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#rst2hooktail_source
==========================================
擬テンソル
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ベクトルとは、直交変換に際して次のような変換則に従う量と...
<tex>
{A'}_{i} = \alpha_{ij} A_{j} \tag{1}
</tex>
これとそっくりな、 *擬ベクトル* という量が 反対称テンソル...
<tex>
{A'}_{i} = \pm \alpha_{ij} A_{j} \tag{2}
</tex>
違いは、 $\pm$ という記号があるかないかですが、擬ベクトル...
<tex>
{A'}_{i_{1}i_{2}...i_{n}} = {\rm det}|\alpha | \alpha_{i...
</tex>
この ${\rm det}|\alpha |$ が、 $\pm$ になることを次のセク...
座標変換の行列式
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
まずはベクトルの変換から考えます。直交座標系で考え、座標...
<tex>
\bm{i_{i}}\cdot \bm{i_{j}}= \delta_{ij} =\begin{cases} \t...
1 \ \ \ (i = j) &
\cr 0 \ \ \ (i \ne j)
\end{cases}
</tex>
<tex>
\bm{{i'}_{i}}\cdot \bm{{i'}_{j}}= {\delta'}_{ij}= \begin{...
1 \ \ \ (i = j) &
\cr 0 \ \ \ (i \ne j)
\end{cases}
</tex>
また、新旧の座標系の間には、次図のような関係があります。...
.. image:: Joh-TransVec1.gif
このとき次の関係式が分かるでしょう。
<tex>
\bm{r} = \bm{{r'}_{0}} + \bm{r'} \tag{5-1}
</tex>
<tex>
\bm{r'} = \bm{{r}_{0}} + \bm{r} \tag{5-2}
</tex>
これより、 $A_{1}\bm{i_{1}}+ A_{2}\bm{i_{2}} + A_{3}\bm{i...
<tex>
A_{j}\bm{i_{j}} = {A'}_{j}\bm{{i'}_{j}} + {A'}_{0j}\bm{i_...
</tex>
<tex>
{A'}_{j}\bm{{i'}_{j}} = {A}_{j}\bm{{i}_{j}} + {A}_{0j}\bm...
</tex>
式 $(6-1)$ の両辺に $\bm{i_{k}}$ を、式 $(6-2)$ の両辺に ...
<tex>
A_{k} = {A'}_{j}(\bm{{i'}_{j}} \cdot \bm{i_{k}}) + {A'}_{...
</tex>
<tex>
{A'}_{k} = {A}_{j}(\bm{{i}_{j}} \cdot \bm{{i'}_{k}})+ {A}...
</tex>
次に、式 $(7-1)(7-2)$ 中の内積部分を、上手くテンソルの形...
<tex>
(\bm{{i'}_{j}} \cdot \bm{i_{k}}) & = (\alpha _{j'i} \bm{i...
& = \alpha_{j'k}
</tex>
同様に、 $\bm{{i}_{j}} \cdot \bm{{i'}_{k}} =\bm{{i}_{j}} ...
<tex>
(\bm{{i'}_{j}} \cdot \bm{i'_{k}}) & = (\alpha _{j'l} \bm{...
& = \alpha _{j'l} \alpha _{k'm} \delta_{lm} \\
& = \alpha _{j'm} \alpha _{k'm} \\
& = \delta_{j'k'} \tag{8}
</tex>
導出が長くなりましたが、式 $(8)$ が求めていた式です。テン...
<tex>
{\rm det} [\alpha _{j'm} \alpha _{k'm} ]= {\rm det} [\del...
</tex>
クロネッカーのデルタの行列式は添字に関わらず $1$ です。ま...
<tex>
{\rm det} [\alpha _{j'm} ]= \pm 1
</tex>
式 $(3)$ は次のように書けます。
<tex>
{A'}_{i_{1}i_{2}...i_{n}} = \pm \alpha_{i_{1}i_{2}...i_{...
</tex>
式 $(3)$ もしくは式 $(9)$ を擬テンソルの定義式とします。...
.. _反対称テンソルと軸性ベクトル: http://www12.plala.or.j...
