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球面三角形の角度
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今までに勉強した内容を使って、球面上に描かれた三角形の角...
.. image:: Joh-SphereGeo1.gif
絵に描いてみましたが、地球儀の上に北極から経度 $0$ 度の子...
このように、曲率のある面上で幾何学をする際には、いつもと...
.. [*] 曲面上の幾何学には、ほかに楕円体上や双曲面上で図形...
球面三角形の角度
----------------------------------------------
半径 $1$ の球面上に、三角形 $ABC$ を考えます。三角形の角...
.. image:: Joh-SphereGeo2.gif
例えば、図中の角 $\alpha$ を考えみましょう。角 $\alpha$ ...
面 $OAC$ の単位法線ベクトルは $\frac{\vec {OA} \times \ve...
<tex>
\cos \alpha = \frac{(\vec {OA} \times \vec {OC})\cdot (\v...
</tex>
角 $\alpha$ を表わすことができました。ところで、いま球の...
<tex>
|\vec {OB} \times \vec {OC}| = \sin \angle BOC = \sin a
</tex>
<tex>
|\vec {OA} \times \vec {OC}| = \sin \angle AOC = \sin b
</tex>
<tex>
|\vec {OA} \times \vec {OB}| = \sin \angle AOB = \sin c
</tex>
これらを使うと、式 $(1)$ は次のように整理できます。
<tex>
\cos \alpha = \frac{\cos a - \cos c \cos b}{\sin b \sin c}
</tex>
角 $\beta$ や $\gamma$ についても同様です。
<tex>
\cos \beta = \frac{\cos b - \cos a \cos c}{\sin c \sin a}
</tex>
<tex>
\cos \gamma = \frac{\cos c - \cos b \cos a}{\sin a \sin b}
</tex>
これは球面三角形になりたつ重要な関係式で、 *球面三角法の...
<tex>
\cos a = \sin b \sin c \cos \alpha + \cos c \cos b
</tex>
<tex>
\cos b = \sin c \sin a \cos \beta + \cos a \cos c
</tex>
<tex>
\cos c = \sin a \sin b \cos \gamma + \cos b \cos a
</tex>
外積から出てくる関係式
---------------------------------------------------------...
角 $\alpha$ について、面 $OAC$ と面 $OAB$ の単位法線ベク...
<tex>
\sin \alpha &= \frac{|(\vec {OA} \times \vec {OC})\times ...
&= \frac{|(\vec {OA} \times \vec {OC})\times (\vec {OA} \...
</tex>
分母については $\sin b = |\vec {OC} \times \vec {OA}|, \s...
<tex>
(\vec {OA} \times \vec {OC})\times (\vec {OA} \times \vec...
&=[\vec {OA} \cdot (\vec {OC} \times \vec {OB})]\vec {OA}...
&=[\vec {OA} \cdot (\vec {OC} \times \vec {OB})]\vec {OA}
</tex>
右辺の第二項が零になることに注意してください。この結果は ...
<tex>
\frac{\sin \alpha}{\sin a} &= \frac{[\vec {OA} \cdot (\ve...
&= \frac{[\vec {OB} \cdot (\vec {OA} \times \vec {OC})]\v...
&= \frac{[\vec {OC} \cdot (\vec {OB} \times \vec {OA})]\v...
</tex>
この関係を *球面三角法の正弦定理* と呼びます。とても重要...
<tex>
\frac{\sin \alpha}{\sin a} = \frac{\sin \beta}{\sin b} ...
</tex>
以上、ベクトル演算の応用問題として、球面三角法で使う基本...
.. _三重積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/T...
.. _ベクトルの公式1: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: SphereTriangle@@
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球面三角形の角度
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今までに勉強した内容を使って、球面上に描かれた三角形の角...
.. image:: Joh-SphereGeo1.gif
絵に描いてみましたが、地球儀の上に北極から経度 $0$ 度の子...
このように、曲率のある面上で幾何学をする際には、いつもと...
.. [*] 曲面上の幾何学には、ほかに楕円体上や双曲面上で図形...
球面三角形の角度
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半径 $1$ の球面上に、三角形 $ABC$ を考えます。三角形の角...
.. image:: Joh-SphereGeo2.gif
例えば、図中の角 $\alpha$ を考えみましょう。角 $\alpha$ ...
面 $OAC$ の単位法線ベクトルは $\frac{\vec {OA} \times \ve...
<tex>
\cos \alpha = \frac{(\vec {OA} \times \vec {OC})\cdot (\v...
</tex>
角 $\alpha$ を表わすことができました。ところで、いま球の...
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|\vec {OB} \times \vec {OC}| = \sin \angle BOC = \sin a
</tex>
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|\vec {OA} \times \vec {OC}| = \sin \angle AOC = \sin b
</tex>
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|\vec {OA} \times \vec {OB}| = \sin \angle AOB = \sin c
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これらを使うと、式 $(1)$ は次のように整理できます。
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\cos \alpha = \frac{\cos a - \cos c \cos b}{\sin b \sin c}
</tex>
角 $\beta$ や $\gamma$ についても同様です。
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\cos \beta = \frac{\cos b - \cos a \cos c}{\sin c \sin a}
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\cos \gamma = \frac{\cos c - \cos b \cos a}{\sin a \sin b}
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これは球面三角形になりたつ重要な関係式で、 *球面三角法の...
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\cos a = \sin b \sin c \cos \alpha + \cos c \cos b
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\cos b = \sin c \sin a \cos \beta + \cos a \cos c
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\cos c = \sin a \sin b \cos \gamma + \cos b \cos a
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外積から出てくる関係式
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角 $\alpha$ について、面 $OAC$ と面 $OAB$ の単位法線ベク...
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\sin \alpha &= \frac{|(\vec {OA} \times \vec {OC})\times ...
&= \frac{|(\vec {OA} \times \vec {OC})\times (\vec {OA} \...
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分母については $\sin b = |\vec {OC} \times \vec {OA}|, \s...
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(\vec {OA} \times \vec {OC})\times (\vec {OA} \times \vec...
&=[\vec {OA} \cdot (\vec {OC} \times \vec {OB})]\vec {OA}...
&=[\vec {OA} \cdot (\vec {OC} \times \vec {OB})]\vec {OA}
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右辺の第二項が零になることに注意してください。この結果は ...
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\frac{\sin \alpha}{\sin a} &= \frac{[\vec {OA} \cdot (\ve...
&= \frac{[\vec {OB} \cdot (\vec {OA} \times \vec {OC})]\v...
&= \frac{[\vec {OC} \cdot (\vec {OB} \times \vec {OA})]\v...
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この関係を *球面三角法の正弦定理* と呼びます。とても重要...
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\frac{\sin \alpha}{\sin a} = \frac{\sin \beta}{\sin b} ...
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以上、ベクトル演算の応用問題として、球面三角法で使う基本...
.. _三重積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/T...
.. _ベクトルの公式1: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: SphereTriangle@@
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