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=========================================
曲率と曲率半径
=========================================
曲線が曲がっているとき、その局所的な曲がり具合を円に近似...
読者の多くの方が、微積分の勉強で、曲線の微小部分を接線で...
もう少し曲がり具合を表現しようと頑張ってみたのが、曲がり...
曲率と曲率半径
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
まず、曲線の微小部分 $\overline{MN}$ の長さを $\Delta s$ ...
.. figure:: Joh-Curvature01.gif
図1:曲線の微小部分。
もしも、 $\overline{MN}=\Delta s$ が円弧だとすれば、円の...
<tex>
R = \frac{\Delta s}{\Delta \alpha} \tag{1}
</tex>
.. figure:: Joh-Curvature02.gif
図2:円弧の場合。
図 $1$ の曲線の微小部分は、本当は円弧ではありませんが、十...
<tex>
R & = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta ...
& = \frac{ds}{d\alpha } \tag{2}
</tex>
式 $(2)$ は、先ほどの円弧における、弧長、中心角、半径の関...
曲率半径
---------------------------------------------------------...
関数 $y=f(x)$ の形で表わされる曲線の曲率半径と曲率を求め...
<tex>
ds = \sqrt{dx^2 +dy^2} = \sqrt{1+ \left( \frac{dy}{dx} \r...
</tex>
次に分母の $d\alpha$ を求めてみましょう。図 $1$ の点 $M$ ...
<tex>
\frac{dy}{dx} + \frac{d^2 y}{dx^2} dx
& = \tan (\alpha + d\alpha ) \\
&= \frac{\tan \alpha + \tan d\alpha}{1- \tan \alpha \tan ...
& \simeq \frac{\tan \alpha + d\alpha}{1- \tan \alpha d\al...
& = \frac{\frac{dy}{dx} + d\alpha}{1- \frac{dy}{dx} d\alp...
</tex>
途中、 $d\alpha << 1$ より $\tan d\alpha \simeq d\alpha$ ...
<tex>
d\alpha = \frac{\frac{d^2 y}{dx^2}}{1+\left( \frac{dy}{dx...
</tex>
式 $(2)(3)(5)$ より次式を得ます。
<tex>
R & = \frac{ds}{d\alpha } \\
& = \frac{\left( 1+\left( \frac{dy}{dx} \right) ...
</tex>
式 $(6)$ が、曲線が陽関数 $y=y(x)$ で表わされる場合に、曲...
【陰関数表示の場合】
<tex>
F(x,y)=0
</tex>
<tex>
R = \frac{\left( F_{x}^{2} + F_{y}^{2} \right)^{\frac{3...
\begin{array}{ccc}
F_{xx} & F_{xy} & F_{x} \\
F_{yx} & F_{yy} & F_{y} \\
F_{x} & F_{y} & 0 \\
\end{array}
\right| } \tag{7}
</tex>
ただし、添字の $x$ や $y$ は $F$ の偏微分を表わしているも...
【パラメーター表示の場合】
<tex>
x=x(t), \ y=y(t)
</tex>
<tex>
R = \frac{\left( {x'}^{2} + {y'}^{2} \right)^{\frac{3}{2...
{\left|
\begin{array}{cc}
x' & y' \\
x'' & y'' \\
\end{array}
\right| } \tag{8}
</tex>
ダッシュは、 $t$ による微分を表わすものとします。
【極座標表示の場合】
<tex>
r=f(\theta )
</tex>
<tex>
R = \frac{\left( {r}^{2} + {r'}^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}
{ r^{2} + 2{r'}^{2} + rr'' } \tag{9}
</tex>
円の方程式、 $x^2 + y^2 =r^2 , \ y = \pm \sqrt{r^2 - x^2}...
曲率
---------------------------------------------------------...
曲率 $\kappa$ は曲率半径の逆数として定義されます。
<tex>
\kappa = \frac{1}{R} \tag{10}
</tex>
また、フレネ=セレの式に出てきた $\kappa$ は $\bm{e'_{1}}...
<tex>
\frac{d}{ds} \left( \bm{r}(s)+\frac{1}{\kappa}\bm{e_{2}} ...
= \bm{e_{1}}(s) + \frac{1}{\kappa}
(-\kappa \bm{e_{1}})
=\bm{0}
</tex>
この式は、点 $\bm{r}(s)+\frac{1}{\kappa}\bm{e_{2}}$ が定...
接ベクトル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
すでに `フレネ=セレの式`_ で勉強したように、曲率は、曲線...
<tex>
\kappa = |\bm{e_{1}}'(s)| \tag{11}
</tex>
主法線を使えば、次の関係式が言えます。
<tex>
\bm{e_{1}}'(s) = \kappa \bm{e_{2}}(s) = \frac{1}{R} \bm...
