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計量テンソルとヤコビアン
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物の長さを測るには、物差しが必要です。数学的には『そもそ...
一般に、座標系 $q^1 , q^2 , q^3$ を決めると、この空間にお...
<tex>
ds^2 &= g_{11}dq^1dq^1 + g_{12}dq^1dq^2 + g_{13}dq^1dq^3
+ g_{21}dq^2dq^1 + g_{22}dq^3dq^2 + g_{23}dq^2dq^3
+ g_{31}dq^3dq^1 + g_{32}dq^3dq^2 + g_{33}dq^3dq^3 \\
&= g_{ij}dq^{i}dq^{j} \tag{1}
</tex>
<tex>
ds= \sqrt{ g_{ij}dq^{i}dq^{j} }
</tex>
.. [*] よく見慣れているデカルト座標系では、微小長さ $ds$ ...
式 $(1)$ に出てくる $g_{ij}$ は *計量テンソル* で、次のよ...
<tex>
g_{ij}= \bm{e_{i}} \cdot \bm{e_{j}}
</tex>
ここまでは既に勉強した内容ですが、忘れてしまった人は 計量...
.. [*] 式 $(1)$ を満たす $g_{ij}$ で符号が正のものをリー...
微小面積と微小体積
------------------------------------------------------
また、 $dq^2 dq^3$ によって張られる微小面積は基底ベクトル...
.. image:: Joh-InfiniArea11.gif
.. [*] 曲線の微小部分を直線(図中の点線)で近似できるとい...
<tex>
d\sigma_{1} &= |\bm{e_{2}} \times \bm{e_{3}}| dq^2 dq^3 \\
&= \sqrt{(\bm{e_{2}} \times \bm{e_{3}})\cdot (\bm{e_{2}} ...
&= \sqrt{(\bm{e_{2}} \cdot \bm{e_{2}})(\bm{e_{3}} \cdot \...
&= \sqrt{g_{22}g_{33}-g_{23}^{2}}dq ^2 dq ^3 \tag{2}
</tex>
同様に、 $dq^3 dq^1$ や $dq^1 dq^2$ の張る微小面積は次の...
<tex>
\sigma_{2} = \sqrt{g_{33}g_{11}-g_{31}^{2}}dq ^3 dq ^1
</tex>
<tex>
\sigma_{3} = \sqrt{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}dq ^1 dq ^2
</tex>
既に $dq^1 dq^2 dq^3 $ の張る微小体積 $dV$ は 計量テンソ...
.. image:: Joh-InfiniVol1.gif
<tex>
dV = \sqrt{G} dq^1 dq^2 dq^3 \tag{3}
</tex>
<tex>
G = {\rm det}|g_{ij}|
</tex>
式 $(1)(2)(3)$ により、三次元の一般のアフィン座標系で、微...
補足:直交座標系の場合
-------------------------------------------------
直交座標では $g_{ij}$ のうち $i \ne j$ 成分が全て零になり...
<tex>
ds^2 = (h_{1}dq^1)^2 + (h_{2}dq^2)^2 + (h_{3}dq^3)^2 ...
</tex>
<tex>
d\sigma_{1} = h_{2}h_{3}dq^2 dq^3 \tag{5-1}
</tex>
<tex>
d\sigma_{2} = h_{3}h_{1}dq^3 dq^1 \tag{5-2}
</tex>
<tex>
d\sigma_{3} = h_{1}h_{2}dq^1 dq^2 \tag{5-3}
</tex>
<tex>
dV = h_{1}h_{2}h_{3} dq^1 dq^2 dq^3 \tag{6}
</tex>
実際の計算では直交座標系を利用することが多いと思いますの...
ヤコビアンとの関係
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
さきほど考えていた座標系 $q^1 q^2 q^3$ は、一般的な三次元...
<tex>
q^1 = q^1 (x_{1},x_{2},x_{3}) \tag{7-1}
</tex>
<tex>
q^2 = q^2 (x_{1},x_{2},x_{3}) \tag{7-2}
</tex>
<tex>
q^3 = q^3 (x_{1},x_{2},x_{3}) \tag{7-3}
</tex>
このとき、ヤコビ行列 $J$ は次のように定義されます。
<tex>
J =\frac{\partial q^{1},q^{2},q^{3}}{\partial (x_{1},x_{2...
