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=======================
角速度と速度との関係
=======================
この記事は、質点の角速度と速度との関係を幾何学的に説明す...
これは補助的なものです。内容がどうしても理解できない場合...
1.角速度と速度の関係について
-----------------------------------
.. image:: okome-angularVelocity1.png
質点が、時刻 $t$ に 位置 ${\bm{x}(t)}$ にあるとします。ま...
上にあるものとしています(図1参照)。2.の方に詳しく書いて...
次に ${y_{1}}$ 軸周りに $\theta$ だけ回転させたものです。...
<tex>
\bm{x}_{3}(t)
&=
\begin{pmatrix}
x_{3}\\
y_{3}\\
z_{3}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
r
\end{pmatrix} \tag{1}
</tex>
になります。 $\bm{x}_{3}$ とは $\bm{x}$ の座標3での成分表...
なお、速度と角速度についても同じ規約に従って書いるので、...
次に座標3の原点から見たときの速度から、動径成分を取り除い...
すると ${\bm{v}_{3(rot)}}$ と速度 ${\bm{v}_{3}}$ の関係は...
<tex>
&\bm{v}_{3}
=
\begin{pmatrix}
r\dot{\theta} \\
r\dot{\phi} \sin \theta \\
\dot{r}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\dot{r}
\end{pmatrix}
+ \bm{v}_{3(rot)}
</tex>
この式から ${\bm{v}_{3(rot)}}$ の成分が
<tex>
\bm{v}_{3(rot)}
&=
r\begin{pmatrix}
\dot{\theta} \\
\dot{\phi} \sin \theta \\
0
\end{pmatrix} \tag{2}
</tex>
になる事が直ちに分かります。これは座標3の原点周りの回転を...
しかし今回の説明に限っては、全ての座標番号で原点は共通で...
.. image:: okome-angularVelocity2.png
ところで,ここでは角速度と速度を同時に説明するので、座標3...
図2を見てもらうと、 ${\bm{v}_{3(rot)}}$ と角速度の関係は...
が ${y_{3}}$ 軸周りの回転、 ${y_{3}}$ 成分が ${-x_{3}}$ ...
大きさの無い質点の場合は定義することができません。以上の...
<tex>
\bm{\omega}_{3} &=
\begin{pmatrix}
-\dot{\phi} \sin \theta\\
\dot{\theta} \\
0
\end{pmatrix} \tag{3}
</tex>
ここで座標1について、少し補足しておきます。座標1とは時刻 ...
のことで、数式で書くと次のようになります。
<tex>
x_{1} &= r \sin\theta \cos\phi \tag{4}\\
y_{1} &= r \sin\theta \sin\phi \tag{5}\\
z_{1} &= r \cos\theta \tag{6}
</tex>
図1を見れば分かる事ですが、これはまさに任意の位置を直交座...
次に座標1上での角速度ベクトル ${\bm{\omega}_{1}}$ も書い...
<tex>
\bm{\omega}_{1} =
\begin{pmatrix}
-\dot{\theta} \sin \phi - \dot{\phi} \sin \theta \c...
\dot{\theta} \cos \phi - \dot{\phi} \sin \theta \c...
\dot{\phi} \sin^{2} \theta
\end{pmatrix} \tag{7}
</tex>
角速度の性格を眺めるには $\tag{3}$ の成分表示が役に立ちま...
を知るには $\tag{7}$ が必要です。これがここで説明したかっ...
理解できた方はさっそく下に載せてある練習問題を解いてみま...
2.速度を求めよう
------------------
.. image:: okome-angularVelocity3.png
ここでは具体的な計算を示しておきます。 ${\bm{v}_{3(rot)}}...
計算の方針
^^^^^^^^^^^^
.. _A.:
A. 時刻 $t$ の質点の位置 ${\bm{x} (t)}$ が ${z_{3}}$ 軸上...
計算結果として、座標3上では動径方向以外の成分はゼロに...
$\bm{x}_{3}=\begin{pmatrix}0\\0\\r\end{pmatrix}$
ということです。極座標変数で表すのは、動径成分と回転成...
.. _B.:
B. 時刻 ${t - \delta t}$ の質点の位置 ${\bm{x} ( t - \del...
座標5上での位置ベクトル ${\bm{x}_{5}}$ をもとめていき...
それができたら今度は、 ${\bm{x}_{3}}$ と ${\bm{x}_{5}}...
$\bm{x}_{3} = \bm{x}_{5} - \begin{pmatrix} r \delta \...
