frac{E}{\det A} \{ i \omega L_2 (- i \omega M) (i \om...
&\fallingdotseq \frac{- (i \omega)^2 M L_2 R_3}{(i \omega...
&= \frac{-N_2 R_3 E}{N_1(R_1+R_3)} \tag{##}
</tex>
<tex>
V_{coil3} &= \frac{N_1}{N_2}V_{coil2-2} \\
&\fallingdotseq \frac{-R_3E}{R_1+R_3} \tag{##}
</tex>
よって、近似的には回路1と回路3のコイルにかかる電圧は、...
その一方で、回路2のコイルにかかる電圧は、コイル2の巻き...
(減圧する)と減少することが分かります。
これで、しくみが分かりました。
変圧器を用いて送電線の部分を昇圧すれば、
抵抗にかかる電圧が巻数比(の逆数) $\frac{N_1}{N_2}$ に比...
コイル2-1,2-2の両端にかかる電圧は増えていくのです。
コイル2-1,2-2にかかる電圧の符号は反対ですので、これらが打...
エネルギーの流れ
============================
最後に回路方程式からエネルギーの流れを計算しておきます。
電流はどんなでも構いません。
<tex>
E = L_1 \frac{dI_1}{dt} + R_1 I_1 + M \frac{dI_2}{dt} \ta...
</tex>
<tex>
0 = M \frac{dI_1}{dt} + 2 L_2 \frac{dI_2}{dt} + R_2 I_2 +...
</tex>
<tex>
0 = M \frac{dI_2}{dt} + L_3 \frac{dI_3}{dt} + R_3 I_3 \ta...
</tex>
式 $(37)$ に $I_1$ をかけて、 $t$ で一周期分の積分をとり...
すると、
<tex>
\int EI_1 dt
&= L_1 \int I_1 \frac{dI_1}{dt}dt + R_1 \int I_1^2 dt + M...
&= \frac{1}{2}L_1 I_1^2 + R_1 \int I_1^2 dt + M \int I_1 ...
</tex>
次に式 $(38)$ に $I_2$ をかけて、同様に $t$ で一周期分積...
<tex>
0&= M \int \frac{dI_1}{dt} I_2 dt + L_2 I_2^2 + R_2 \int ...
</tex>
同様に、今度は式 $(39)$ に $I_3$ をかけて $t$ で積分しま...
<tex>
0&= M \int \frac{dI_2}{dt} I_3 + R_3 \int I_3^2 dt + \fra...
</tex>
最後に式 $(40)$ 〜 $(42)$ を辺々足します。この時、
<tex>
\int \left( \dfrac{dI_1}{dt} I_2 + I_1 \dfrac{dI_2}{dt} \...
&= \int \dfrac{d}{dt}(I_1I_2) dt \\
&= I_1 I_2 + C^\prime \tag{##}
</tex>
ここで、 $C^\prime$ は積分定数です。
すると、
<tex>
\int EI_1 dt + C = \frac{1}{2}(L_1 I_1^2+ 2 L_2 I_2^2 +L_...
</tex>
ここで、 $C$ を真面目に計算すると、
<tex>
C = \frac{1}{2}(L_1 I_1^2(0)+ 2 L_2 I_2^2(0) +L_3 I_3^2(0...
</tex>
左辺は電源 $E$ が供給するエネルギーと時刻 $t=0$ に於いて...
こうして、エネルギーの流れがどうなっているかが分かりまし...
それでは、長くなりましたが今日はこの辺で。
.. _wikipedia: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%90%E5%...
@@author: クロメル@@
@@accept: 2009-08-05@@
@@category: 電磁気学@@
@@id:alterCurrentTransport@@
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