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角運動量を持つ系の例
=========================================================...
剛体の回転シーリズ第3弾です。前の記事は 角運動量_ です。
次の記事は 全角運動量_ です。
角速度ベクトル
=====================
前の記事で角運動量について学んだわけですが、それは物質の...
深くかかわる概念です。実際にどんな運動が角運動量を持つか...
について学んでください。一応私なりにも簡単に説明しますが、
Johさんが詳しく無限小回転について書かれておられますので
もし無限小回転のもつ奇跡について感動したいという方は、 ベ...
最後の 無限小回転2_ で出てくる $\bm{\omega}$ が角速度ベク...
必要な概念です。
さて、私なりに簡単に説明します。回転には回転軸があります...
外積をよくご存知の方はわかると思いますが、回転軸に平行な...
回転速度方向 $\frac{\bm{v}}{|\bm{v}|}$ を外積 $\frac{\bm{...
次に回転の大きさをあわせて行きたいと思います。回転の速さ...
$|\bm{n} \times \bm{r}|$ が軸からの距離を表しますから、、
これを外積 $\frac{\bm{n} \times \bm{r}}{|\bm{n} \times \b...
なんと、美しいことに $\bm{n} \times \bm{r}$ がでてきます。
あとは、回転の速さを掛けてやれば速度 $\bm{v}$ と外積 $\bm...
その値とはなんでしょうか?回転の角速度 $\omega$ が $\omeg...
速度 $\frac{d\phi}{dt}$ を持ちますね。一方、 $\bm{n} \tim...
よって、 $\bm{n} \times \bm{r}$ に $\frac{d\phi}{dt}$ を...
$\bm{v}$ に一致します。ここで、
<tex>
\bm{\omega}= \frac{d\phi}{dt}\bm{n}
</tex>
で $\bm{\omega}$ を定義すると便利であることがわかります。
$\bm{\omega}$ が満たす関係式として、ここで学んだように
<tex>
\bm{v}=\bm{\omega} \times \bm{r}
</tex>
が成り立ちます。 $\bm{\omega}$ は回転軸に平行なベクトルで...
どんな時角運動量を持つの?(例1)
=====================================
この記事の本題に進みます。どんな時に角運動量を持つか実例...
訳あってこの記事では、xy平面内の運動しか扱いません。いま...
一致していますが、z軸方向の運動がふくまれるとずれが生じて...
おうと思います。
位置
<tex>
\bm{r}=(x,y,z)=(x_0,y_0,0)=(r \cos \phi,r \sin \phi,0)
</tex>
にある質量 $m$ の粒子を考えます。速度
<tex>
\bm{v}=(\dot{x},\dot{y},\dot{z})=(v_x,v_y,0)=(v \cos \psi...
</tex>
を持つとき、 $\bm{L}=m\bm{r} \times \bm{v}$ より、
<tex>
\bm{L}=(0,0,x_0v_y-y_0v_x)=(0,0,rv \sin(\psi-\phi)\ )
</tex>
となり、
z軸方向成分のみを持ちます。これはxy平面内で運動することを...
その方向は原点に右ねじをz軸の正の方向に尖った方を向けて置...
粒子の速度が動く方向にまわして、右ねじが動く方向に角運動...
なんの力も働いていないので角運動量は保存され、一定です。
どんな時角運動量を持つの?(例2)
=====================================
今度は質量の等しい反対の電荷をもつ二つの粒子が互いの引力...
場合を考えます。回転運動ですから角運動量がz方向に成分を持...
回転を表しているなと思えませんか?それを確かめてみます。
位置を
<tex>
\bm{r}_1=(r \cos \omega t, r \sin \omega t + r_0, 0)
</tex>
と
<tex>
\bm{r}_2=(-r \cos \omega t, -r \sin \omega t+ r_0, 0)
</tex>
にします。 $t$ は時間です。 $(0,r_0,0)$ を中心に回転する...
すると位置を $t$ で微分すれば、運動 $\bm{v}=\frac{d\bm{r}...
