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外微分
==========================================
三次元ユークリッド空間 $R^{3}$ 上の外積代数を考えると、微...
【零次微分形式】
ただの関数。 $f(x,y,z),g(x,y,z)$ など。
【一次微分形式】
<tex>
\omega_{1} = f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz \tag{1}
</tex>
【二次微分形式】
<tex>
\omega_{2} = P(x,y,z)dy \land dz +Q(x,y,z)dz \land dx +R(...
\tag{2}
</tex>
【三次微分形式】
<tex>
\omega_{3} = \Theta (x,y,z)dx \land dy \land dz \tag{3}
</tex>
それぞれ、 $1,\ \ dx,dy,dz,\ \ dx\land dy,dy\land dz,dz\...
次数の異なる微分形式の間には、どのような関係があるのでし...
外微分
=========================================================...
実は、 *外微分* という演算によって、次数の異なる微分形式...
.. [*] この段階では、まだ外微分とは何か、具体的に示してい...
いきなりですが、関数の全微分を求める計算を思い出しましょ...
<tex>
d\omega_{0} = \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\par...
</tex>
よく見ると、これは一次微分形式の形になっていますね。そこ...
.. [*] 今までの人生で、全微分を計算したことは何度もあると...
.. admonition:: definition
1. $0$ 次微分形式 $\omega _{0}=f$ に対し、 $df=\frac{\pa...
2. $1$ 次微分形式 $\omega _{1}= fdx+gdy+hdz$ に対し、 $d...
3. $2$ 次微分形式 $\omega _{2}= Pdy \land dz + Q dz \lan...
4. $3$ 次微分形式 $\omega _{3}= \Theta dx \land dy \lan...
5. 任意の次数の微分形式について $d(d\omega)=0$ とする。
五番目の性質は、 ポアンカレの補題_ として知られるもので、...
<tex>
d\omega _{1} &= d(f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz) \\
& = df \land dx + dg \land dy + dh \land dz \\
& = \left( \frac{\partial f}{\partial x}dx +
\frac{\partial f}{\partial y}dy +
\frac{\partial f}{\partial z}dz \right) \land dx
+
\left( \frac{\partial g}{\partial x}dx +
\frac{\partial g}{\partial y}dy +
\frac{\partial g}{\partial z}dz \right) \land dy
+
\left( \frac{\partial h}{\partial x}dx +
\frac{\partial h}{\partial y}dy +
\frac{\partial h}{\partial z}dz \right) \land dz \\
&= \frac{\partial f}{\partial y}dy \land dx
+ \frac{\partial f}{\partial z}dz \land dx
+ \frac{\partial g}{\partial x}dx \land dy
+ \frac{\partial g}{\partial z}dz \land dy
+ \frac{\partial h}{\partial x}dx \land dz
+ \frac{\partial h}{\partial y}dy \land dz \\
&= \left( \frac{\partial h}{\partial y} - \frac{\partial ...
\left( \frac{\partial f}{\partial z} - \frac{\partial h}{...
dz \land dx +
\left( \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}...
\right) dx \land dy \tag{5}
</tex>
確かに、 $d\omega_{1}$ は二次微分形式になっていることが分...
<tex>
d\omega _{2} & =
d( P(x,y,z)dy \land dz +Q(x,y,z)dz \land dx +R(x,y,z)dx \...
&= dP \land dy \land dz +dQ \land dz \land dx +dR \land d...
&= \left( \frac{\partial P}{\partial x}dx +
\frac{\partial P}{\partial y}dy +
\frac{\partial P}{\partial z}dz \right) \land dy \land dz
+ \left( \frac{\partial Q}{\partial x}dx +
\frac{\partial Q}{\partial y}dy +
\frac{\partial Q}{\partial z}dz \right) \land dz \land dx
+ \left( \frac{\partial R}{\partial x}dx +
\frac{\partial R}{\partial y}dy +
\frac{\partial R}{\partial z}dz \right) \land dx \land dy...
&= \frac{\partial P}{\partial x}dx \land dy \land dz
+ \frac{\partial Q}{\partial y}dy \land dz \land dx
+ \frac{\partial R}{\partial z}dz \land dx \land dy \\
&= \left(
\frac{\partial P}{\partial x}
+ \frac{\partial Q}{\partial y}
+ \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx \land dy \land...
</tex>
これは三次微分形式になっています。最後の段で、基底の順列...
<tex>
d\omega_{3} &= d(\Theta (x,y,z)dx\land dy \land dz ) \\
&= d\Theta \land dx \land dy \land dz \\
&= \left(
\frac{\partial \Theta}{\partial x} dx
+ \frac{\partial \Theta}{\partial y}dy
+ \frac{\partial \Theta}{\partial z}dz \right) \land dx ...