この関係式を求める狙いは、座標3上での $\delta t$ 時間...
.. _C.:
C. 質点の座標3上での速度成分を微分の定義に従って求めてい...
$\bm{v}_{3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{r} \end{p...
計算
^^^^^
ここから「計算の方針」に従って計算を進めていきます。
`A.`_
まず時刻 $t$ における質点の位置 ${\bm{x}(t)}$ を座標1の成...
<tex>
x_{1} &= r \sin\theta \cos\phi \\
y_{1} &= r \sin\theta \sin\phi \\ ...
z_{1} &= r \cos\theta
</tex>
次に時刻 $t$ における質点の位置 ${\bm{x}(t)}$ が、 ${z_{3...
次に ${y_{1}}$ 軸周りに $\theta$ だけ回転させた変換です(...
計算しなくても分かります。しかし本当に考えたとおりになっ...
できたら読んでいただいた方が分かりやすいかと思います。具...
[計算方法]
(ア)z軸周りに $\phi$ だけ回転
<tex>
\begin{pmatrix}
x_{2}\\
y_{2}\\
z_{2}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\cos \phi & \sin \phi & 0\\
-\sin \phi & \cos \phi & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
y_{1}\\
z_{1}
\end{pmatrix} \tag{8}
</tex>
(イ) ${y_{2}}$ 軸周りに $\theta$ だけ回転
<tex>
\begin{pmatrix}
x_{3}\\
y_{3}\\
z_{3}
\end{pmatrix}
&= \begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{2}\\
y_{2}\\
z_{2}
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos \phi & \sin \phi & 0\\
-\sin \phi & \cos \phi & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
y_{1}\\
z_{1}
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
\cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -...
-\sin \phi & \cos \phi & ...
\sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & ...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
y_{1}\\
z_{1}
\end{pmatrix} \tag{9}
</tex>
(ウ) $\tag{9}$ 式に $\tag{4}$ , $\tag{5}$ , $\tag{6}$ 式...
<tex>
\begin{pmatrix}
x_{3}\\
y_{3}\\
z_{3}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
r
\end{pmatrix}
</tex>
以上の(ア),(イ),(ウ)の計算を実行すれば予測された結果であ...
これで座標3は、 ${z_{3}}$ 軸上に質点が時刻 $t$ にあるよう...
ここでもう一つ気づかなければならない事があります。それは...
(ア),(イ),(ウ)の変換を逆にたどっていけば得られるというこ...
`B.`_
次に時刻 ${t - \delta t}$ に質点が、 ${z_{5}}$ 軸上に乗る...
この座標変換は位置ベクトル ${\bm{x}_{1}}$ を $z_{1}$ を中...
ここに書いている ${\delta \phi}$ , ${\delta \theta}$ は微...
この変換は $\tag{9}$ 式を $\theta$ → $\theta$ $-$ $\delta...
書き換えた式を計算する事によって求まります。
<tex>
\begin{pmatrix}
x_{5}\\
y_{5}\\
z_{5}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\cos (\theta - \delta \theta) \cos (\phi - \delta...
-\sin (\phi - \delta \phi) ...
\sin (\theta - \delta \theta) \cos (\phi - \delta...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
y_{1}\\
z_{1}
\end{pmatrix}\tag{10}
</tex>
ここで三角関数の
<tex>
\sin (-\delta \psi) \simeq -\delta \psi,\cos (-\delta \ps...
</tex>
という近似を用いると
<tex>
\cos (\psi - \delta \psi) &= \cos \psi \cos (-\delta \psi...
&= \cos \psi - \delta \psi \sin...
\sin (\psi - \delta \psi) &= \sin \psi \cos (-\delta \psi...
&= \sin \psi + \delta \psi \cos...
</tex>
が得られます。ここで近似式を用いておりますが、微分を行う...
それぞれ ${\theta - \delta \theta}$ , ${\phi - \delta \ph...
<tex>
\left(
\begin{array}{c}
x_{5}\\
y_{5}\\
z_{5}\\
\end{array}
\right)
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos \theta \cos \phi & \cos \theta\sin \phi & -\sin \th...
-\sin \phi & \cos \phi & 0 \\
\sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \th...
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}\\
y_{1}\\
z_{1}\\
\end{array}
\right)
\\
&
+r\delta \theta
\left(
\begin{array}{ccc}
\sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \...
0 & 0 & 0 \\
-\sin \theta \cos \phi & -\cos \theta \sin \phi & \sin ...