.. _スカラー三重積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _ベクトルからテンソルを作る: http://www12.plala.or.jp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: Pseudotensor@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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擬テンソル
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ベクトルとは、直交変換に際して次のような変換則に従う量と...
<tex>
{A'}_{i} = \alpha_{ij} A_{j} \tag{1}
</tex>
これとそっくりな、 *擬ベクトル* という量が 反対称テンソル...
<tex>
{A'}_{i} = \pm \alpha_{ij} A_{j} \tag{2}
</tex>
違いは、 $\pm$ という記号があるかないかですが、擬ベクトル...
<tex>
{A'}_{i_{1}i_{2}...i_{n}} = {\rm det}|\alpha | \alpha_{i...
</tex>
この ${\rm det}|\alpha |$ が、 $\pm$ になることを次のセク...
座標変換の行列式
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まずはベクトルの変換から考えます。直交座標系で考え、座標...
<tex>
\bm{i_{i}}\cdot \bm{i_{j}}= \delta_{ij} =\begin{cases} \t...
1 \ \ \ (i = j) &
\cr 0 \ \ \ (i \ne j)
\end{cases}
</tex>
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\bm{{i'}_{i}}\cdot \bm{{i'}_{j}}= {\delta'}_{ij}= \begin{...
1 \ \ \ (i = j) &
\cr 0 \ \ \ (i \ne j)
\end{cases}
</tex>
また、新旧の座標系の間には、次図のような関係があります。...
.. image:: Joh-TransVec1.gif
このとき次の関係式が分かるでしょう。
<tex>
\bm{r} = \bm{{r'}_{0}} + \bm{r'} \tag{5-1}
</tex>
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\bm{r'} = \bm{{r}_{0}} + \bm{r} \tag{5-2}
</tex>
これより、 $A_{1}\bm{i_{1}}+ A_{2}\bm{i_{2}} + A_{3}\bm{i...
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A_{j}\bm{i_{j}} = {A'}_{j}\bm{{i'}_{j}} + {A'}_{0j}\bm{i_...
</tex>
<tex>
{A'}_{j}\bm{{i'}_{j}} = {A}_{j}\bm{{i}_{j}} + {A}_{0j}\bm...
</tex>
式 $(6-1)$ の両辺に $\bm{i_{k}}$ を、式 $(6-2)$ の両辺に ...
<tex>
A_{k} = {A'}_{j}(\bm{{i'}_{j}} \cdot \bm{i_{k}}) + {A'}_{...
</tex>
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{A'}_{k} = {A}_{j}(\bm{{i}_{j}} \cdot \bm{{i'}_{k}})+ {A}...
</tex>
次に、式 $(7-1)(7-2)$ 中の内積部分を、上手くテンソルの形...
<tex>
(\bm{{i'}_{j}} \cdot \bm{i_{k}}) & = (\alpha _{j'i} \bm{i...
& = \alpha_{j'k}
</tex>
同様に、 $\bm{{i}_{j}} \cdot \bm{{i'}_{k}} =\bm{{i}_{j}} ...
<tex>
(\bm{{i'}_{j}} \cdot \bm{i'_{k}}) & = (\alpha _{j'l} \bm{...
& = \alpha _{j'l} \alpha _{k'm} \delta_{lm} \\
& = \alpha _{j'm} \alpha _{k'm} \\
& = \delta_{j'k'} \tag{8}
</tex>
導出が長くなりましたが、式 $(8)$ が求めていた式です。テン...
<tex>
{\rm det} [\alpha _{j'm} \alpha _{k'm} ]= {\rm det} [\del...
</tex>
クロネッカーのデルタの行列式は添字に関わらず $1$ です。ま...
<tex>
{\rm det} [\alpha _{j'm} ]= \pm 1
</tex>
式 $(3)$ は次のように書けます。
<tex>
{A'}_{i_{1}i_{2}...i_{n}} = \pm \alpha_{i_{1}i_{2}...i_{...
</tex>
式 $(3)$ もしくは式 $(9)$ を擬テンソルの定義式とします。...
.. _反対称テンソルと軸性ベクトル: http://www12.plala.or.j...
.. _スカラー三重積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _ベクトルからテンソルを作る: http://www12.plala.or.jp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: Pseudotensor@@
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