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=========================================================...
共役な物理量とポアソン括弧
=========================================================...
この記事では、通常
<tex>
\left[ A , B \right] = \dfrac{\partial A}{\partial q} \df...
\tag{##}
</tex>
で定義されるポアソン括弧について考えることで、共役な変数...
古典力学です。解析力学では一般的な共役な物理量と言うと、 ...
復習(q,pに対するポアソン括弧)
===============================
まずは、 $q,p$ を基にしたポアソン括弧を区別する為、
<tex>
\left[ A , B \right]_{q,p} \equiv \dfrac{\partial A}{\par...
\tag{##}
</tex>
と書くことにします。ある物理量 $X$ と変数 $q$ or $p$ のど...
<tex>
\left[ q , X \right]_{q,p}
&= \dfrac{\partial q}{\partial q} \dfrac{\partial X}{\par...
\tag{##}
</tex>
<tex>
\left[ p , X \right]_{q,p}
&= \dfrac{\partial p}{\partial q} \dfrac{\partial X}{\par...
\tag{##}
</tex>
実験(t,Eに対するポアソン括弧)
===============================
ここで、共役な変数として有名な時間 $t$ とエネルギー $E$ ...
<tex>
\left[ q , E \right]_{t,E}
&= \dfrac{\partial q}{\partial t} \dfrac{\partial E}{\par...
&= \dfrac{\partial (vt)}{\partial t} \dfrac{\partial E}{\...
&= v \cdot 1 - 0 \\
&= \dfrac{p}{m} \\
&= \dfrac{\partial \dfrac{p^2}{2m}}{\partial p} \\
&= \left[ q , E \right]_{q,p}
\tag{##}
</tex>
おや、これは偶然でしょうか?
調和振動子の時( $A=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{k}{2}q^2$ )もや...
解の一つは、 $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ として、 $q =...
<tex>
\left[ \dfrac{p^2}{2m} + \dfrac{k}{2}q^2 , pq \right]_{q,...
&= \dfrac{\partial (p^2/2m + kq^2/2)}{\partial q} \dfrac{...
&= kq \cdot q - \dfrac{p}{m} \cdot p \\
&= -\dfrac{p^2}{m} + kq^2 \\
&= -m \omega^2 C^2 \sin^2 (\omega t) + k C^2 \cos (\omega...
&= k C^2 \cos (2 \omega t)
\tag{##}
</tex>
です。一方、 $t,E$ のポアソン括弧は( $E$ は運動の定数なの...
<tex>
\left[ \dfrac{p^2}{2m} + \dfrac{k}{2}q^2 , pq \right]_{t,...
&= \dfrac{\partial E}{\partial t} \dfrac{\partial (pq)}{\...
&= 0 \cdot ? - 1 \cdot \dfrac{\partial (-m \omega C^2 \si...
&= \dfrac{\partial (\dfrac{m}{2} \omega C^2 \sin 2 \omega...
&= m \omega^2 C^2 \cos (2 \omega t) \\
&= k C^2 \cos (2 \omega t) \\
&= \left[ \dfrac{p^2}{2m} + \dfrac{k}{2}q^2 , pq \right]_...
\tag{##}
</tex>
なるほど、一致しましたね。これは偶然ではなさそうです。
q,pの括弧とt,Eの括弧が同じ値を取ることの証明
================================================
個々の例に囚われていてはいけません。ある程度一般化して考...
<tex>
A &= A(q,p) = A(t,E) \\
B &= B(q,p) = B(t,E)
\tag{##}
</tex>
と置いて計算してみましょう!
<tex>
\dfrac{\partial}{\partial t} &= \dfrac{\partial q}{\parti...
\dfrac{\partial}{\partial E} &= \dfrac{\partial q}{\parti...
</tex>
ポアソン括弧 $t,E$ を計算すると、
<tex>
\left[ A, B \right]_{t,E}
&= \dfrac{\partial A}{\partial t} \dfrac{\partial B}{\pa...
&= \left( \dfrac{\partial A}{\partial q} \dfrac{\partial...
&- \left( \dfrac{\partial A}{\partial q} \dfrac{\partial...
&= \dfrac{\partial A}{\partial q} \dfrac{\partial B}{\par...
&+ \dfrac{\partial A}{\partial q} \dfrac{\partial B}{\par...
&- \dfrac{\partial A}{\partial p} \dfrac{\partial B}{\par...
&+ \dfrac{\partial A}{\partial q} \dfrac{\partial B}{\par...
