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=========================================================...
慣性モーメント
=========================================================...
剛体の回転シーリズ第5弾です。前の記事は 全角運動量_ で...
次の記事は 加速度座標系と慣性力_ です。
球体の回転
=========================
前々回の記事では、xy平面内の回転しか扱いませんでした。
今回は、xy平面内以外の運動を考えてみます。
原点に角速度ベクトル $\bm{\omega}=(\omega_x,\omega_y,\ome...
質量密度 $\rho$ で一様な、半径 $R$ の球体を考えます。
ここで、位置 $\bm{r}=(x,y,z)$ にある微小要素 $dV$ (質量 ...
角速度ベクトルは $\bm{\omega}$ ですから、その速度は $\bm{...
角運動量 [*]_ は、
<tex>d \bm{L} &= \bm{r} \times d\bm{p} \\
&= \bm{r} \times (\rho dV \ \bm{v} ) \\
&= \rho dV \bm{r} \times (\bm{\omega} \times \bm{r}) \\
&= - \rho dV \bm{r} \times (\bm{r} \times \bm{\omega})
</tex>
です。この形の式は 続ベクトルの回転_ を参考にすると
この式を扱うのに役に立つのではないでしょうか。
行列を用いると、この形を扱うのが容易になるということが書...
.. [*] この角運動量は、連続体の場合を考えています。質点か...
慣性テンソル
=====================
そこで、行列(テンソル)を用いて $\bm{L}$ の成分を $\bm{\...
式を表してみます。
すると、
<tex>
\begin{pmatrix}
L_x \\
L_y \\
L_z
\end{pmatrix}
=\int \rho dV
\begin{pmatrix}
y^2+z^2 & -xy & -xz \\
-xy & z^2+x^2 & -yz \\
-xz & -yz & x^2+y^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega_x \\
\omega_y \\
\omega_z
\end{pmatrix}
</tex>
これを
<tex>
\bm{L}= I \bm{\omega} \tag{##}
</tex>と書きます。
<tex>
I
=\begin{pmatrix}
I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\
I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\
I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}
\end{pmatrix}
=
\int \rho dV
\begin{pmatrix}
y^2+z^2 & -xy & -xz \\
-xy & z^2+x^2 & -yz \\
-xz & -yz & x^2+y^2
\end{pmatrix}
</tex>
を慣性テンソルといいます。厳密に言うと行列と(二階の)テ...
詳しくは ベクトル解析_ のテンソル代数をご覧ください。テン...
書き下したのが上の式です。ここで、対角項 $I_{xx} = \int \...
慣性モーメントと呼び、非対角項 $I_{xy}= -\int \rho dV xy ...
これは、微小質量 $\rho dV$ の時だけでなく、この $\rho dV$...
き換えた時も同じ呼び方をします。慣性モーメントは一乗か二...
ある物理量(質量)と、ある点からの距離の二乗の積になって...
どの点の周りを考えるかによって異なる量なので、確かにモー...
そして、慣性テンソルをテンソルとして書き下すなら、
<tex>
L_x=I_{xx}\omega_x + I_{xy}\omega_y + I_{xz}\omega_z
</tex>
<tex>
L_y=I_{yx}\omega_x + I_{yy}\omega_y + I_{yz}\omega_z \tag...
</tex>
<tex>
L_z=I_{zx}\omega_x + I_{zy}\omega_y + I_{zz}\omega_z
</tex>
と書くのが一般的かと思います。
式をちょっとみてみればわかりますが、一般に $\bm{L}$ と $\...
を向いています。 $\bm{L}$ と $\bm{\omega}$ が
違う方向を向いている時には外力を加えて、回転を維持しなけ...
簡単なイメージを書いておくと、慣性モーメントは物体の回り...
同じ回転にたいするその物体が持つエネルギーの大きさを表す...
慣性乗積は、どれだけ $\bm{L}$ と $\bm{\omega}$
の向きがずれてくるかを表していると言えるでしょう。
慣性テンソルに関する定理1
===========================
ここで慣性テンソル $I$ は対称行列ですから、
ある直交行列 $R$ で対角化できます。
つまり、うまく直交座標系を選べば、慣性乗積はすべて0にな...
そのとき出てくる対角化された慣性テンソル $I_I$ は、次のよ...
