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=========================================================...
計量テンソル
=========================================================...
ベクトル $\bm{A}=A^{k}\bm{e_{k}}=A_{k}\bm{e^{k}}$ の両辺...
<tex>
\bm{e_{i}}\cdot \bm{A}= A^{k}(\bm{e_{i}} \cdot \bm{e_{k}}...
</tex>
<tex>
\bm{e^{i}}\cdot \bm{A} = A_{k}(\bm{e^{i}} \cdot \bm{e^{k}...
</tex>
ここまでは単に両辺に内積を取ってみただけで、だからどうっ...
<tex>
\bm{e_{i}} \cdot \bm{e_{k}} = g_{ik}
</tex>
<tex>
\bm{e^{i}} \cdot \bm{e^{k}} = g^{ik}
</tex>
また、補足ですが、双対基底の内積はクロネッカーのデルタに...
さて、式 $(1)$ の左辺の $\bm{A}$ には $\bm{A}=A_{i}\bm{e^...
<tex>
A_{i} = g_{ik} A^{k} \tag{3}
</tex>
<tex>
A^{i} = g^{ik} A_{k} \tag{4}
</tex>
これはベクトルの共変成分と反変成分の、変換の式になってい...
<tex>
g_{ij}=
\left( \begin{array}{ccc}
g_{11} & g_{12} & g_{13} \\
g_{21} & g_{22} & g_{23} \\
g_{31} & g_{32} & g_{33} \\
\end{array}
\right)
</tex>
<tex>
g^{ij}=
\left( \begin{array}{ccc}
g^{11} & g^{12} & g^{13} \\
g^{21} & g^{22} & g^{23} \\
g^{31} & g^{32} & g^{33} \\
\end{array}
\right)
</tex>
<tex>
g_{i}^{j}=
\left( \begin{array}{ccc}
g_{1}^{1} & g_{1}^{2} & g_{1}^{3} \\
g_{2}^{1} & g_{2}^{2} & g_{2}^{3} \\
g_{3}^{1} & g_{3}^{2} & g_{3}^{3} \\
\end{array}
\right)=
\left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
</tex>
変換係数の意味
---------------------------------------------------------...
共変成分と反変成分の相互の変換を橋渡しする変換係数として...
いま、ベクトル $\bm{r}$ の長さが微小に変化したとします。...
微小ベクトルの長さ $ds$ は次式のように内積で定義されます...
<tex>
ds^2 &=d\bm{r}\cdot d\bm{r} \\
&= dx^{i} \bm{e_{i}} \cdot dx^{j} \bm{e_{j}} = g_{ij} dx...
&= dx_{i} \bm{e^{i}} \cdot dx_{j} \bm{e^{j}} = g^{ij} dx...
&= dx^{i} \bm{e_{i}} \cdot dx_{j} \bm{e^{j}} = g_{i}^{j}...
</tex>
この表式の二行目、三行目、四行目はそれぞれ $ds^2$ を意味...
このように、 $g_{ij}$ や $g^{ij}$ は図形の計量に関係する...
.. [*] テンソルの概念はまだ勉強していませんが、計量テンソ...
.. [*] 計量テンソルの意味は具体例を考えるともっと分かりや...
さらにもう一歩
---------------------------------------------------------...
計量テンソルとして、基底ベクトルに応じて $g_{ij}$ と $g^{...
ベクトル成分の変換式を、行列の形でもう一度考えて見ましょ...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
A^{1}\\
A^{2}\\
A^{3}\\
\end{array}
\right)
=
\left( \begin{array}{ccc}
g^{11} & g^{12} & g^{13} \\
g^{21} & g^{22} & g^{23} \\
g^{31} & g^{32} & g^{33} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
A_{1}\\
A_{2}\\
A_{3}\\
\end{array}
\right)
</tex>
線形代数の知識を少し使うと、 $A^{i}$ を次のように表わせる...
<tex>
A^{i} = \frac{G^{ik}A_{k}}{G} \tag{6}
</tex>
ただし、式中 $G$ は行列 $g^{ij}$ の行列式、 $G^{ik}$ は行...