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial q^1}{\partial x_{1}} & \frac{\partial q^1}...
\frac{\partial q^2}{\partial x_{1}} & \frac{\partial q^2}...
\frac{\partial q^3}{\partial x_{1}} & \frac{\partial q^3}...
\end{array}
\right)
</tex>
ヤコビアン $|J|$ はヤコビ行列の行列式として次のように書け...
<tex>
|J|= {\rm det}\left| \frac{\partial q^i}{\partial x_{j}} ...
</tex>
.. [*] ヤコビ行列そのものをヤコビアンと呼ぶ人もいれば、行...
逆に、 $x_{1},x_{2},x_{3}$ を $q^1 , q^2 , q^3$ の関数と...
<tex>
x_{1} = x_{1} (q^{1}, q^{2}, q^{3}) \tag{9-1}
</tex>
<tex>
x_{2} = x_{2} (q^{1}, q^{2}, q^{3}) \tag{9-2}
</tex>
<tex>
x_{3} = x_{3} (q^{1}, q^{2}, q^{3}) \tag{9-3}
</tex>
式 $(9)$ より、ヤコビアン $|J'|={\rm det}\left| \frac{\pa...
<tex>
|J'|=|J^{-1}|= {\rm det}\left| \frac{\partial x_{i}}{\par...
</tex>
.. [*] $q^{i}$ から $x_{j}$ 、 $x_{j}$ から $q^{i}$ と...
ヤコビアンは座標変換に関係する量ですから、いかにも計量テ...
<tex>
d\bm{r} &= \frac{\partial \bm{r}}{\partial q^{1}}dq^{1}+ ...
&= \frac{\partial \bm{r}}{\partial q^{i}}dq^{i}
</tex>
これより、次式が成り立ちます。
<tex>
ds^2 = d\bm{r} \cdot d\bm{r} = \frac{\partial \bm{r}}{\pa...
</tex>
一方、式 $(1)$ より $ds^2 = g_{ij}dq^{i}dq^{j}$ ですから...
<tex>
g_{ij} = \frac{\partial \bm{r}}{\partial q^{i}}\frac{\par...
</tex>
ここで $d\bm{r}=(dx_{1},dx_{2},dx_{3})$ を代入すれば、次...
<tex>
g_{ij} = \frac{\partial x_{k}}{\partial q^{i}}\frac{\part...
</tex>
蛇足ですが、定義より計量テンソルは $g_{ij}=\bm{e_{i}} \cd...
<tex>
\bm{e_{i}}=\frac{\partial \bm{r}}{\partial q^{i}}
</tex>
<tex>
\bm{e_{k}}=\frac{\partial \bm{r}}{\partial q^{k}}
</tex>
さて、ヤコビアン $J'= \left[ \frac{\partial x_{i}}{\parti...
少し考えてみると、次の関係式が分かると思います。 ${}^{t}{...
<tex>
[g_{ij}] &= {}^{t}{J'} J' \\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial x^1}{\partial q_{1}} & \frac{\partial x^2}...
\frac{\partial x^1}{\partial q_{2}} & \frac{\partial x^2}...
\frac{\partial x^1}{\partial q_{3}} & \frac{\partial x^2}...
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial x^1}{\partial q_{1}} & \frac{\partial x^1}...
\frac{\partial x^2}{\partial q_{1}} & \frac{\partial x^2}...
\frac{\partial x^3}{\partial q_{1}} & \frac{\partial x^3}...
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
\left( \frac{\partial x^1}{\partial q_{1}} \right)^2 +
\left( \frac{\partial x^2}{\partial q_{1}} \right)^2 +
\left( \frac{\partial x^3}{\partial q_{1}} \right)^2 &
\frac{\partial x^1}{\partial q_{1}}\frac{\partial x^1}{\p...
\frac{\partial x^2}{\partial q_{1}}\frac{\partial x^2}{\p...
\frac{\partial x^3}{\partial q_{1}}\frac{\partial x^3}{\p...
\frac{\partial x^1}{\partial q_{1}}\frac{\partial x^1}{\p...
\frac{\partial x^2}{\partial q_{1}}\frac{\partial x^2}{\p...
\frac{\partial x^3}{\partial q_{1}}\frac{\partial x^3}{\p...