を持ちます。
<tex>
I_I &= R^{-1}I R \\
&=
\begin{pmatrix}
I_x & 0 & 0 \\
0 & I_y & 0 \\
0 & 0 & I_z
\end{pmatrix}
</tex>
出てきた対角成分 $I_x,\ I_y,\ I_z$ を主慣性モーメントと呼...
それが成り立つ座標系を慣性主軸といいます。
慣性テンソルに関する定理2
============================
ついでに回転体の運動エネルギー $T$ を計算しておきます。
<tex>
T &= \frac{1}{2}\int \rho dV \ \bm{v} \cdot \bm{v} \\
&= \frac{1}{2} \int \rho dV (\bm{\omega} \times \bm{r}) \...
&= \frac{1}{2} \bm{\omega} \cdot (\int \rho dV \bm{r} \ti...
&= \frac{1}{2} \bm{\omega} \cdot \bm{L} \\
&= \frac{1}{2} \bm{\omega} \cdot I \cdot \bm{\omega} \\
&= \frac{1}{2}
\begin{pmatrix} \omega_x & \omega_y & \omega_z \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\
I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\
I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}
\end{pmatrix}
\begin {pmatrix}
\omega_x \\
\omega_y \\
\omega_z
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
と表せます [*]_ 。
.. [*] 二行目から三行目の変形では、 $(\bm{A} \times \bm{B...
再び球体の回転
====================
今考えていたのは、微小要素 $dV$ の作る角運動量でした。
角運動量はベクトルですから足し合わせることができます。
ここで、密度 $\rho$ が一様で回転する球体を考えます。
全体の作る角運動量を求めるには半径 $R$ の球形領域で積分す...
極座標を用いて式 $(2)$ を積分します。
まず $L_{z}$ を積分します。
<tex>
L_{z \ total}
&= I_{zx} \ \omega_x
+ I_{zy} \ \omega_y
+ I_{zz} \ \omega_z \\
&= \int (-zx) \rho dV \omega_x + \int (-zy) \rho dV \omeg...
</tex>
この計算には $x^2$ や $y^2$ 、 $xy$ の球形領域での積分が...
<tex>
\int x^2 dV
&= \int_{0}^{R}dr \int_{0}^{2\pi} d \phi \int_{0}^{\pi} d...
&= \int_{0}^{R}dr \int_{0}^{2\pi} d \phi \int_{0}^{\pi} d...
&= \int_{0}^{R} r^4 dr \int_{0}^{2\pi} \frac{1-\cos 2 \p...
&= \frac{R^5}{5} \ \pi \ (\int_{0}^{\pi}\sin \theta d \th...
&= \frac{R^5}{5} \pi (2-\frac{2}{3}) \\
&= \frac{R^2}{5} \frac{4 \pi R^3}{3} \\
&= \frac{R^2}{5} V
</tex>
$V$ は球の体積です。
<tex>
\int xy dV
&= \int_{0}^{R}dr \int_{0}^{2\pi} d \phi \int_{0}^{\pi} d...
&= \int_{0}^{R}dr \int_{0}^{2\pi} d \phi \int_{0}^{\pi} d...
&= \int_{0}^{R}dr \int_{0}^{2\pi} d \phi \int_{0}^{\pi} d...
&= (\int_{0}^{2\pi} \sin \phi\cos \phi d \phi) \int_{0}^{...
&= (\int_{1}^{1} t dt) \int_{0}^{R}dr \int_{0}^{\pi} d \...
&= 0
</tex>
対称性から
<tex>
\int x^2 dV
&= \int y^2 dV \\
&= \int z^2 dV \\
&= \frac{R^2}{5} V
</tex>
<tex>
\int xy dV
&= \int yz dV \\
&= \int zx dV \\
&= 0
</tex>
よって、
<tex>
\begin{pmatrix}
L_x \\
L_y \\
L_z
\end{pmatrix}
=
\rho
\frac{2R^2}{5} V
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega_x \\
\omega_y \\
\omega_z
\end{pmatrix}
=
m
\frac{2R^2}{5}
\begin{pmatrix}
\omega_x \\
\omega_y \\
\omega_z
\end{pmatrix}
</tex>
$m= \rho V$ に注意してください。 $m$ は球体の質量です。
こうして結果が出たのですが、回転する球体は球の対称性によ...
方向が一致することがわかりました。
球の位置が原点にない時
========================
ここから先はおまけのようなものです。すこし一般化してみま...
回転する球が、原点になく( $\bm{r}_0$ にあり)しかも重心...
移動している時はどんな角運動量をもつのでしょうか?