速度はそれぞれ、
<tex>
\frac{d\bm{r}_1}{dt}=(-r \omega \sin \omega t ,r \omega \...
</tex>
と
<tex>
\frac{d\bm{r}_2}{dt}=(r \omega \sin \omega t ,-r \omega \...
</tex>
なので、それぞれの角運動量 $\bm{L}_1$ と $\bm{L}_2$ のz方...
<tex>
L_{1z}=r^2 \omega \cos^2 \omega t + r^2 \omega \sin^2 \om...
</tex>
<tex>
L_{2z}=r^2 \omega - r_0 r \omega \sin \omega t
</tex>
角運動量はベクトルですから足し合わせることができます。よ...
(x成分やy成分はゼロです)
<tex>
L_{z \ total}= 2 r^2 \omega
</tex>
となります。これはy軸方向の位置 $r_0$ に自由度を持たせま...
依りません。同様の議論をx軸にも適用できて、結局回転しあう...
その位置に依らな
いことがわかります。モーメントとは、前の記事で書いた様に...
によって変動する量ですから、対になった粒子全体の角運動量...
回転しあう粒子系の重要な性質です。
そして言いはぐれましたが、粒子系に働く力が内力の場合は角...
は保存します。
今回の粒子に働く力は内力のみですから、時間の変化と共に二...
やりとりしており、角運動量は全体として時間 $t$ にも依らな...
これについては、次の記事で話すことにします。
続きは こちら_
.. _ベクトルの回転 : http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/ve...
.. _無限小回転1 : http://hooktail.sub.jp/mechanics/infini...
.. _無限小回転2 : http://hooktail.sub.jp/mechanics/infini...
.. _角運動量: http://hooktail.sub.jp/mechanics/angularMom...
.. _全角運動量: http://hooktail.sub.jp/mechanics/allAngul...
.. _こちら: http://hooktail.sub.jp/mechanics/allAngularMo...
@@author:クロメル@@
@@accept:2007-04-14@@
@@category:力学@@
@@id:angularExamples@@
終了行:
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角運動量を持つ系の例
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剛体の回転シーリズ第3弾です。前の記事は 角運動量_ です。
次の記事は 全角運動量_ です。
角速度ベクトル
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前の記事で角運動量について学んだわけですが、それは物質の...
深くかかわる概念です。実際にどんな運動が角運動量を持つか...
について学んでください。一応私なりにも簡単に説明しますが、
Johさんが詳しく無限小回転について書かれておられますので
もし無限小回転のもつ奇跡について感動したいという方は、 ベ...
最後の 無限小回転2_ で出てくる $\bm{\omega}$ が角速度ベク...
必要な概念です。
さて、私なりに簡単に説明します。回転には回転軸があります...
外積をよくご存知の方はわかると思いますが、回転軸に平行な...
回転速度方向 $\frac{\bm{v}}{|\bm{v}|}$ を外積 $\frac{\bm{...
次に回転の大きさをあわせて行きたいと思います。回転の速さ...
$|\bm{n} \times \bm{r}|$ が軸からの距離を表しますから、、
これを外積 $\frac{\bm{n} \times \bm{r}}{|\bm{n} \times \b...
なんと、美しいことに $\bm{n} \times \bm{r}$ がでてきます。
あとは、回転の速さを掛けてやれば速度 $\bm{v}$ と外積 $\bm...
その値とはなんでしょうか?回転の角速度 $\omega$ が $\omeg...
速度 $\frac{d\phi}{dt}$ を持ちますね。一方、 $\bm{n} \tim...
よって、 $\bm{n} \times \bm{r}$ に $\frac{d\phi}{dt}$ を...
$\bm{v}$ に一致します。ここで、
<tex>
\bm{\omega}= \frac{d\phi}{dt}\bm{n}
</tex>
で $\bm{\omega}$ を定義すると便利であることがわかります。
$\bm{\omega}$ が満たす関係式として、ここで学んだように
<tex>
\bm{v}=\bm{\omega} \times \bm{r}
</tex>
が成り立ちます。 $\bm{\omega}$ は回転軸に平行なベクトルで...