\frac{\partial x^1}{\partial q_{2}}\frac{\partial x^1}{\p...
\frac{\partial x^2}{\partial q_{2}}\frac{\partial x^2}{\p...
\frac{\partial x^3}{\partial q_{2}}\frac{\partial x^3}{\p...
\left( \frac{\partial x^1}{\partial q_{2}} \right)^2 +
\left( \frac{\partial x^2}{\partial q_{2}} \right)^2 +
\left( \frac{\partial x^3}{\partial q_{3}} \right)^2 &
\frac{\partial x^1}{\partial q_{2}}\frac{\partial x^1}{\p...
\frac{\partial x^2}{\partial q_{2}}\frac{\partial x^2}{\p...
\frac{\partial x^3}{\partial q_{2}}\frac{\partial x^3}{\p...
\frac{\partial x^1}{\partial q_{3}}\frac{\partial x^1}{\p...
\frac{\partial x^2}{\partial q_{3}}\frac{\partial x^2}{\p...
\frac{\partial x^3}{\partial q_{3}}\frac{\partial x^3}{\p...
\frac{\partial x^1}{\partial q_{3}}\frac{\partial x^1}{\p...
\frac{\partial x^2}{\partial q_{3}}\frac{\partial x^2}{\p...
\frac{\partial x^3}{\partial q_{3}}\frac{\partial x^3}{\p...
\left( \frac{\partial x^1}{\partial q_{3}} \right)^2 +
\left( \frac{\partial x^2}{\partial q_{3}} \right)^2 +
\left( \frac{\partial x^3}{\partial q_{3}} \right)^2 \\
\end{array}
\right) \tag{11}
</tex>
右辺の係数を縮約を使ってまとめると、一般に次のように書け...
<tex>
g_{ij}= \frac{\partial x_k}{\partial q^{i}}\frac{\partia...
</tex>
式 $(12)$ と式 $(11)$ が等しいことを確認してください。
.. _球面三角形の角度: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
.. _計量テンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _直交座標系: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
@@author:Joh@@
@@accept: 2005-06-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: MetricTensorJacobian@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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計量テンソルとヤコビアン
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物の長さを測るには、物差しが必要です。数学的には『そもそ...
一般に、座標系 $q^1 , q^2 , q^3$ を決めると、この空間にお...
<tex>
ds^2 &= g_{11}dq^1dq^1 + g_{12}dq^1dq^2 + g_{13}dq^1dq^3
+ g_{21}dq^2dq^1 + g_{22}dq^3dq^2 + g_{23}dq^2dq^3
+ g_{31}dq^3dq^1 + g_{32}dq^3dq^2 + g_{33}dq^3dq^3 \\
&= g_{ij}dq^{i}dq^{j} \tag{1}
</tex>
<tex>
ds= \sqrt{ g_{ij}dq^{i}dq^{j} }
</tex>
.. [*] よく見慣れているデカルト座標系では、微小長さ $ds$ ...
式 $(1)$ に出てくる $g_{ij}$ は *計量テンソル* で、次のよ...
<tex>
g_{ij}= \bm{e_{i}} \cdot \bm{e_{j}}
</tex>
ここまでは既に勉強した内容ですが、忘れてしまった人は 計量...
.. [*] 式 $(1)$ を満たす $g_{ij}$ で符号が正のものをリー...
微小面積と微小体積
------------------------------------------------------
また、 $dq^2 dq^3$ によって張られる微小面積は基底ベクトル...
.. image:: Joh-InfiniArea11.gif
.. [*] 曲線の微小部分を直線(図中の点線)で近似できるとい...
<tex>
d\sigma_{1} &= |\bm{e_{2}} \times \bm{e_{3}}| dq^2 dq^3 \\
&= \sqrt{(\bm{e_{2}} \times \bm{e_{3}})\cdot (\bm{e_{2}} ...
&= \sqrt{(\bm{e_{2}} \cdot \bm{e_{2}})(\bm{e_{3}} \cdot \...
&= \sqrt{g_{22}g_{33}-g_{23}^{2}}dq ^2 dq ^3 \tag{2}
</tex>
同様に、 $dq^3 dq^1$ や $dq^1 dq^2$ の張る微小面積は次の...
