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#rst2hooktail_source
================================
基底の座標変換
================================
ベクトルの成分は座標系の取り方によって変わります。
.. image:: Joh-Reciprocal.gif
図はそれほど正確ではありませんが、青いベクトルは全く動い...
.. [*] ベクトルの座標変換と聞いたときに、『ベクトルを動か...
さて、ある座標系の基底ベクトル $(\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\b...
<tex>
\bm{e'_{1}}= {\alpha}_{1}^{1}\bm{e_{1}}+ {\alpha}_{1}^{2}...
</tex>
<tex>
\bm{e'_{2}}= {\alpha}_{2}^{1}\bm{e_{1}}+ {\alpha}_{2}^{2}...
</tex>
<tex>
\bm{e'_{3}}= {\alpha}_{3}^{1}\bm{e_{1}}+ {\alpha}_{3}^{2}...
</tex>
私達はこの係数 ${\alpha}_{j}^{i}$ を具体的にはまだ知りま...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
\bm{e'_{1}} \\
\bm{e'_{2}} \\
\bm{e'_{3}} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
{\alpha}_{1}^{1} & {\alpha}_{1}^{2} & {\alpha}_{1}^{3} \\
{\alpha}_{2}^{1} & {\alpha}_{2}^{2} & {\alpha}_{2}^{3} \\
{\alpha}_{3}^{1} & {\alpha}_{3}^{2} & {\alpha}_{3}^{3} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\bm{e_{1}} \\
\bm{e_{2}} \\
\bm{e_{3}} \\
\end{array}
\right)
</tex>
式の中に出てきた係数 ${\alpha}_{i}^{k}$ を *変換係数* と...
<tex>
\bm{e'_{i}}=\sum \limits _{k=1}^{3} {\alpha}_{i'}^{k}\bm{...
</tex>
同様にして、ダッシュの付いた基底からダッシュの付いていな...
<tex>
\bm{e_{k}}=\sum \limits _{l'=1}^{3} {\alpha}_{k}^{l'}\bm{...
</tex>
変換係数の性質
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
式 $(2)$ を式 $(1)$ に代入すると次式を得ます。
<tex>
\bm{e'_{i}}=\sum \limits _{k=1}^{3} \sum \limits _{l'=1}^...
</tex>
両辺を比べると、『右辺 $=\bm{e'_{i}}$ 』となるはずですの...
<tex>
\sum \limits _{k=1}^{3} {\alpha}_{i'}^{k} {\alpha}_{k}^{...
</tex>
同様に、式 $(1)$ を式 $(2)$ に代入することで、次の関係式...
<tex>
\sum \limits _{k'=1}^{3} {\alpha}_{i}^{k'} {\alpha}_{k'}...
</tex>
この結果は、何も驚くべきものではありません。変換と逆変換...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
\bm{e_{1}} \\
\bm{e_{2}} \\
\bm{e_{3}} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\bm{e_{1}} \\
\bm{e_{2}} \\
\bm{e_{3}} \\
\end{array}
\right)
</tex>
今後、テンソル解析という分野に入ると、もっと面倒な添字の...
縮約
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
式 $(3)$ や式 $(4)$ で $\Sigma$ の記号が出てきましたが、...
.. important::
上と下に同じ添字が出てきたら、その添字の総和を取ることと...
基底 $\bm{e_{i}}$ にかかる変換係数で、添字 $i$ をわざわざ...
例えば、式 $(3)$ の左辺 ${\alpha}_{i'}^{k} {\alpha}_{k}^...
アインシュタインの縮約を使った例を二つ挙げておきます。添...
<tex>
A_{i}B^{i}=A_{1}B^{1}+A_{2}B^{2}+A_{3}B^{3}
</tex>
<tex>
A_{i}B^{j}C^{i}=B^{j}(A_{1}C^{1}+A_{2}C^{2}+A_{3}C^{3})
</tex>
一番目の式はベクトル $\bm{A}$ とベクトル $\bm{B}$ の内積 ...
確かに、高校の数学にも添字は出てきましたが、上につけるか...
縮約について、もう一点だけ付け加えておくべきことがありま...
.. important::
各基底ベクトルが直交するように座標系を取っている場合(直...
やはり、理由を全て説明するわけには行きませんが、なぜ直交...
理論を勉強する前に結果だけ先取りするのは気持ち悪いですが...
アインシュタインの縮約によって、 $\Sigma$ を使わずに次式...
<tex>
A_{11} + A_{22} + A_{33} = A_{ii}
</tex>
.. [*] 薄ぺったい教科書の中には、添字の上下には触れずに『...
クロネッカーのデルタ
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
式 $(3)(4)$ の右辺に『 $i=j$ なら $1$ 、 $i \ne j$ なら $...
<tex>
{\delta}_{ij}, \ \ \ {\delta}_{i}^{j}, \ \ \ {\delta}...
</tex>
これを *クロネッカーのデルタ* と呼びます。ベクトルやテン...
クロネッカーのデルタとアインシュタインの縮約を用いると、...
<tex>
{\alpha}_{i'}^{k} {\alpha}_{k}^{l'} = {\delta}_{i'}^{l'...
</tex>
.. [*] 急にアインシュタインの名前が出てきましたが、相対性...