<tex>
G={\rm det}|g^{ij}|=
\left| \begin{array}{ccc}
g^{11} & g^{12} & g^{13} \\
g^{21} & g^{22} & g^{23} \\
g^{31} & g^{32} & g^{33} \\
\end{array}
\right|
</tex>
<tex>
G^{11}= \left| \begin{array}{cc}
g^{22} & g^{23} \\
g^{32} & g^{33} \\
\end{array}
\right| , \ \ \
G^{12}=- \left| \begin{array}{cc}
g^{21} & g^{23} \\
g^{31} & g^{33} \\
\end{array}
\right| , \ \ \ etc.
</tex>
一方、先ほど式 $(4)$ で $A^{i} = g^{ik} A_{k}$ という関係...
<tex>
g^{ik} = \frac{G^{ik}}{G} \tag{7}
</tex>
まったく同様にして、共変ベクトルの計量テンソルの成分も次...
<tex>
g_{ik} = \frac{G_{ik}}{G'} \tag{8}
</tex>
ただし、 $G'=det|g_{ij}|= \left| \begin{array}{ccc} g_{11...
ところで、 双対基底_ の記事で得た $\bm{e^{1}}=\frac{ (\bm...
<tex>
g^{ij}&=\bm{e^{i}} \cdot \bm{e^{j}} \\
&=\frac{ (\bm{e_{p}}\times \bm{e_{q}}) }{\bm{e_{i}} \cdot...
\frac{ (\bm{e_{r}}\times \bm{e_{s}}) }{\bm{e_{j}} \cdot (...
& = \frac{1}{V^{2}}(\bm{e_{p}}\times \bm{e_{q}}) \cdot (\...
& = \frac{1}{V^{2}}((\bm{e_{p}}\times \bm{e_{q}}) \times ...
& = \frac{1}{V^{2}}[\bm{e_{q}}(\bm{e_{p}}\cdot \bm{e_{r}}...
& = \frac{1}{V^{2}}[(\bm{e_{p}} \cdot \bm{e_{r}})(\bm{e_{...
& = \frac{1}{V^{2}}
\left| \begin{array}{cc}
\bm{e_{p}} \cdot \bm{e_{r}} & \bm{e_{p}} \cdot \bm{e_{s}}...
\bm{e_{q}} \cdot \bm{e_{r}} & \bm{e_{q}} \cdot \bm{e_{s}}...
\end{array}
\right| \\
& = \frac{1}{V^{2}}
\left| \begin{array}{cc}
g_{pr} & g_{ps} \\
g_{qr} & g_{qs} \\
\end{array}
\right| \tag{9}
</tex>
色々、細かいテクニックを使って式変形をしましたが、最後は...
<tex>
G = V^{2} \tag{10}
</tex>
平方根を展開すると $V= \pm \sqrt{G}$ となりますが、この符...
同様にして、共変ベクトルの計量テンソルの成分に対しても次...
<tex>
G' = V'^{2}
</tex>
計量テンソルの表現行列には、意外と分かりやすい図形的意味...
<tex>
1&=\bm{e_{1}}\cdot \bm{e^{1}} \\
&=\frac{\bm{e^{2}} \times \bm{e^{3}}}{V'}\frac{\bm{e_{2}}...
&= \frac{1}{VV'} (\bm{e^{2}} \times \bm{e^{3}})\cdot (\bm...
&= \frac{1}{VV'} [(\bm{e^{2}} \cdot \bm{e_{2}})(\bm{e^{3}...
&= \frac{1}{VV'}
</tex>
これより、 $VV'=1$ の関係は座標系に関わらず常になりたつこ...
.. _ベクトル成分の座標変換: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _ベクトル演算子の座標変換: http://www12.plala.or.jp/ks...
.. _三重積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/T...
.. _直交座標系: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _双対基底: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _内積空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _計量テンソルとヤコビアン: http://www12.plala.or.jp/ks...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: MetricTensor@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
計量テンソル
=========================================================...