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}\\
y_{1}\\
z_{1}\\
\end{array}
\right)
\\
&+r\delta \phi
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos \theta \sin \phi & -\cos \theta \cos \phi & 0 \\
\cos \phi & \sin \phi & 0 \\
\sin \theta \sin \phi & -\sin \theta \cos \phi & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}\\
y_{1}\\
z_{1}\\
\end{array}
\right)
</tex>
になることが分かります。更に $\tag{1}$ , $\tag{2}$ , $\ta...
<tex>
\begin{pmatrix}
x_{5}\\
y_{5}\\
z_{5}
\end{pmatrix}
&= \bm{x}_{3}
+\begin{pmatrix}
r \delta \theta\\
r \delta \phi\\
0
\end{pmatrix}\\
_{\cdot}{^{\cdot}}_{\cdot} \bm{x}_{3} &= \bm{x}_{5}
-\begin{pmatrix}
r \delta \theta\\
r \delta \phi\\
0
\end{pmatrix} \tag{14}
</tex>
こうして ${\bm{x}_{3}}$ と ${\bm{x}_{5}}$ の関係を得るこ...
`C.`_
時刻 $t$ に質点は ${z_{3}}$ 上あり、時刻 ${t- \delta t}$ ...
この位置の変位を起こす間に ${\delta t}$ だけの時間が経過...
座標3から見たときの速度 ${\bm{v}_{3}}$ は微分の定義式から...
と $\tag{14}$ 式を微分の定義式に代入してやると
<tex>
\bm{v}_{3} &= \lim_{\delta t \to 0} \frac{{\bm{x}_{3}}(t)...
&=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\dot{r}
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
r \dot{\theta} \\
r \dot{\phi} \sin \theta \\
0
\end{pmatrix} \tag{15}
</tex>
という計算結果が得られます。時刻 $t$ に質点は ${z_{3}}$ ...
座標原点から見たときの回転を表す速度成分になるわけです。...
なります。この速度 ${\bm{v}_{3(rot)}}$ は、動径成分におい...
読み返してもらえば分かりますが、この回転速度 ${\bm{v}_{3(...
練習問題
-----------
練習問題というよりも、ここでの説明の理解度の確認だと思っ...
練習問題1.
^^^^^^^^^^^
ここの説明で得られた ${\bm{\omega}_{3}}$ から、座標1での...
これはよく角運動量 ${\bm{l}_{1}}$ の定義式と同時に与えら...
<tex>
\bm{l}_{1} \equiv \bm{x}_{1} \times \bm{p}_{1} = mr^2 \bm...
</tex>
で登場する角速度ベクトルと一致するはずです。この事実も同...
ヒントと答え( $\tag{7}$ 式)は以下に記しておきます。
(答え)
<tex>
\bm{\omega}_{1} &=
\begin{pmatrix}
\omega_{x_{1}}\\
\omega_{y_{1}}\\
\omega_{z_{1}}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
-\dot{\theta} \sin \phi - \dot{\phi} \sin \theta \c...
\dot{\theta} \cos \phi - \dot{\phi} \sin \theta \c...
\dot{\phi} \sin^{2} \theta
\end{pmatrix}
</tex>
(ヒント)
オイラー角を利用した位置ベクトル ${\bm{x}_{3}}$ から ${\b...
練習問題2.
^^^^^^^^^^^
座標1と3で、次の関係式を満たしている事を代入する事によっ...
<tex>
\bm{v} = \bm{\omega} \times \bm{x} + \dot{r} \frac{\bm{x}...
</tex>
この関係式は速度と角速度を結ぶ一般的な関係式です。
練習問題3.
^^^^^^^^^^^^
座標3上での位置ベクトル、速度ベクトルをベクトル解析の方法...
ここで、極座標 ${r, \theta , \phi}$ の単位ベクトルを与え...
<tex>
&\bm{e}_{r} = \sin \theta \cos \theta \bm{e}_{x_{1}} + \s...
&\bm{e}_{\theta} = \cos \theta \cos \theta \bm{e}_{x_{1}}...
&\bm{e}_{\phi} = - \sin \theta \bm{e}_{x_{1}} + \cos \ph...
</tex>
ここで戸惑っている方もいるかもしれないので補足しておきま...
この問題はそれを確認するためのものです。最後に結果がセク...
@@author: おこめ@@
@@accept: 2005-03-22@@
@@category: 力学@@
@@id:angularVelocityAndVelocity@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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角速度と速度との関係
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この記事は、質点の角速度と速度との関係を幾何学的に説明す...