やはり微小体積 $dV$ の持つ角運動量を積分します。
こんどは位置が $\bm{r}$ から $\bm{r} + \bm{r}_0$ に替わり、
速度は $\bm{\omega} \times \bm{r}$
から $\bm{\omega} \times \bm{r} + \bm{v}_0$ に替わります。
よって、
<tex>
\bm{L}
&= \int \rho (\bm{r} + \bm{r}_0) \times (\bm{\omega} \tim...
&= \int \rho \bm{r} \times (\bm{\omega} \times \bm{r} ) dV
+ \int \rho \bm{r} \times \bm{v}_0 dV
+ \int \rho \bm{r}_0 \times (\bm{\omega} \times \bm{r}) dV
+ \int \rho \bm{r}_0 \times \bm{v}_0 dV
</tex>
最後の変形のうち、第一項は最初に考えた例と同じ値を持ちま...
これは原点に対する角運動量の内、球の位置を変えても一定の...
次に第二項は定ベクトルと球内の位置ベクトルの積の積分なの...
から、ゼロになります。
そして第三項は第二項と同様の理由でゼロになります。
最後に第四項は回転しない粒子が原点に対してもつ角運動量と...
これは粒子の位置、速度によります。
第一項の回転する粒子が持つ角運動量は、
一つ前の記事で扱った回転しあう二粒子の角運動量同様に
位置を変えても一定の値を持つという特別な性質を持ちます。
複数の角運動量はベクトルなので足し合わせられるというのも...
粒子が自転しながら軌道上を動くときには、その全体としての...
軌道による角運動量と自転による角運動量の和になります。
この応用として角運動量は、量子力学で原子の軌道角運動量や...
としてでてきます。角運動量の合成を学ぶ時にはこの記事のこ...
嬉しいです。
続きは こちら_
.. _続ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalys...
.. _全角運動量: http://hooktail.sub.jp/mechanics/allAngul...
.. _加速度座標系と慣性力: http://hooktail.sub.jp/mechanic...
.. _こちら: http://hooktail.sub.jp/mechanics/acCoordinates/
.. _ベクトル解析: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/i...
@@author:クロメル@@
@@accept:2007-04-15@@
@@category:力学@@
@@id:momentOfInertia@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
慣性モーメント
=========================================================...
剛体の回転シーリズ第5弾です。前の記事は 全角運動量_ で...
次の記事は 加速度座標系と慣性力_ です。
球体の回転
=========================
前々回の記事では、xy平面内の回転しか扱いませんでした。
今回は、xy平面内以外の運動を考えてみます。
原点に角速度ベクトル $\bm{\omega}=(\omega_x,\omega_y,\ome...
質量密度 $\rho$ で一様な、半径 $R$ の球体を考えます。
ここで、位置 $\bm{r}=(x,y,z)$ にある微小要素 $dV$ (質量 ...
角速度ベクトルは $\bm{\omega}$ ですから、その速度は $\bm{...
角運動量 [*]_ は、
<tex>d \bm{L} &= \bm{r} \times d\bm{p} \\
&= \bm{r} \times (\rho dV \ \bm{v} ) \\
&= \rho dV \bm{r} \times (\bm{\omega} \times \bm{r}) \\
&= - \rho dV \bm{r} \times (\bm{r} \times \bm{\omega})
</tex>
です。この形の式は 続ベクトルの回転_ を参考にすると
この式を扱うのに役に立つのではないでしょうか。
行列を用いると、この形を扱うのが容易になるということが書...
.. [*] この角運動量は、連続体の場合を考えています。質点か...
慣性テンソル
=====================
そこで、行列(テンソル)を用いて $\bm{L}$ の成分を $\bm{\...
式を表してみます。
すると、
<tex>
\begin{pmatrix}
L_x \\
L_y \\
L_z
\end{pmatrix}
=\int \rho dV
\begin{pmatrix}
y^2+z^2 & -xy & -xz \\
-xy & z^2+x^2 & -yz \\
-xz & -yz & x^2+y^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega_x \\
\omega_y \\
\omega_z
\end{pmatrix}
</tex>
これを
<tex>
\bm{L}= I \bm{\omega} \tag{##}
</tex>と書きます。
<tex>
I
=\begin{pmatrix}
I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\
I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\
I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}
\end{pmatrix}
=
\int \rho dV
\begin{pmatrix}
y^2+z^2 & -xy & -xz \\
-xy & z^2+x^2 & -yz \\
-xz & -yz & x^2+y^2
\end{pmatrix}
</tex>
を慣性テンソルといいます。厳密に言うと行列と(二階の)テ...