どんな時角運動量を持つの?(例1)
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この記事の本題に進みます。どんな時に角運動量を持つか実例...
訳あってこの記事では、xy平面内の運動しか扱いません。いま...
一致していますが、z軸方向の運動がふくまれるとずれが生じて...
おうと思います。
位置
<tex>
\bm{r}=(x,y,z)=(x_0,y_0,0)=(r \cos \phi,r \sin \phi,0)
</tex>
にある質量 $m$ の粒子を考えます。速度
<tex>
\bm{v}=(\dot{x},\dot{y},\dot{z})=(v_x,v_y,0)=(v \cos \psi...
</tex>
を持つとき、 $\bm{L}=m\bm{r} \times \bm{v}$ より、
<tex>
\bm{L}=(0,0,x_0v_y-y_0v_x)=(0,0,rv \sin(\psi-\phi)\ )
</tex>
となり、
z軸方向成分のみを持ちます。これはxy平面内で運動することを...
その方向は原点に右ねじをz軸の正の方向に尖った方を向けて置...
粒子の速度が動く方向にまわして、右ねじが動く方向に角運動...
なんの力も働いていないので角運動量は保存され、一定です。
どんな時角運動量を持つの?(例2)
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今度は質量の等しい反対の電荷をもつ二つの粒子が互いの引力...
場合を考えます。回転運動ですから角運動量がz方向に成分を持...
回転を表しているなと思えませんか?それを確かめてみます。
位置を
<tex>
\bm{r}_1=(r \cos \omega t, r \sin \omega t + r_0, 0)
</tex>
と
<tex>
\bm{r}_2=(-r \cos \omega t, -r \sin \omega t+ r_0, 0)
</tex>
にします。 $t$ は時間です。 $(0,r_0,0)$ を中心に回転する...
すると位置を $t$ で微分すれば、運動 $\bm{v}=\frac{d\bm{r}...
速度はそれぞれ、
<tex>
\frac{d\bm{r}_1}{dt}=(-r \omega \sin \omega t ,r \omega \...
</tex>
と
<tex>
\frac{d\bm{r}_2}{dt}=(r \omega \sin \omega t ,-r \omega \...
</tex>
なので、それぞれの角運動量 $\bm{L}_1$ と $\bm{L}_2$ のz方...
<tex>
L_{1z}=r^2 \omega \cos^2 \omega t + r^2 \omega \sin^2 \om...
</tex>
<tex>
L_{2z}=r^2 \omega - r_0 r \omega \sin \omega t
</tex>
角運動量はベクトルですから足し合わせることができます。よ...
(x成分やy成分はゼロです)
<tex>
L_{z \ total}= 2 r^2 \omega
</tex>
となります。これはy軸方向の位置 $r_0$ に自由度を持たせま...
依りません。同様の議論をx軸にも適用できて、結局回転しあう...
その位置に依らな
いことがわかります。モーメントとは、前の記事で書いた様に...
によって変動する量ですから、対になった粒子全体の角運動量...
回転しあう粒子系の重要な性質です。
そして言いはぐれましたが、粒子系に働く力が内力の場合は角...
は保存します。
今回の粒子に働く力は内力のみですから、時間の変化と共に二...
やりとりしており、角運動量は全体として時間 $t$ にも依らな...
これについては、次の記事で話すことにします。
続きは こちら_
.. _ベクトルの回転 : http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/ve...
.. _無限小回転1 : http://hooktail.sub.jp/mechanics/infini...
.. _無限小回転2 : http://hooktail.sub.jp/mechanics/infini...
.. _角運動量: http://hooktail.sub.jp/mechanics/angularMom...
.. _全角運動量: http://hooktail.sub.jp/mechanics/allAngul...
.. _こちら: http://hooktail.sub.jp/mechanics/allAngularMo...
@@author:クロメル@@
@@accept:2007-04-14@@
@@category:力学@@
@@id:angularExamples@@
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