ベクトル $\bm{A}=A^{k}\bm{e_{k}}=A_{k}\bm{e^{k}}$ の両辺...
<tex>
\bm{e_{i}}\cdot \bm{A}= A^{k}(\bm{e_{i}} \cdot \bm{e_{k}}...
</tex>
<tex>
\bm{e^{i}}\cdot \bm{A} = A_{k}(\bm{e^{i}} \cdot \bm{e^{k}...
</tex>
ここまでは単に両辺に内積を取ってみただけで、だからどうっ...
<tex>
\bm{e_{i}} \cdot \bm{e_{k}} = g_{ik}
</tex>
<tex>
\bm{e^{i}} \cdot \bm{e^{k}} = g^{ik}
</tex>
また、補足ですが、双対基底の内積はクロネッカーのデルタに...
さて、式 $(1)$ の左辺の $\bm{A}$ には $\bm{A}=A_{i}\bm{e^...
<tex>
A_{i} = g_{ik} A^{k} \tag{3}
</tex>
<tex>
A^{i} = g^{ik} A_{k} \tag{4}
</tex>
これはベクトルの共変成分と反変成分の、変換の式になってい...
<tex>
g_{ij}=
\left( \begin{array}{ccc}
g_{11} & g_{12} & g_{13} \\
g_{21} & g_{22} & g_{23} \\
g_{31} & g_{32} & g_{33} \\
\end{array}
\right)
</tex>
<tex>
g^{ij}=
\left( \begin{array}{ccc}
g^{11} & g^{12} & g^{13} \\
g^{21} & g^{22} & g^{23} \\
g^{31} & g^{32} & g^{33} \\
\end{array}
\right)
</tex>
<tex>
g_{i}^{j}=
\left( \begin{array}{ccc}
g_{1}^{1} & g_{1}^{2} & g_{1}^{3} \\
g_{2}^{1} & g_{2}^{2} & g_{2}^{3} \\
g_{3}^{1} & g_{3}^{2} & g_{3}^{3} \\
\end{array}
\right)=
\left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
</tex>
変換係数の意味
---------------------------------------------------------...
共変成分と反変成分の相互の変換を橋渡しする変換係数として...
いま、ベクトル $\bm{r}$ の長さが微小に変化したとします。...
微小ベクトルの長さ $ds$ は次式のように内積で定義されます...
<tex>
ds^2 &=d\bm{r}\cdot d\bm{r} \\
&= dx^{i} \bm{e_{i}} \cdot dx^{j} \bm{e_{j}} = g_{ij} dx...
&= dx_{i} \bm{e^{i}} \cdot dx_{j} \bm{e^{j}} = g^{ij} dx...
&= dx^{i} \bm{e_{i}} \cdot dx_{j} \bm{e^{j}} = g_{i}^{j}...
</tex>
この表式の二行目、三行目、四行目はそれぞれ $ds^2$ を意味...
このように、 $g_{ij}$ や $g^{ij}$ は図形の計量に関係する...
.. [*] テンソルの概念はまだ勉強していませんが、計量テンソ...
.. [*] 計量テンソルの意味は具体例を考えるともっと分かりや...
さらにもう一歩
---------------------------------------------------------...
計量テンソルとして、基底ベクトルに応じて $g_{ij}$ と $g^{...
ベクトル成分の変換式を、行列の形でもう一度考えて見ましょ...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
A^{1}\\
A^{2}\\
A^{3}\\
\end{array}
\right)
=
\left( \begin{array}{ccc}
g^{11} & g^{12} & g^{13} \\
g^{21} & g^{22} & g^{23} \\
g^{31} & g^{32} & g^{33} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
A_{1}\\
A_{2}\\
A_{3}\\
\end{array}
\right)
</tex>
線形代数の知識を少し使うと、 $A^{i}$ を次のように表わせる...
<tex>
A^{i} = \frac{G^{ik}A_{k}}{G} \tag{6}
</tex>
ただし、式中 $G$ は行列 $g^{ij}$ の行列式、 $G^{ik}$ は行...