詳しくは ベクトル解析_ のテンソル代数をご覧ください。テン...
書き下したのが上の式です。ここで、対角項 $I_{xx} = \int \...
慣性モーメントと呼び、非対角項 $I_{xy}= -\int \rho dV xy ...
これは、微小質量 $\rho dV$ の時だけでなく、この $\rho dV$...
き換えた時も同じ呼び方をします。慣性モーメントは一乗か二...
ある物理量(質量)と、ある点からの距離の二乗の積になって...
どの点の周りを考えるかによって異なる量なので、確かにモー...
そして、慣性テンソルをテンソルとして書き下すなら、
<tex>
L_x=I_{xx}\omega_x + I_{xy}\omega_y + I_{xz}\omega_z
</tex>
<tex>
L_y=I_{yx}\omega_x + I_{yy}\omega_y + I_{yz}\omega_z \tag...
</tex>
<tex>
L_z=I_{zx}\omega_x + I_{zy}\omega_y + I_{zz}\omega_z
</tex>
と書くのが一般的かと思います。
式をちょっとみてみればわかりますが、一般に $\bm{L}$ と $\...
を向いています。 $\bm{L}$ と $\bm{\omega}$ が
違う方向を向いている時には外力を加えて、回転を維持しなけ...
簡単なイメージを書いておくと、慣性モーメントは物体の回り...
同じ回転にたいするその物体が持つエネルギーの大きさを表す...
慣性乗積は、どれだけ $\bm{L}$ と $\bm{\omega}$
の向きがずれてくるかを表していると言えるでしょう。
慣性テンソルに関する定理1
===========================
ここで慣性テンソル $I$ は対称行列ですから、
ある直交行列 $R$ で対角化できます。
つまり、うまく直交座標系を選べば、慣性乗積はすべて0にな...
そのとき出てくる対角化された慣性テンソル $I_I$ は、次のよ...
を持ちます。
<tex>
I_I &= R^{-1}I R \\
&=
\begin{pmatrix}
I_x & 0 & 0 \\
0 & I_y & 0 \\
0 & 0 & I_z
\end{pmatrix}
</tex>
出てきた対角成分 $I_x,\ I_y,\ I_z$ を主慣性モーメントと呼...
それが成り立つ座標系を慣性主軸といいます。
慣性テンソルに関する定理2
============================
ついでに回転体の運動エネルギー $T$ を計算しておきます。
<tex>
T &= \frac{1}{2}\int \rho dV \ \bm{v} \cdot \bm{v} \\
&= \frac{1}{2} \int \rho dV (\bm{\omega} \times \bm{r}) \...
&= \frac{1}{2} \bm{\omega} \cdot (\int \rho dV \bm{r} \ti...
&= \frac{1}{2} \bm{\omega} \cdot \bm{L} \\
&= \frac{1}{2} \bm{\omega} \cdot I \cdot \bm{\omega} \\
&= \frac{1}{2}
\begin{pmatrix} \omega_x & \omega_y & \omega_z \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\
I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\
I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}
\end{pmatrix}
\begin {pmatrix}
\omega_x \\
\omega_y \\
\omega_z
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
と表せます [*]_ 。
.. [*] 二行目から三行目の変形では、 $(\bm{A} \times \bm{B...
再び球体の回転
====================
今考えていたのは、微小要素 $dV$ の作る角運動量でした。
角運動量はベクトルですから足し合わせることができます。
ここで、密度 $\rho$ が一様で回転する球体を考えます。
全体の作る角運動量を求めるには半径 $R$ の球形領域で積分す...
極座標を用いて式 $(2)$ を積分します。
まず $L_{z}$ を積分します。
<tex>
L_{z \ total}
&= I_{zx} \ \omega_x
+ I_{zy} \ \omega_y
+ I_{zz} \ \omega_z \\
&= \int (-zx) \rho dV \omega_x + \int (-zy) \rho dV \omeg...
</tex>
この計算には $x^2$ や $y^2$ 、 $xy$ の球形領域での積分が...
<tex>
\int x^2 dV
&= \int_{0}^{R}dr \int_{0}^{2\pi} d \phi \int_{0}^{\pi} d...
&= \int_{0}^{R}dr \int_{0}^{2\pi} d \phi \int_{0}^{\pi} d...