これは補助的なものです。内容がどうしても理解できない場合...
1.角速度と速度の関係について
-----------------------------------
.. image:: okome-angularVelocity1.png
質点が、時刻 $t$ に 位置 ${\bm{x}(t)}$ にあるとします。ま...
上にあるものとしています(図1参照)。2.の方に詳しく書いて...
次に ${y_{1}}$ 軸周りに $\theta$ だけ回転させたものです。...
<tex>
\bm{x}_{3}(t)
&=
\begin{pmatrix}
x_{3}\\
y_{3}\\
z_{3}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
r
\end{pmatrix} \tag{1}
</tex>
になります。 $\bm{x}_{3}$ とは $\bm{x}$ の座標3での成分表...
なお、速度と角速度についても同じ規約に従って書いるので、...
次に座標3の原点から見たときの速度から、動径成分を取り除い...
すると ${\bm{v}_{3(rot)}}$ と速度 ${\bm{v}_{3}}$ の関係は...
<tex>
&\bm{v}_{3}
=
\begin{pmatrix}
r\dot{\theta} \\
r\dot{\phi} \sin \theta \\
\dot{r}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\dot{r}
\end{pmatrix}
+ \bm{v}_{3(rot)}
</tex>
この式から ${\bm{v}_{3(rot)}}$ の成分が
<tex>
\bm{v}_{3(rot)}
&=
r\begin{pmatrix}
\dot{\theta} \\
\dot{\phi} \sin \theta \\
0
\end{pmatrix} \tag{2}
</tex>
になる事が直ちに分かります。これは座標3の原点周りの回転を...
しかし今回の説明に限っては、全ての座標番号で原点は共通で...
.. image:: okome-angularVelocity2.png
ところで,ここでは角速度と速度を同時に説明するので、座標3...
図2を見てもらうと、 ${\bm{v}_{3(rot)}}$ と角速度の関係は...
が ${y_{3}}$ 軸周りの回転、 ${y_{3}}$ 成分が ${-x_{3}}$ ...
大きさの無い質点の場合は定義することができません。以上の...
<tex>
\bm{\omega}_{3} &=
\begin{pmatrix}
-\dot{\phi} \sin \theta\\
\dot{\theta} \\
0
\end{pmatrix} \tag{3}
</tex>
ここで座標1について、少し補足しておきます。座標1とは時刻 ...
のことで、数式で書くと次のようになります。
<tex>
x_{1} &= r \sin\theta \cos\phi \tag{4}\\
y_{1} &= r \sin\theta \sin\phi \tag{5}\\
z_{1} &= r \cos\theta \tag{6}
</tex>
図1を見れば分かる事ですが、これはまさに任意の位置を直交座...
次に座標1上での角速度ベクトル ${\bm{\omega}_{1}}$ も書い...
<tex>
\bm{\omega}_{1} =
\begin{pmatrix}
-\dot{\theta} \sin \phi - \dot{\phi} \sin \theta \c...
\dot{\theta} \cos \phi - \dot{\phi} \sin \theta \c...
\dot{\phi} \sin^{2} \theta
\end{pmatrix} \tag{7}
</tex>
角速度の性格を眺めるには $\tag{3}$ の成分表示が役に立ちま...
を知るには $\tag{7}$ が必要です。これがここで説明したかっ...
理解できた方はさっそく下に載せてある練習問題を解いてみま...
2.速度を求めよう
------------------
.. image:: okome-angularVelocity3.png
ここでは具体的な計算を示しておきます。 ${\bm{v}_{3(rot)}}...
計算の方針
^^^^^^^^^^^^
.. _A.:
A. 時刻 $t$ の質点の位置 ${\bm{x} (t)}$ が ${z_{3}}$ 軸上...
計算結果として、座標3上では動径方向以外の成分はゼロに...
$\bm{x}_{3}=\begin{pmatrix}0\\0\\r\end{pmatrix}$
ということです。極座標変数で表すのは、動径成分と回転成...
.. _B.:
B. 時刻 ${t - \delta t}$ の質点の位置 ${\bm{x} ( t - \del...
座標5上での位置ベクトル ${\bm{x}_{5}}$ をもとめていき...
それができたら今度は、 ${\bm{x}_{3}}$ と ${\bm{x}_{5}}...
$\bm{x}_{3} = \bm{x}_{5} - \begin{pmatrix} r \delta \...