</tex>
もしくは、フレネ=セレの式の最初の二行二列を取って、次の...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
\bm{e_{1}}'(s) \\
\bm{e_{2}}'(s) \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
0 & \kappa \\
-\kappa & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\bm{e_{1}}(s) \\
\bm{e_{2}}(s) \\
\end{array}
\right) \tag{13}
</tex>
曲率とは呼んで名の如く、曲線の曲がり具合を表わすパラメー...
<tex>
\bm{r}(s) = (as+c,bs+d)
</tex>
これは $s$ をパラメーターとする直線の方程式ですね。(ただ...
曲線の方程式 $\bm{r}(s)$ を次のように級数展開すると、曲率...
<tex>
\bm{r}(s) = \bm{r}(s_{0}) + \bm{r'}(s_{0})(s-s_{0}) + \fr...
</tex>
ここに、 $\bm{r'}(s)=\bm{e_{1}}(s), \ \bm{r''}(s)=\bm{e'_...
<tex>
\bm{r}(s) = \bm{r}(s_{0}) + \bm{e_{1}}(s_{0})(s-s_{0}) + ...
</tex>
曲率は式 $(14)$ で三次以上の項を切り捨てた場合の、二次の...
練習問題
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
当然のことですが、半径 $R$ の円の曲率半径が $R$ 、曲率が ...
<tex>
x(\theta )=r\cos \theta
</tex>
<tex>
y(\theta )=r\sin \theta
</tex>
変位 $s$ と $r,\theta$ の間には $s=r\theta$ の関係があり...
<tex>
x(s )=r\cos \frac{s}{r} \tag{15}
</tex>
<tex>
y(s )=r\sin \frac{s}{r} \tag{16}
</tex>
定義より、接線ベクトル $\bm{e_{1}}(s)$ は式 $(1)(2)$ を用...
<tex>
\bm{e_{1}}(s)&= \frac{d\bm{r}(s)}{ds} \\
&=(\frac{dx(s)}{ds},\frac{dy(s)}{ds}) \\
&= (-\sin \frac{s}{r} ,\cos \frac{s}{r} )
</tex>
<tex>
\bm{e_{2}}(s) &=\frac{1}{\kappa} \frac{d\bm{e_{1}}(s)}{ds...
&= (-\frac{1}{r\kappa}\cos \frac{s}{r} , \frac{1}{r\kapp...
\tag{17}
</tex>
式 $(17)$ で $|\bm{e_{2}}(s) |=1$ とおけば、 $\kappa = \f...
.. _`フレネ=セレの式`: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
.. _リンク:
.. _ガウスの表示: http://www12.plala.or.jp/ksp/differenti...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: Curvature@@
終了行:
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曲率と曲率半径
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曲線が曲がっているとき、その局所的な曲がり具合を円に近似...
読者の多くの方が、微積分の勉強で、曲線の微小部分を接線で...
もう少し曲がり具合を表現しようと頑張ってみたのが、曲がり...
曲率と曲率半径
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
まず、曲線の微小部分 $\overline{MN}$ の長さを $\Delta s$ ...
.. figure:: Joh-Curvature01.gif
図1:曲線の微小部分。
もしも、 $\overline{MN}=\Delta s$ が円弧だとすれば、円の...
<tex>
R = \frac{\Delta s}{\Delta \alpha} \tag{1}
</tex>
.. figure:: Joh-Curvature02.gif
図2:円弧の場合。
図 $1$ の曲線の微小部分は、本当は円弧ではありませんが、十...
<tex>
R & = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta ...
& = \frac{ds}{d\alpha } \tag{2}
</tex>
式 $(2)$ は、先ほどの円弧における、弧長、中心角、半径の関...
曲率半径
---------------------------------------------------------...
関数 $y=f(x)$ の形で表わされる曲線の曲率半径と曲率を求め...
<tex>
ds = \sqrt{dx^2 +dy^2} = \sqrt{1+ \left( \frac{dy}{dx} \r...
</tex>
次に分母の $d\alpha$ を求めてみましょう。図 $1$ の点 $M$ ...
<tex>
\frac{dy}{dx} + \frac{d^2 y}{dx^2} dx
& = \tan (\alpha + d\alpha ) \\
&= \frac{\tan \alpha + \tan d\alpha}{1- \tan \alpha \tan ...
& \simeq \frac{\tan \alpha + d\alpha}{1- \tan \alpha d\al...
& = \frac{\frac{dy}{dx} + d\alpha}{1- \frac{dy}{dx} d\alp...
</tex>
途中、 $d\alpha << 1$ より $\tan d\alpha \simeq d\alpha$ ...
<tex>
d\alpha = \frac{\frac{d^2 y}{dx^2}}{1+\left( \frac{dy}{dx...
</tex>
式 $(2)(3)(5)$ より次式を得ます。
<tex>
R & = \frac{ds}{d\alpha } \\
& = \frac{\left( 1+\left( \frac{dy}{dx} \right) ...
</tex>
式 $(6)$ が、曲線が陽関数 $y=y(x)$ で表わされる場合に、曲...