&= \left( \dfrac{\partial A}{\partial q} \dfrac{\partial ...
&= \left[ A, B \right]_{q,p} \cdot \left[ q, p \right]_{t...
</tex>
よって、
<tex>
\left[ A, B \right]_{t,E} = \left[ A, B \right]_{q,p} \ta...
</tex>
を満たすには、
<tex>
\left[ q, p \right]_{t,E} = 1 \tag{##}
</tex>
が成立していなければなりません。
最後の仕上げ
==============
<tex>
\left[ q, p \right]_{t,E} = 1 \tag{##}
</tex>
を示します。今、ハミルトニアンは $H=E$ とします。記号こそ...
一応、 $E$ の $t$ 依存性を考慮しておくと、
<tex>
\dfrac{dq}{dt} \ \ \ &= \dfrac{\partial H }{\partial p} \...
\dfrac{dp}{dt} \ \ \ &= -\dfrac{\partial H }{\partial q} ...
\tag{##}
</tex>
より、
<tex>
\dfrac{\partial q }{\partial t} &= \dfrac{dq}{dt} - \dfra...
\dfrac{\partial p }{\partial t} &= \dfrac{dp}{dt} - \dfra...
\tag{##}
</tex>
ですから、
<tex>
\left[ q, p \right]_{t,E}
&= \dfrac{\partial q}{\partial t} \dfrac{\partial p}{\par...
&= \left( \dfrac{dq}{dt} - \dfrac{\partial q}{\partial E}...
&= \dfrac{dq}{dt} \dfrac{\partial p}{\partial E} - \dfrac...
&= \dfrac{\partial H }{\partial p} \dfrac{\partial p}{\pa...
&= \dfrac{\partial H }{\partial E} \\
&= 1 \ \ \ (\because H=E)
\tag{##}
</tex>
ふう、証明できました。ここで、共役な変数とは、最初に一対 ...
ちなみに、僕が気になっていることを話しておくと、電荷 $Q[C...
今日はここまで、お疲れさまでした!
@@reference: 大貫義郎,物理テキストシリーズ2 解析力学,岩波...
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-09-15@@
@@category:解析力学@@
@@id:poissonBracketOfEt@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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共役な物理量とポアソン括弧
=========================================================...
この記事では、通常
<tex>
\left[ A , B \right] = \dfrac{\partial A}{\partial q} \df...
\tag{##}
</tex>
で定義されるポアソン括弧について考えることで、共役な変数...
古典力学です。解析力学では一般的な共役な物理量と言うと、 ...
復習(q,pに対するポアソン括弧)
===============================
まずは、 $q,p$ を基にしたポアソン括弧を区別する為、
<tex>
\left[ A , B \right]_{q,p} \equiv \dfrac{\partial A}{\par...
\tag{##}
</tex>
と書くことにします。ある物理量 $X$ と変数 $q$ or $p$ のど...
<tex>
\left[ q , X \right]_{q,p}
&= \dfrac{\partial q}{\partial q} \dfrac{\partial X}{\par...
\tag{##}
</tex>
<tex>
\left[ p , X \right]_{q,p}
&= \dfrac{\partial p}{\partial q} \dfrac{\partial X}{\par...
\tag{##}
</tex>
実験(t,Eに対するポアソン括弧)
===============================
ここで、共役な変数として有名な時間 $t$ とエネルギー $E$ ...
<tex>
\left[ q , E \right]_{t,E}
&= \dfrac{\partial q}{\partial t} \dfrac{\partial E}{\par...
&= \dfrac{\partial (vt)}{\partial t} \dfrac{\partial E}{\...
&= v \cdot 1 - 0 \\
&= \dfrac{p}{m} \\
&= \dfrac{\partial \dfrac{p^2}{2m}}{\partial p} \\
&= \left[ q , E \right]_{q,p}
\tag{##}
</tex>
おや、これは偶然でしょうか?
調和振動子の時( $A=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{k}{2}q^2$ )もや...
解の一つは、 $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ として、 $q =...
<tex>
\left[ \dfrac{p^2}{2m} + \dfrac{k}{2}q^2 , pq \right]_{q,...
&= \dfrac{\partial (p^2/2m + kq^2/2)}{\partial q} \dfrac{...
&= kq \cdot q - \dfrac{p}{m} \cdot p \\
&= -\dfrac{p^2}{m} + kq^2 \\
&= -m \omega^2 C^2 \sin^2 (\omega t) + k C^2 \cos (\omega...