<tex>
G={\rm det}|g^{ij}|=
\left| \begin{array}{ccc}
g^{11} & g^{12} & g^{13} \\
g^{21} & g^{22} & g^{23} \\
g^{31} & g^{32} & g^{33} \\
\end{array}
\right|
</tex>
<tex>
G^{11}= \left| \begin{array}{cc}
g^{22} & g^{23} \\
g^{32} & g^{33} \\
\end{array}
\right| , \ \ \
G^{12}=- \left| \begin{array}{cc}
g^{21} & g^{23} \\
g^{31} & g^{33} \\
\end{array}
\right| , \ \ \ etc.
</tex>
一方、先ほど式 $(4)$ で $A^{i} = g^{ik} A_{k}$ という関係...
<tex>
g^{ik} = \frac{G^{ik}}{G} \tag{7}
</tex>
まったく同様にして、共変ベクトルの計量テンソルの成分も次...
<tex>
g_{ik} = \frac{G_{ik}}{G'} \tag{8}
</tex>
ただし、 $G'=det|g_{ij}|= \left| \begin{array}{ccc} g_{11...
ところで、 双対基底_ の記事で得た $\bm{e^{1}}=\frac{ (\bm...
<tex>
g^{ij}&=\bm{e^{i}} \cdot \bm{e^{j}} \\
&=\frac{ (\bm{e_{p}}\times \bm{e_{q}}) }{\bm{e_{i}} \cdot...
\frac{ (\bm{e_{r}}\times \bm{e_{s}}) }{\bm{e_{j}} \cdot (...
& = \frac{1}{V^{2}}(\bm{e_{p}}\times \bm{e_{q}}) \cdot (\...
& = \frac{1}{V^{2}}((\bm{e_{p}}\times \bm{e_{q}}) \times ...
& = \frac{1}{V^{2}}[\bm{e_{q}}(\bm{e_{p}}\cdot \bm{e_{r}}...
& = \frac{1}{V^{2}}[(\bm{e_{p}} \cdot \bm{e_{r}})(\bm{e_{...
& = \frac{1}{V^{2}}
\left| \begin{array}{cc}
\bm{e_{p}} \cdot \bm{e_{r}} & \bm{e_{p}} \cdot \bm{e_{s}}...
\bm{e_{q}} \cdot \bm{e_{r}} & \bm{e_{q}} \cdot \bm{e_{s}}...
\end{array}
\right| \\
& = \frac{1}{V^{2}}
\left| \begin{array}{cc}
g_{pr} & g_{ps} \\
g_{qr} & g_{qs} \\
\end{array}
\right| \tag{9}
</tex>
色々、細かいテクニックを使って式変形をしましたが、最後は...
<tex>
G = V^{2} \tag{10}
</tex>
平方根を展開すると $V= \pm \sqrt{G}$ となりますが、この符...
同様にして、共変ベクトルの計量テンソルの成分に対しても次...
<tex>
G' = V'^{2}
</tex>
計量テンソルの表現行列には、意外と分かりやすい図形的意味...
<tex>
1&=\bm{e_{1}}\cdot \bm{e^{1}} \\
&=\frac{\bm{e^{2}} \times \bm{e^{3}}}{V'}\frac{\bm{e_{2}}...
&= \frac{1}{VV'} (\bm{e^{2}} \times \bm{e^{3}})\cdot (\bm...
&= \frac{1}{VV'} [(\bm{e^{2}} \cdot \bm{e_{2}})(\bm{e^{3}...
&= \frac{1}{VV'}
</tex>
これより、 $VV'=1$ の関係は座標系に関わらず常になりたつこ...
.. _ベクトル成分の座標変換: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _ベクトル演算子の座標変換: http://www12.plala.or.jp/ks...
.. _三重積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/T...
.. _直交座標系: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _双対基底: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _内積空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _計量テンソルとヤコビアン: http://www12.plala.or.jp/ks...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: MetricTensor@@
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