& = 0 \tag{7}
</tex>
三次微分形式の外微分が $0$ になるのは、 $R^{3}$ 上の微分...
.. important::
外微分は微分形式の次数を一つ上げます。(写像 $d: \ \land...
.. [*] 式 $(4)(5)(6)$ の成分を見て、 ${\rm grad}, \ {\rm ...
練習問題
--------------------------------------------------
式 $(5)$ と式 $(6)$ にもう一回外微分を施し、 $d(d\omega)=...
全微分の座標不変性
=========================================================...
あまり考えたことがなかったかも知れませんが、全微分は座標...
<tex>
df = \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\...
</tex>
もし、適当な座標変換をして $x=x(u,v,z), \ y=y(u,v,z), \ z...
<tex>
df &= \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{...
& = \frac{\partial f}{\partial x}\left( \frac{\partial x}...
+ \frac{\partial x}{\partial v}dv
+ \frac{\partial x}{\partial w}dw \right)
+ \frac{\partial f}{\partial y}
\left( \frac{\partial y}{\partial u}du
+ \frac{\partial y}{\partial v}dv
+ \frac{\partial y}{\partial w}dw \right)
+ \frac{\partial f}{\partial z}
\left( \frac{\partial z}{\partial u}du
+ \frac{\partial z}{\partial v}dv
+ \frac{\partial z}{\partial w}dw \right) \\
& = \left( \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}...
+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partia...
+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial...
\right) du +
\left( \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\pa...
+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partia...
+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial...
\right) dv
+
\left( \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\pa...
+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partia...
+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial...
\right) dw \\
&= \frac{\partial f}{\partial u}du+ \frac{\partial f}{\pa...
</tex>
これより $\frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial...
.. admonition:: theorem
全微分は、座標変換に対して不変です。
薄々予想されることですが、全微分の持つこの性質は、全微分...
.. [*] もちろん、ここで用いた座標変換とは、 $(x,y,z)$ と ...
.. _ポアンカレの補題: http://www12.plala.or.jp/ksp/differ...
.. _外微分の座標不変性: http://www12.plala.or.jp/ksp/diff...
.. _`もう一度grad,div,rot`: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _微分形式の引き戻し: http://www12.plala.or.jp/ksp/diff...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: ExteriorDiff@@
終了行:
#rst2hooktail_source
==========================================
外微分
==========================================
三次元ユークリッド空間 $R^{3}$ 上の外積代数を考えると、微...
【零次微分形式】
ただの関数。 $f(x,y,z),g(x,y,z)$ など。
【一次微分形式】
<tex>
\omega_{1} = f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz \tag{1}
</tex>
【二次微分形式】
<tex>
\omega_{2} = P(x,y,z)dy \land dz +Q(x,y,z)dz \land dx +R(...
\tag{2}
</tex>
【三次微分形式】
<tex>
\omega_{3} = \Theta (x,y,z)dx \land dy \land dz \tag{3}
</tex>
それぞれ、 $1,\ \ dx,dy,dz,\ \ dx\land dy,dy\land dz,dz\...
次数の異なる微分形式の間には、どのような関係があるのでし...
外微分
=========================================================...
実は、 *外微分* という演算によって、次数の異なる微分形式...
.. [*] この段階では、まだ外微分とは何か、具体的に示してい...
いきなりですが、関数の全微分を求める計算を思い出しましょ...
<tex>
d\omega_{0} = \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\par...
</tex>
よく見ると、これは一次微分形式の形になっていますね。そこ...
.. [*] 今までの人生で、全微分を計算したことは何度もあると...
.. admonition:: definition
1. $0$ 次微分形式 $\omega _{0}=f$ に対し、 $df=\frac{\pa...
2. $1$ 次微分形式 $\omega _{1}= fdx+gdy+hdz$ に対し、 $d...
3. $2$ 次微分形式 $\omega _{2}= Pdy \land dz + Q dz \lan...
4. $3$ 次微分形式 $\omega _{3}= \Theta dx \land dy \lan...
5. 任意の次数の微分形式について $d(d\omega)=0$ とする。
五番目の性質は、 ポアンカレの補題_ として知られるもので、...