この関係式を求める狙いは、座標3上での $\delta t$ 時間...
.. _C.:
C. 質点の座標3上での速度成分を微分の定義に従って求めてい...
$\bm{v}_{3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{r} \end{p...
計算
^^^^^
ここから「計算の方針」に従って計算を進めていきます。
`A.`_
まず時刻 $t$ における質点の位置 ${\bm{x}(t)}$ を座標1の成...
<tex>
x_{1} &= r \sin\theta \cos\phi \\
y_{1} &= r \sin\theta \sin\phi \\ ...
z_{1} &= r \cos\theta
</tex>
次に時刻 $t$ における質点の位置 ${\bm{x}(t)}$ が、 ${z_{3...
次に ${y_{1}}$ 軸周りに $\theta$ だけ回転させた変換です(...
計算しなくても分かります。しかし本当に考えたとおりになっ...
できたら読んでいただいた方が分かりやすいかと思います。具...
[計算方法]
(ア)z軸周りに $\phi$ だけ回転
<tex>
\begin{pmatrix}
x_{2}\\
y_{2}\\
z_{2}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\cos \phi & \sin \phi & 0\\
-\sin \phi & \cos \phi & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
y_{1}\\
z_{1}
\end{pmatrix} \tag{8}
</tex>
(イ) ${y_{2}}$ 軸周りに $\theta$ だけ回転
<tex>
\begin{pmatrix}
x_{3}\\
y_{3}\\
z_{3}
\end{pmatrix}
&= \begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{2}\\
y_{2}\\
z_{2}
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos \phi & \sin \phi & 0\\
-\sin \phi & \cos \phi & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
y_{1}\\
z_{1}
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
\cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -...
-\sin \phi & \cos \phi & ...
\sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & ...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
y_{1}\\
z_{1}
\end{pmatrix} \tag{9}
</tex>
(ウ) $\tag{9}$ 式に $\tag{4}$ , $\tag{5}$ , $\tag{6}$ 式...
<tex>
\begin{pmatrix}
x_{3}\\
y_{3}\\
z_{3}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
r
\end{pmatrix}
</tex>
以上の(ア),(イ),(ウ)の計算を実行すれば予測された結果であ...
これで座標3は、 ${z_{3}}$ 軸上に質点が時刻 $t$ にあるよう...
ここでもう一つ気づかなければならない事があります。それは...
(ア),(イ),(ウ)の変換を逆にたどっていけば得られるというこ...
`B.`_
次に時刻 ${t - \delta t}$ に質点が、 ${z_{5}}$ 軸上に乗る...
この座標変換は位置ベクトル ${\bm{x}_{1}}$ を $z_{1}$ を中...
ここに書いている ${\delta \phi}$ , ${\delta \theta}$ は微...
この変換は $\tag{9}$ 式を $\theta$ → $\theta$ $-$ $\delta...
書き換えた式を計算する事によって求まります。
<tex>
\begin{pmatrix}
x_{5}\\
y_{5}\\
z_{5}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\cos (\theta - \delta \theta) \cos (\phi - \delta...
-\sin (\phi - \delta \phi) ...
\sin (\theta - \delta \theta) \cos (\phi - \delta...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
y_{1}\\
z_{1}
\end{pmatrix}\tag{10}
</tex>
ここで三角関数の
<tex>
\sin (-\delta \psi) \simeq -\delta \psi,\cos (-\delta \ps...
</tex>
という近似を用いると
<tex>
\cos (\psi - \delta \psi) &= \cos \psi \cos (-\delta \psi...
&= \cos \psi - \delta \psi \sin...
\sin (\psi - \delta \psi) &= \sin \psi \cos (-\delta \psi...
&= \sin \psi + \delta \psi \cos...
</tex>
が得られます。ここで近似式を用いておりますが、微分を行う...
それぞれ ${\theta - \delta \theta}$ , ${\phi - \delta \ph...
<tex>
\left(
\begin{array}{c}
x_{5}\\
y_{5}\\
z_{5}\\
\end{array}
\right)
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos \theta \cos \phi & \cos \theta\sin \phi & -\sin \th...
-\sin \phi & \cos \phi & 0 \\
\sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \th...
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}\\
y_{1}\\
z_{1}\\
\end{array}
\right)
\\
&
+r\delta \theta
\left(
\begin{array}{ccc}
\sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \...
0 & 0 & 0 \\
-\sin \theta \cos \phi & -\cos \theta \sin \phi & \sin ...