&= \int_{0}^{R} r^4 dr \int_{0}^{2\pi} \frac{1-\cos 2 \p...
&= \frac{R^5}{5} \ \pi \ (\int_{0}^{\pi}\sin \theta d \th...
&= \frac{R^5}{5} \pi (2-\frac{2}{3}) \\
&= \frac{R^2}{5} \frac{4 \pi R^3}{3} \\
&= \frac{R^2}{5} V
</tex>
$V$ は球の体積です。
<tex>
\int xy dV
&= \int_{0}^{R}dr \int_{0}^{2\pi} d \phi \int_{0}^{\pi} d...
&= \int_{0}^{R}dr \int_{0}^{2\pi} d \phi \int_{0}^{\pi} d...
&= \int_{0}^{R}dr \int_{0}^{2\pi} d \phi \int_{0}^{\pi} d...
&= (\int_{0}^{2\pi} \sin \phi\cos \phi d \phi) \int_{0}^{...
&= (\int_{1}^{1} t dt) \int_{0}^{R}dr \int_{0}^{\pi} d \...
&= 0
</tex>
対称性から
<tex>
\int x^2 dV
&= \int y^2 dV \\
&= \int z^2 dV \\
&= \frac{R^2}{5} V
</tex>
<tex>
\int xy dV
&= \int yz dV \\
&= \int zx dV \\
&= 0
</tex>
よって、
<tex>
\begin{pmatrix}
L_x \\
L_y \\
L_z
\end{pmatrix}
=
\rho
\frac{2R^2}{5} V
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega_x \\
\omega_y \\
\omega_z
\end{pmatrix}
=
m
\frac{2R^2}{5}
\begin{pmatrix}
\omega_x \\
\omega_y \\
\omega_z
\end{pmatrix}
</tex>
$m= \rho V$ に注意してください。 $m$ は球体の質量です。
こうして結果が出たのですが、回転する球体は球の対称性によ...
方向が一致することがわかりました。
球の位置が原点にない時
========================
ここから先はおまけのようなものです。すこし一般化してみま...
回転する球が、原点になく( $\bm{r}_0$ にあり)しかも重心...
移動している時はどんな角運動量をもつのでしょうか?
やはり微小体積 $dV$ の持つ角運動量を積分します。
こんどは位置が $\bm{r}$ から $\bm{r} + \bm{r}_0$ に替わり、
速度は $\bm{\omega} \times \bm{r}$
から $\bm{\omega} \times \bm{r} + \bm{v}_0$ に替わります。
よって、
<tex>
\bm{L}
&= \int \rho (\bm{r} + \bm{r}_0) \times (\bm{\omega} \tim...
&= \int \rho \bm{r} \times (\bm{\omega} \times \bm{r} ) dV
+ \int \rho \bm{r} \times \bm{v}_0 dV
+ \int \rho \bm{r}_0 \times (\bm{\omega} \times \bm{r}) dV
+ \int \rho \bm{r}_0 \times \bm{v}_0 dV
</tex>
最後の変形のうち、第一項は最初に考えた例と同じ値を持ちま...
これは原点に対する角運動量の内、球の位置を変えても一定の...
次に第二項は定ベクトルと球内の位置ベクトルの積の積分なの...
から、ゼロになります。
そして第三項は第二項と同様の理由でゼロになります。
最後に第四項は回転しない粒子が原点に対してもつ角運動量と...
これは粒子の位置、速度によります。
第一項の回転する粒子が持つ角運動量は、
一つ前の記事で扱った回転しあう二粒子の角運動量同様に
位置を変えても一定の値を持つという特別な性質を持ちます。
複数の角運動量はベクトルなので足し合わせられるというのも...
粒子が自転しながら軌道上を動くときには、その全体としての...
軌道による角運動量と自転による角運動量の和になります。
この応用として角運動量は、量子力学で原子の軌道角運動量や...
としてでてきます。角運動量の合成を学ぶ時にはこの記事のこ...
嬉しいです。
続きは こちら_
.. _続ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalys...
.. _全角運動量: http://hooktail.sub.jp/mechanics/allAngul...
.. _加速度座標系と慣性力: http://hooktail.sub.jp/mechanic...
.. _こちら: http://hooktail.sub.jp/mechanics/acCoordinates/
.. _ベクトル解析: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/i...
@@author:クロメル@@
@@accept:2007-04-15@@
@@category:力学@@
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