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#rst2hooktail_source
=============================================
固定部分群
=============================================
軌道に関する概念で重要なものに、固定部分群があります。
固定部分群の定義
-----------------------------------------
群 $G$ の、集合 $M$ 上の軌道を考えるとき、 $M$ 上の一点( ...
1. $g(x_{0})=x_{0}, \ h(x_{0})=x_{0}$ ならば、 $(g\circ ...
2. 結合則がなりたちます。 $(g\circ h)(x_{0})=g(h(x_{0}))$
3. 単位元があります。
4. $g(x_{0})=x_{0}$ より、 $x_{0}=g^{-1}(g(x_{0}))=g^{-1...
これを $x_{0}$ の *固定部分群* (もしくは *安定部分群* )と...
例1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
正四面体群 $P(4)=\{ e, (2 \ 3 \ 4) ,(2 \ 4 \ 3) , (1 \ 3)...
.. image:: Joh-TetraEigen.gif
:align: center
<tex>
P(4)_{A_{1}}=\{ e, (2 \ 3 \ 4), (2 \ 4 \ 3)\}
</tex>
この $3$ つの元以外は、頂点 $A_{1}$ を動かしてしまうこと...
例2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
3次の対称群 $S_{3}=\{ e,(1 \ 2),(2 \ 3),(1 \ 3),(1 \ 2 \...
固定部分群と軌道の関係
----------------------------------------------------
群 $G$ が集合 $M$ に作用するとき、 $M$ 上のある点 $x_{0}$...
.. image:: Joh-IsometricGroup21.gif
:align: center
いま、集合 $M$ 上で点 $x_{0}$ の群 $G$ による軌道、すなわ...
<tex>
G(x_{0})=\{ x_{0},x_{1},...,x_{k}\}
</tex>
このとき、軌道と固定部分群の間には、次のような重要な関係...
.. admonition:: theorem
群 $G$ が集合 $M$ に作用するとき、 $M$ 上の一点 $x_{0}$ ...
証明は次のように考えます。軌道 $G(x_{0})={x_{0},x_{1},......
<tex>
x_{i}=g_{i_{1}}(x_{0}), \ \ x_{i}=g_{i_{2}}(x_{0})
</tex>
一番目の式から、 ${g_{i_{1}}}^{-1}x_{i}=x_{0}$ が言えます...
<tex>
{g_{i_{1}}}^{-1}g_{i_{2}}(x_{0})=x_{0}
</tex>
これより、 ${g_{i_{1}}}^{-1}g_{i_{2}}$ は $x_{0}$ を動か...
<tex>
{g_{i_{1}}}^{-1}g_{i_{2}} \in G_{x_{0}}
</tex>
上の関係を、両辺から ${g_{i_{1}}}^{-1}$ を掛けて次のよう...
<tex>
g_{i_{2}} \in {g_{i_{1}}}G_{x_{0}}
</tex>
これは、 ${g_{i_{2}}}$ と ${g_{i_{1}}}$ が、 $G_{x_{0}}$ ...
軌道による類別
---------------------------------------------------------...
この結果を使うと『軌道 $G(x_{0})=\{ x_{0},x_{1},...,x_{k}...
<tex>
G=G_{x_{0}}+g_{1}G_{x_{0}}+g_{2}G_{x_{0}}+....
</tex>
もう一度おさらいしておくと、この式の意味するところは『第...
一つの元が、 $x_{0}$ を $x_{1}$ に移すこともあれば、気分...
大事なのは、『群 $G$ の元 $g$ が、 $G$ の $G_{x_{0}}$ に...
<tex>
g \in G_{x_{0}} \ \Longleftrightarrow \ g(x_{0})=x_{0}
</tex>
<tex>
g \in g_{1}G_{x_{0}} \ \Longleftrightarrow \ g(x_{0})=x_{1}
</tex>
<tex>
g \in g_{2}G_{x_{0}} \ \Longleftrightarrow \ g(x_{0})=x_{2}
</tex>
<tex>
................
</tex>
<tex>
g \in g_{i}G_{x_{0}} \ \Longleftrightarrow \ g(x_{0})=x_{i}
</tex>
<tex>
................
</tex>
軌道 $G(x_{0})$ は、 $M$ の部分集合なわけですが、その軌道...
この結果を次のように表現することもできます。
.. admonition:: theorem
群 $G$ が集合 $M$ の作用するとき、 $M$ の一点 $x_{0}$ の...
また、とくに $G$ が有限群の場合は、次の関係が成り立ちます。
<tex>
G=G_{x_{0}}+g_{1}G_{x_{0}}+g_{2}G_{x_{0}}+...+g_{k}G_{x_{...
</tex>
これより、 $G(x_{0})=\{e,g_{1},...,g_{k}\}$ とすると、位...
<tex>
|G|=|G(x_{0})|\cdot |G_{x_{0}}|
</tex>
これは大事な関係ですから、定理として覚えておきます。
.. admonition:: theorem
有限群 $G$ のG-軌道に現われる点の個数は、 $G$ の位数の約...
意味するところがとてもイメージしやすい定理です。ここで、...
.. [*] 慣れるまで $G(x_{0})$ と $G_{x_{0}}$ は記号が紛ら...