<tex>
\sigma_{2} = \sqrt{g_{33}g_{11}-g_{31}^{2}}dq ^3 dq ^1
</tex>
<tex>
\sigma_{3} = \sqrt{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}dq ^1 dq ^2
</tex>
既に $dq^1 dq^2 dq^3 $ の張る微小体積 $dV$ は 計量テンソ...
.. image:: Joh-InfiniVol1.gif
<tex>
dV = \sqrt{G} dq^1 dq^2 dq^3 \tag{3}
</tex>
<tex>
G = {\rm det}|g_{ij}|
</tex>
式 $(1)(2)(3)$ により、三次元の一般のアフィン座標系で、微...
補足:直交座標系の場合
-------------------------------------------------
直交座標では $g_{ij}$ のうち $i \ne j$ 成分が全て零になり...
<tex>
ds^2 = (h_{1}dq^1)^2 + (h_{2}dq^2)^2 + (h_{3}dq^3)^2 ...
</tex>
<tex>
d\sigma_{1} = h_{2}h_{3}dq^2 dq^3 \tag{5-1}
</tex>
<tex>
d\sigma_{2} = h_{3}h_{1}dq^3 dq^1 \tag{5-2}
</tex>
<tex>
d\sigma_{3} = h_{1}h_{2}dq^1 dq^2 \tag{5-3}
</tex>
<tex>
dV = h_{1}h_{2}h_{3} dq^1 dq^2 dq^3 \tag{6}
</tex>
実際の計算では直交座標系を利用することが多いと思いますの...
ヤコビアンとの関係
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
さきほど考えていた座標系 $q^1 q^2 q^3$ は、一般的な三次元...
<tex>
q^1 = q^1 (x_{1},x_{2},x_{3}) \tag{7-1}
</tex>
<tex>
q^2 = q^2 (x_{1},x_{2},x_{3}) \tag{7-2}
</tex>
<tex>
q^3 = q^3 (x_{1},x_{2},x_{3}) \tag{7-3}
</tex>
このとき、ヤコビ行列 $J$ は次のように定義されます。
<tex>
J =\frac{\partial q^{1},q^{2},q^{3}}{\partial (x_{1},x_{2...
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial q^1}{\partial x_{1}} & \frac{\partial q^1}...
\frac{\partial q^2}{\partial x_{1}} & \frac{\partial q^2}...
\frac{\partial q^3}{\partial x_{1}} & \frac{\partial q^3}...
\end{array}
\right)
</tex>
ヤコビアン $|J|$ はヤコビ行列の行列式として次のように書け...
<tex>
|J|= {\rm det}\left| \frac{\partial q^i}{\partial x_{j}} ...
</tex>
.. [*] ヤコビ行列そのものをヤコビアンと呼ぶ人もいれば、行...
逆に、 $x_{1},x_{2},x_{3}$ を $q^1 , q^2 , q^3$ の関数と...
<tex>
x_{1} = x_{1} (q^{1}, q^{2}, q^{3}) \tag{9-1}
</tex>
<tex>
x_{2} = x_{2} (q^{1}, q^{2}, q^{3}) \tag{9-2}
</tex>
<tex>
x_{3} = x_{3} (q^{1}, q^{2}, q^{3}) \tag{9-3}
</tex>
式 $(9)$ より、ヤコビアン $|J'|={\rm det}\left| \frac{\pa...
<tex>
|J'|=|J^{-1}|= {\rm det}\left| \frac{\partial x_{i}}{\par...
</tex>
.. [*] $q^{i}$ から $x_{j}$ 、 $x_{j}$ から $q^{i}$ と...
ヤコビアンは座標変換に関係する量ですから、いかにも計量テ...
<tex>
d\bm{r} &= \frac{\partial \bm{r}}{\partial q^{1}}dq^{1}+ ...
&= \frac{\partial \bm{r}}{\partial q^{i}}dq^{i}
</tex>
これより、次式が成り立ちます。
<tex>
ds^2 = d\bm{r} \cdot d\bm{r} = \frac{\partial \bm{r}}{\pa...
</tex>
一方、式 $(1)$ より $ds^2 = g_{ij}dq^{i}dq^{j}$ ですから...
<tex>
g_{ij} = \frac{\partial \bm{r}}{\partial q^{i}}\frac{\par...