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}\\
y_{1}\\
z_{1}\\
\end{array}
\right)
\\
&+r\delta \phi
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos \theta \sin \phi & -\cos \theta \cos \phi & 0 \\
\cos \phi & \sin \phi & 0 \\
\sin \theta \sin \phi & -\sin \theta \cos \phi & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}\\
y_{1}\\
z_{1}\\
\end{array}
\right)
</tex>
になることが分かります。更に $\tag{1}$ , $\tag{2}$ , $\ta...
<tex>
\begin{pmatrix}
x_{5}\\
y_{5}\\
z_{5}
\end{pmatrix}
&= \bm{x}_{3}
+\begin{pmatrix}
r \delta \theta\\
r \delta \phi\\
0
\end{pmatrix}\\
_{\cdot}{^{\cdot}}_{\cdot} \bm{x}_{3} &= \bm{x}_{5}
-\begin{pmatrix}
r \delta \theta\\
r \delta \phi\\
0
\end{pmatrix} \tag{14}
</tex>
こうして ${\bm{x}_{3}}$ と ${\bm{x}_{5}}$ の関係を得るこ...
`C.`_
時刻 $t$ に質点は ${z_{3}}$ 上あり、時刻 ${t- \delta t}$ ...
この位置の変位を起こす間に ${\delta t}$ だけの時間が経過...
座標3から見たときの速度 ${\bm{v}_{3}}$ は微分の定義式から...
と $\tag{14}$ 式を微分の定義式に代入してやると
<tex>
\bm{v}_{3} &= \lim_{\delta t \to 0} \frac{{\bm{x}_{3}}(t)...
&=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\dot{r}
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
r \dot{\theta} \\
r \dot{\phi} \sin \theta \\
0
\end{pmatrix} \tag{15}
</tex>
という計算結果が得られます。時刻 $t$ に質点は ${z_{3}}$ ...
座標原点から見たときの回転を表す速度成分になるわけです。...
なります。この速度 ${\bm{v}_{3(rot)}}$ は、動径成分におい...
読み返してもらえば分かりますが、この回転速度 ${\bm{v}_{3(...
練習問題
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練習問題というよりも、ここでの説明の理解度の確認だと思っ...
練習問題1.
^^^^^^^^^^^
ここの説明で得られた ${\bm{\omega}_{3}}$ から、座標1での...
これはよく角運動量 ${\bm{l}_{1}}$ の定義式と同時に与えら...
<tex>
\bm{l}_{1} \equiv \bm{x}_{1} \times \bm{p}_{1} = mr^2 \bm...
</tex>
で登場する角速度ベクトルと一致するはずです。この事実も同...
ヒントと答え( $\tag{7}$ 式)は以下に記しておきます。
(答え)
<tex>
\bm{\omega}_{1} &=
\begin{pmatrix}
\omega_{x_{1}}\\
\omega_{y_{1}}\\
\omega_{z_{1}}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
-\dot{\theta} \sin \phi - \dot{\phi} \sin \theta \c...
\dot{\theta} \cos \phi - \dot{\phi} \sin \theta \c...
\dot{\phi} \sin^{2} \theta
\end{pmatrix}
</tex>
(ヒント)
オイラー角を利用した位置ベクトル ${\bm{x}_{3}}$ から ${\b...
練習問題2.
^^^^^^^^^^^
座標1と3で、次の関係式を満たしている事を代入する事によっ...
<tex>
\bm{v} = \bm{\omega} \times \bm{x} + \dot{r} \frac{\bm{x}...
</tex>
この関係式は速度と角速度を結ぶ一般的な関係式です。
練習問題3.
^^^^^^^^^^^^
座標3上での位置ベクトル、速度ベクトルをベクトル解析の方法...
ここで、極座標 ${r, \theta , \phi}$ の単位ベクトルを与え...
<tex>
&\bm{e}_{r} = \sin \theta \cos \theta \bm{e}_{x_{1}} + \s...
&\bm{e}_{\theta} = \cos \theta \cos \theta \bm{e}_{x_{1}}...
&\bm{e}_{\phi} = - \sin \theta \bm{e}_{x_{1}} + \cos \ph...
</tex>
ここで戸惑っている方もいるかもしれないので補足しておきま...
この問題はそれを確認するためのものです。最後に結果がセク...
@@author: おこめ@@
@@accept: 2005-03-22@@
@@category: 力学@@
@@id:angularVelocityAndVelocity@@
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