&= k C^2 \cos (2 \omega t)
\tag{##}
</tex>
です。一方、 $t,E$ のポアソン括弧は( $E$ は運動の定数なの...
<tex>
\left[ \dfrac{p^2}{2m} + \dfrac{k}{2}q^2 , pq \right]_{t,...
&= \dfrac{\partial E}{\partial t} \dfrac{\partial (pq)}{\...
&= 0 \cdot ? - 1 \cdot \dfrac{\partial (-m \omega C^2 \si...
&= \dfrac{\partial (\dfrac{m}{2} \omega C^2 \sin 2 \omega...
&= m \omega^2 C^2 \cos (2 \omega t) \\
&= k C^2 \cos (2 \omega t) \\
&= \left[ \dfrac{p^2}{2m} + \dfrac{k}{2}q^2 , pq \right]_...
\tag{##}
</tex>
なるほど、一致しましたね。これは偶然ではなさそうです。
q,pの括弧とt,Eの括弧が同じ値を取ることの証明
================================================
個々の例に囚われていてはいけません。ある程度一般化して考...
<tex>
A &= A(q,p) = A(t,E) \\
B &= B(q,p) = B(t,E)
\tag{##}
</tex>
と置いて計算してみましょう!
<tex>
\dfrac{\partial}{\partial t} &= \dfrac{\partial q}{\parti...
\dfrac{\partial}{\partial E} &= \dfrac{\partial q}{\parti...
</tex>
ポアソン括弧 $t,E$ を計算すると、
<tex>
\left[ A, B \right]_{t,E}
&= \dfrac{\partial A}{\partial t} \dfrac{\partial B}{\pa...
&= \left( \dfrac{\partial A}{\partial q} \dfrac{\partial...
&- \left( \dfrac{\partial A}{\partial q} \dfrac{\partial...
&= \dfrac{\partial A}{\partial q} \dfrac{\partial B}{\par...
&+ \dfrac{\partial A}{\partial q} \dfrac{\partial B}{\par...
&- \dfrac{\partial A}{\partial p} \dfrac{\partial B}{\par...
&+ \dfrac{\partial A}{\partial q} \dfrac{\partial B}{\par...
&= \left( \dfrac{\partial A}{\partial q} \dfrac{\partial ...
&= \left[ A, B \right]_{q,p} \cdot \left[ q, p \right]_{t...
</tex>
よって、
<tex>
\left[ A, B \right]_{t,E} = \left[ A, B \right]_{q,p} \ta...
</tex>
を満たすには、
<tex>
\left[ q, p \right]_{t,E} = 1 \tag{##}
</tex>
が成立していなければなりません。
最後の仕上げ
==============
<tex>
\left[ q, p \right]_{t,E} = 1 \tag{##}
</tex>
を示します。今、ハミルトニアンは $H=E$ とします。記号こそ...
一応、 $E$ の $t$ 依存性を考慮しておくと、
<tex>
\dfrac{dq}{dt} \ \ \ &= \dfrac{\partial H }{\partial p} \...
\dfrac{dp}{dt} \ \ \ &= -\dfrac{\partial H }{\partial q} ...
\tag{##}
</tex>
より、
<tex>
\dfrac{\partial q }{\partial t} &= \dfrac{dq}{dt} - \dfra...
\dfrac{\partial p }{\partial t} &= \dfrac{dp}{dt} - \dfra...
\tag{##}
</tex>
ですから、
<tex>
\left[ q, p \right]_{t,E}
&= \dfrac{\partial q}{\partial t} \dfrac{\partial p}{\par...
&= \left( \dfrac{dq}{dt} - \dfrac{\partial q}{\partial E}...
&= \dfrac{dq}{dt} \dfrac{\partial p}{\partial E} - \dfrac...
&= \dfrac{\partial H }{\partial p} \dfrac{\partial p}{\pa...
&= \dfrac{\partial H }{\partial E} \\
&= 1 \ \ \ (\because H=E)
\tag{##}
</tex>
ふう、証明できました。ここで、共役な変数とは、最初に一対 ...
ちなみに、僕が気になっていることを話しておくと、電荷 $Q[C...
今日はここまで、お疲れさまでした!
@@reference: 大貫義郎,物理テキストシリーズ2 解析力学,岩波...
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-09-15@@
@@category:解析力学@@
@@id:poissonBracketOfEt@@
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