</tex>
ここで $d\bm{r}=(dx_{1},dx_{2},dx_{3})$ を代入すれば、次...
<tex>
g_{ij} = \frac{\partial x_{k}}{\partial q^{i}}\frac{\part...
</tex>
蛇足ですが、定義より計量テンソルは $g_{ij}=\bm{e_{i}} \cd...
<tex>
\bm{e_{i}}=\frac{\partial \bm{r}}{\partial q^{i}}
</tex>
<tex>
\bm{e_{k}}=\frac{\partial \bm{r}}{\partial q^{k}}
</tex>
さて、ヤコビアン $J'= \left[ \frac{\partial x_{i}}{\parti...
少し考えてみると、次の関係式が分かると思います。 ${}^{t}{...
<tex>
[g_{ij}] &= {}^{t}{J'} J' \\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial x^1}{\partial q_{1}} & \frac{\partial x^2}...
\frac{\partial x^1}{\partial q_{2}} & \frac{\partial x^2}...
\frac{\partial x^1}{\partial q_{3}} & \frac{\partial x^2}...
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial x^1}{\partial q_{1}} & \frac{\partial x^1}...
\frac{\partial x^2}{\partial q_{1}} & \frac{\partial x^2}...
\frac{\partial x^3}{\partial q_{1}} & \frac{\partial x^3}...
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
\left( \frac{\partial x^1}{\partial q_{1}} \right)^2 +
\left( \frac{\partial x^2}{\partial q_{1}} \right)^2 +
\left( \frac{\partial x^3}{\partial q_{1}} \right)^2 &
\frac{\partial x^1}{\partial q_{1}}\frac{\partial x^1}{\p...
\frac{\partial x^2}{\partial q_{1}}\frac{\partial x^2}{\p...
\frac{\partial x^3}{\partial q_{1}}\frac{\partial x^3}{\p...
\frac{\partial x^1}{\partial q_{1}}\frac{\partial x^1}{\p...
\frac{\partial x^2}{\partial q_{1}}\frac{\partial x^2}{\p...
\frac{\partial x^3}{\partial q_{1}}\frac{\partial x^3}{\p...
\frac{\partial x^1}{\partial q_{2}}\frac{\partial x^1}{\p...
\frac{\partial x^2}{\partial q_{2}}\frac{\partial x^2}{\p...
\frac{\partial x^3}{\partial q_{2}}\frac{\partial x^3}{\p...
\left( \frac{\partial x^1}{\partial q_{2}} \right)^2 +
\left( \frac{\partial x^2}{\partial q_{2}} \right)^2 +
\left( \frac{\partial x^3}{\partial q_{3}} \right)^2 &
\frac{\partial x^1}{\partial q_{2}}\frac{\partial x^1}{\p...
\frac{\partial x^2}{\partial q_{2}}\frac{\partial x^2}{\p...
\frac{\partial x^3}{\partial q_{2}}\frac{\partial x^3}{\p...
\frac{\partial x^1}{\partial q_{3}}\frac{\partial x^1}{\p...
\frac{\partial x^2}{\partial q_{3}}\frac{\partial x^2}{\p...
\frac{\partial x^3}{\partial q_{3}}\frac{\partial x^3}{\p...
\frac{\partial x^1}{\partial q_{3}}\frac{\partial x^1}{\p...
\frac{\partial x^2}{\partial q_{3}}\frac{\partial x^2}{\p...
\frac{\partial x^3}{\partial q_{3}}\frac{\partial x^3}{\p...
\left( \frac{\partial x^1}{\partial q_{3}} \right)^2 +
\left( \frac{\partial x^2}{\partial q_{3}} \right)^2 +
\left( \frac{\partial x^3}{\partial q_{3}} \right)^2 \\
\end{array}
\right) \tag{11}
</tex>
右辺の係数を縮約を使ってまとめると、一般に次のように書け...
<tex>
g_{ij}= \frac{\partial x_k}{\partial q^{i}}\frac{\partia...
</tex>
式 $(12)$ と式 $(11)$ が等しいことを確認してください。
.. _球面三角形の角度: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
.. _計量テンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _直交座標系: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
@@author:Joh@@
@@accept: 2005-06-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: MetricTensorJacobian@@
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