.. _共変ベクトルと反変ベクトル: http://www12.plala.or.jp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: BaseTransform@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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基底の座標変換
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ベクトルの成分は座標系の取り方によって変わります。
.. image:: Joh-Reciprocal.gif
図はそれほど正確ではありませんが、青いベクトルは全く動い...
.. [*] ベクトルの座標変換と聞いたときに、『ベクトルを動か...
さて、ある座標系の基底ベクトル $(\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\b...
<tex>
\bm{e'_{1}}= {\alpha}_{1}^{1}\bm{e_{1}}+ {\alpha}_{1}^{2}...
</tex>
<tex>
\bm{e'_{2}}= {\alpha}_{2}^{1}\bm{e_{1}}+ {\alpha}_{2}^{2}...
</tex>
<tex>
\bm{e'_{3}}= {\alpha}_{3}^{1}\bm{e_{1}}+ {\alpha}_{3}^{2}...
</tex>
私達はこの係数 ${\alpha}_{j}^{i}$ を具体的にはまだ知りま...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
\bm{e'_{1}} \\
\bm{e'_{2}} \\
\bm{e'_{3}} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
{\alpha}_{1}^{1} & {\alpha}_{1}^{2} & {\alpha}_{1}^{3} \\
{\alpha}_{2}^{1} & {\alpha}_{2}^{2} & {\alpha}_{2}^{3} \\
{\alpha}_{3}^{1} & {\alpha}_{3}^{2} & {\alpha}_{3}^{3} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\bm{e_{1}} \\
\bm{e_{2}} \\
\bm{e_{3}} \\
\end{array}
\right)
</tex>
式の中に出てきた係数 ${\alpha}_{i}^{k}$ を *変換係数* と...
<tex>
\bm{e'_{i}}=\sum \limits _{k=1}^{3} {\alpha}_{i'}^{k}\bm{...
</tex>
同様にして、ダッシュの付いた基底からダッシュの付いていな...
<tex>
\bm{e_{k}}=\sum \limits _{l'=1}^{3} {\alpha}_{k}^{l'}\bm{...
</tex>
変換係数の性質
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式 $(2)$ を式 $(1)$ に代入すると次式を得ます。
<tex>
\bm{e'_{i}}=\sum \limits _{k=1}^{3} \sum \limits _{l'=1}^...
</tex>
両辺を比べると、『右辺 $=\bm{e'_{i}}$ 』となるはずですの...
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\sum \limits _{k=1}^{3} {\alpha}_{i'}^{k} {\alpha}_{k}^{...
</tex>
同様に、式 $(1)$ を式 $(2)$ に代入することで、次の関係式...
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\sum \limits _{k'=1}^{3} {\alpha}_{i}^{k'} {\alpha}_{k'}...
</tex>
この結果は、何も驚くべきものではありません。変換と逆変換...
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\left(
\begin{array}{ccc}
\bm{e_{1}} \\
\bm{e_{2}} \\
\bm{e_{3}} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\bm{e_{1}} \\
\bm{e_{2}} \\
\bm{e_{3}} \\
\end{array}
\right)
</tex>
今後、テンソル解析という分野に入ると、もっと面倒な添字の...
縮約
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
式 $(3)$ や式 $(4)$ で $\Sigma$ の記号が出てきましたが、...
.. important::
上と下に同じ添字が出てきたら、その添字の総和を取ることと...
基底 $\bm{e_{i}}$ にかかる変換係数で、添字 $i$ をわざわざ...
例えば、式 $(3)$ の左辺 ${\alpha}_{i'}^{k} {\alpha}_{k}^...
アインシュタインの縮約を使った例を二つ挙げておきます。添...
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A_{i}B^{i}=A_{1}B^{1}+A_{2}B^{2}+A_{3}B^{3}
</tex>
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A_{i}B^{j}C^{i}=B^{j}(A_{1}C^{1}+A_{2}C^{2}+A_{3}C^{3})
</tex>
一番目の式はベクトル $\bm{A}$ とベクトル $\bm{B}$ の内積 ...
確かに、高校の数学にも添字は出てきましたが、上につけるか...
縮約について、もう一点だけ付け加えておくべきことがありま...
.. important::
各基底ベクトルが直交するように座標系を取っている場合(直...
やはり、理由を全て説明するわけには行きませんが、なぜ直交...
理論を勉強する前に結果だけ先取りするのは気持ち悪いですが...
アインシュタインの縮約によって、 $\Sigma$ を使わずに次式...
<tex>
A_{11} + A_{22} + A_{33} = A_{ii}
</tex>
.. [*] 薄ぺったい教科書の中には、添字の上下には触れずに『...
クロネッカーのデルタ
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
式 $(3)(4)$ の右辺に『 $i=j$ なら $1$ 、 $i \ne j$ なら $...
<tex>
{\delta}_{ij}, \ \ \ {\delta}_{i}^{j}, \ \ \ {\delta}...
</tex>
これを *クロネッカーのデルタ* と呼びます。ベクトルやテン...
クロネッカーのデルタとアインシュタインの縮約を用いると、...
<tex>
{\alpha}_{i'}^{k} {\alpha}_{k}^{l'} = {\delta}_{i'}^{l'...
</tex>
.. [*] 急にアインシュタインの名前が出てきましたが、相対性...
.. _共変ベクトルと反変ベクトル: http://www12.plala.or.jp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: BaseTransform@@
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