【陰関数表示の場合】
<tex>
F(x,y)=0
</tex>
<tex>
R = \frac{\left( F_{x}^{2} + F_{y}^{2} \right)^{\frac{3...
\begin{array}{ccc}
F_{xx} & F_{xy} & F_{x} \\
F_{yx} & F_{yy} & F_{y} \\
F_{x} & F_{y} & 0 \\
\end{array}
\right| } \tag{7}
</tex>
ただし、添字の $x$ や $y$ は $F$ の偏微分を表わしているも...
【パラメーター表示の場合】
<tex>
x=x(t), \ y=y(t)
</tex>
<tex>
R = \frac{\left( {x'}^{2} + {y'}^{2} \right)^{\frac{3}{2...
{\left|
\begin{array}{cc}
x' & y' \\
x'' & y'' \\
\end{array}
\right| } \tag{8}
</tex>
ダッシュは、 $t$ による微分を表わすものとします。
【極座標表示の場合】
<tex>
r=f(\theta )
</tex>
<tex>
R = \frac{\left( {r}^{2} + {r'}^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}
{ r^{2} + 2{r'}^{2} + rr'' } \tag{9}
</tex>
円の方程式、 $x^2 + y^2 =r^2 , \ y = \pm \sqrt{r^2 - x^2}...
曲率
---------------------------------------------------------...
曲率 $\kappa$ は曲率半径の逆数として定義されます。
<tex>
\kappa = \frac{1}{R} \tag{10}
</tex>
また、フレネ=セレの式に出てきた $\kappa$ は $\bm{e'_{1}}...
<tex>
\frac{d}{ds} \left( \bm{r}(s)+\frac{1}{\kappa}\bm{e_{2}} ...
= \bm{e_{1}}(s) + \frac{1}{\kappa}
(-\kappa \bm{e_{1}})
=\bm{0}
</tex>
この式は、点 $\bm{r}(s)+\frac{1}{\kappa}\bm{e_{2}}$ が定...
接ベクトル
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すでに `フレネ=セレの式`_ で勉強したように、曲率は、曲線...
<tex>
\kappa = |\bm{e_{1}}'(s)| \tag{11}
</tex>
主法線を使えば、次の関係式が言えます。
<tex>
\bm{e_{1}}'(s) = \kappa \bm{e_{2}}(s) = \frac{1}{R} \bm...
</tex>
もしくは、フレネ=セレの式の最初の二行二列を取って、次の...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
\bm{e_{1}}'(s) \\
\bm{e_{2}}'(s) \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
0 & \kappa \\
-\kappa & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\bm{e_{1}}(s) \\
\bm{e_{2}}(s) \\
\end{array}
\right) \tag{13}
</tex>
曲率とは呼んで名の如く、曲線の曲がり具合を表わすパラメー...
<tex>
\bm{r}(s) = (as+c,bs+d)
</tex>
これは $s$ をパラメーターとする直線の方程式ですね。(ただ...
曲線の方程式 $\bm{r}(s)$ を次のように級数展開すると、曲率...
<tex>
\bm{r}(s) = \bm{r}(s_{0}) + \bm{r'}(s_{0})(s-s_{0}) + \fr...
</tex>
ここに、 $\bm{r'}(s)=\bm{e_{1}}(s), \ \bm{r''}(s)=\bm{e'_...
<tex>
\bm{r}(s) = \bm{r}(s_{0}) + \bm{e_{1}}(s_{0})(s-s_{0}) + ...
</tex>
曲率は式 $(14)$ で三次以上の項を切り捨てた場合の、二次の...
練習問題
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
当然のことですが、半径 $R$ の円の曲率半径が $R$ 、曲率が ...
<tex>
x(\theta )=r\cos \theta
</tex>
<tex>
y(\theta )=r\sin \theta
</tex>
変位 $s$ と $r,\theta$ の間には $s=r\theta$ の関係があり...
<tex>
x(s )=r\cos \frac{s}{r} \tag{15}
</tex>
<tex>
y(s )=r\sin \frac{s}{r} \tag{16}
</tex>
定義より、接線ベクトル $\bm{e_{1}}(s)$ は式 $(1)(2)$ を用...
<tex>
\bm{e_{1}}(s)&= \frac{d\bm{r}(s)}{ds} \\
&=(\frac{dx(s)}{ds},\frac{dy(s)}{ds}) \\
&= (-\sin \frac{s}{r} ,\cos \frac{s}{r} )
</tex>
<tex>
\bm{e_{2}}(s) &=\frac{1}{\kappa} \frac{d\bm{e_{1}}(s)}{ds...
&= (-\frac{1}{r\kappa}\cos \frac{s}{r} , \frac{1}{r\kapp...
\tag{17}
</tex>
式 $(17)$ で $|\bm{e_{2}}(s) |=1$ とおけば、 $\kappa = \f...
.. _`フレネ=セレの式`: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
.. _リンク:
.. _ガウスの表示: http://www12.plala.or.jp/ksp/differenti...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
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@@id: Curvature@@
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