.. _軌道の概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Grou...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: IsometricGroup@@
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#rst2hooktail_source
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固定部分群
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軌道に関する概念で重要なものに、固定部分群があります。
固定部分群の定義
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群 $G$ の、集合 $M$ 上の軌道を考えるとき、 $M$ 上の一点( ...
1. $g(x_{0})=x_{0}, \ h(x_{0})=x_{0}$ ならば、 $(g\circ ...
2. 結合則がなりたちます。 $(g\circ h)(x_{0})=g(h(x_{0}))$
3. 単位元があります。
4. $g(x_{0})=x_{0}$ より、 $x_{0}=g^{-1}(g(x_{0}))=g^{-1...
これを $x_{0}$ の *固定部分群* (もしくは *安定部分群* )と...
例1
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正四面体群 $P(4)=\{ e, (2 \ 3 \ 4) ,(2 \ 4 \ 3) , (1 \ 3)...
.. image:: Joh-TetraEigen.gif
:align: center
<tex>
P(4)_{A_{1}}=\{ e, (2 \ 3 \ 4), (2 \ 4 \ 3)\}
</tex>
この $3$ つの元以外は、頂点 $A_{1}$ を動かしてしまうこと...
例2
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3次の対称群 $S_{3}=\{ e,(1 \ 2),(2 \ 3),(1 \ 3),(1 \ 2 \...
固定部分群と軌道の関係
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群 $G$ が集合 $M$ に作用するとき、 $M$ 上のある点 $x_{0}$...
.. image:: Joh-IsometricGroup21.gif
:align: center
いま、集合 $M$ 上で点 $x_{0}$ の群 $G$ による軌道、すなわ...
<tex>
G(x_{0})=\{ x_{0},x_{1},...,x_{k}\}
</tex>
このとき、軌道と固定部分群の間には、次のような重要な関係...
.. admonition:: theorem
群 $G$ が集合 $M$ に作用するとき、 $M$ 上の一点 $x_{0}$ ...
証明は次のように考えます。軌道 $G(x_{0})={x_{0},x_{1},......
<tex>
x_{i}=g_{i_{1}}(x_{0}), \ \ x_{i}=g_{i_{2}}(x_{0})
</tex>
一番目の式から、 ${g_{i_{1}}}^{-1}x_{i}=x_{0}$ が言えます...
<tex>
{g_{i_{1}}}^{-1}g_{i_{2}}(x_{0})=x_{0}
</tex>
これより、 ${g_{i_{1}}}^{-1}g_{i_{2}}$ は $x_{0}$ を動か...
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{g_{i_{1}}}^{-1}g_{i_{2}} \in G_{x_{0}}
</tex>
上の関係を、両辺から ${g_{i_{1}}}^{-1}$ を掛けて次のよう...
<tex>
g_{i_{2}} \in {g_{i_{1}}}G_{x_{0}}
</tex>
これは、 ${g_{i_{2}}}$ と ${g_{i_{1}}}$ が、 $G_{x_{0}}$ ...
軌道による類別
---------------------------------------------------------...
この結果を使うと『軌道 $G(x_{0})=\{ x_{0},x_{1},...,x_{k}...
<tex>
G=G_{x_{0}}+g_{1}G_{x_{0}}+g_{2}G_{x_{0}}+....
</tex>
もう一度おさらいしておくと、この式の意味するところは『第...
一つの元が、 $x_{0}$ を $x_{1}$ に移すこともあれば、気分...
大事なのは、『群 $G$ の元 $g$ が、 $G$ の $G_{x_{0}}$ に...
<tex>
g \in G_{x_{0}} \ \Longleftrightarrow \ g(x_{0})=x_{0}
</tex>
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g \in g_{1}G_{x_{0}} \ \Longleftrightarrow \ g(x_{0})=x_{1}
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g \in g_{2}G_{x_{0}} \ \Longleftrightarrow \ g(x_{0})=x_{2}
</tex>
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g \in g_{i}G_{x_{0}} \ \Longleftrightarrow \ g(x_{0})=x_{i}
</tex>
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軌道 $G(x_{0})$ は、 $M$ の部分集合なわけですが、その軌道...
この結果を次のように表現することもできます。
.. admonition:: theorem
群 $G$ が集合 $M$ の作用するとき、 $M$ の一点 $x_{0}$ の...
また、とくに $G$ が有限群の場合は、次の関係が成り立ちます。
<tex>
G=G_{x_{0}}+g_{1}G_{x_{0}}+g_{2}G_{x_{0}}+...+g_{k}G_{x_{...
</tex>
これより、 $G(x_{0})=\{e,g_{1},...,g_{k}\}$ とすると、位...
<tex>
|G|=|G(x_{0})|\cdot |G_{x_{0}}|
</tex>
これは大事な関係ですから、定理として覚えておきます。
.. admonition:: theorem
有限群 $G$ のG-軌道に現われる点の個数は、 $G$ の位数の約...
意味するところがとてもイメージしやすい定理です。ここで、...
.. [*] 慣れるまで $G(x_{0})$ と $G_{x_{0}}$ は記号が紛ら...
.. _軌道の概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Grou...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: IsometricGroup@@
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