<tex>
d\omega _{1} &= d(f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz) \\
& = df \land dx + dg \land dy + dh \land dz \\
& = \left( \frac{\partial f}{\partial x}dx +
\frac{\partial f}{\partial y}dy +
\frac{\partial f}{\partial z}dz \right) \land dx
+
\left( \frac{\partial g}{\partial x}dx +
\frac{\partial g}{\partial y}dy +
\frac{\partial g}{\partial z}dz \right) \land dy
+
\left( \frac{\partial h}{\partial x}dx +
\frac{\partial h}{\partial y}dy +
\frac{\partial h}{\partial z}dz \right) \land dz \\
&= \frac{\partial f}{\partial y}dy \land dx
+ \frac{\partial f}{\partial z}dz \land dx
+ \frac{\partial g}{\partial x}dx \land dy
+ \frac{\partial g}{\partial z}dz \land dy
+ \frac{\partial h}{\partial x}dx \land dz
+ \frac{\partial h}{\partial y}dy \land dz \\
&= \left( \frac{\partial h}{\partial y} - \frac{\partial ...
\left( \frac{\partial f}{\partial z} - \frac{\partial h}{...
dz \land dx +
\left( \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}...
\right) dx \land dy \tag{5}
</tex>
確かに、 $d\omega_{1}$ は二次微分形式になっていることが分...
<tex>
d\omega _{2} & =
d( P(x,y,z)dy \land dz +Q(x,y,z)dz \land dx +R(x,y,z)dx \...
&= dP \land dy \land dz +dQ \land dz \land dx +dR \land d...
&= \left( \frac{\partial P}{\partial x}dx +
\frac{\partial P}{\partial y}dy +
\frac{\partial P}{\partial z}dz \right) \land dy \land dz
+ \left( \frac{\partial Q}{\partial x}dx +
\frac{\partial Q}{\partial y}dy +
\frac{\partial Q}{\partial z}dz \right) \land dz \land dx
+ \left( \frac{\partial R}{\partial x}dx +
\frac{\partial R}{\partial y}dy +
\frac{\partial R}{\partial z}dz \right) \land dx \land dy...
&= \frac{\partial P}{\partial x}dx \land dy \land dz
+ \frac{\partial Q}{\partial y}dy \land dz \land dx
+ \frac{\partial R}{\partial z}dz \land dx \land dy \\
&= \left(
\frac{\partial P}{\partial x}
+ \frac{\partial Q}{\partial y}
+ \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx \land dy \land...
</tex>
これは三次微分形式になっています。最後の段で、基底の順列...
<tex>
d\omega_{3} &= d(\Theta (x,y,z)dx\land dy \land dz ) \\
&= d\Theta \land dx \land dy \land dz \\
&= \left(
\frac{\partial \Theta}{\partial x} dx
+ \frac{\partial \Theta}{\partial y}dy
+ \frac{\partial \Theta}{\partial z}dz \right) \land dx ...
& = 0 \tag{7}
</tex>
三次微分形式の外微分が $0$ になるのは、 $R^{3}$ 上の微分...
.. important::
外微分は微分形式の次数を一つ上げます。(写像 $d: \ \land...
.. [*] 式 $(4)(5)(6)$ の成分を見て、 ${\rm grad}, \ {\rm ...
練習問題
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式 $(5)$ と式 $(6)$ にもう一回外微分を施し、 $d(d\omega)=...
全微分の座標不変性
=========================================================...
あまり考えたことがなかったかも知れませんが、全微分は座標...
<tex>
df = \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\...
</tex>
もし、適当な座標変換をして $x=x(u,v,z), \ y=y(u,v,z), \ z...
<tex>
df &= \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{...
& = \frac{\partial f}{\partial x}\left( \frac{\partial x}...
+ \frac{\partial x}{\partial v}dv
+ \frac{\partial x}{\partial w}dw \right)
+ \frac{\partial f}{\partial y}
\left( \frac{\partial y}{\partial u}du
+ \frac{\partial y}{\partial v}dv
+ \frac{\partial y}{\partial w}dw \right)
+ \frac{\partial f}{\partial z}
\left( \frac{\partial z}{\partial u}du
+ \frac{\partial z}{\partial v}dv
+ \frac{\partial z}{\partial w}dw \right) \\
& = \left( \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}...
+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partia...
+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial...
\right) du +
\left( \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\pa...
+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partia...
+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial...
\right) dv
+
\left( \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\pa...
+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partia...
+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial...
\right) dw \\
&= \frac{\partial f}{\partial u}du+ \frac{\partial f}{\pa...
</tex>
これより $\frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial...
.. admonition:: theorem
全微分は、座標変換に対して不変です。
薄々予想されることですが、全微分の持つこの性質は、全微分...
.. [*] もちろん、ここで用いた座標変換とは、 $(x,y,z)$ と ...
.. _ポアンカレの補題: http://www12.plala.or.jp/ksp/differ...
.. _外微分の座標不変性: http://www12.plala.or.jp/ksp/diff...
.. _`もう一度grad,div,rot`: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _微分形式の引き戻し: http://www12.plala.or.jp/ksp/diff...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: ExteriorDiff@@
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