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外積代数
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これから、今まで知っていた代数と少し異なる新しい代数を勉...
復習・ベクトルの外積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
外積代数を見る前に、三次元ユークリッド空間における、ベク...
【参考・ベクトルの外積】
1. $\bm{A} \times \bm{A} = 0 $
2. $\bm{A} \times \bm{B} = - \bm{B} \times \bm{A}$ ( *...
3. $(a\bm{A} + b \bm{B})\times \bm{C} = a\bm{A} \times ...
4. $\bm{A} \times \bm{B} \perp \bm{A}, \ \bm{B}$
しかし、このような計算は三次元ユークリッド空間以外では、...
このように $1,2,3$ のルールだけに従うことにした、より一般...
.. [*] このように、ベクトルの外積の計算を自然に拡張した形...
ウェッジ積の計算
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
このように定義したウェッジ積がどのような演算規則を満たす...
1. $\alpha \land \alpha = 0$ (前セクションのルール $1$ )
2. $ \alpha \land \beta = - \beta \land \alpha$ (前セク...
3. $ (a \alpha + b \beta ) \land \gamma= a \alpha \land ...
4. $(\alpha \land \beta )\land \gamma =\alpha \land ( \b...
外積代数とは、ベクトル空間 $V$ の元が、このようなルールに...
私達がよく知っていたベクトルの外積の計算では、ベクトル $\...
<tex>
\alpha , \beta \ \in V \ \ \longmapsto \ \ \alpha \land \...
</tex>
補足ですが、ルール $1$ は、ルール $2$ で $\alpha = \beta$...
.. [*] なんだか、ベクトルの外積と違うことが増えてきました...
.. [*] 実は、ベクトルの外積はウェッジ積から導ける特別な場...
基底を用いた表現と高次のウェッジ積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
いま、 $V$ を実数上の $n$ 次元のベクトル空間とすると、 $V...
さて、 $V$ から二階の外積空間 $V \land V$ を構成してみま...
<tex>
A_{ij}\sigma^{i} \land \sigma^{j} \tag{2}
</tex>
基底には ${}_{n}C_{2}$ 個の種類があるはずです。
.. [*] $n$ 個の $\sigma^{i}$ から、二つ選んで $\sigma^{i}...
これより、 $V \land V$ の次元は ${}_{n}C_{2}$ だと言えま...
<tex>
{\rm dim} (V \land V ) = {}_{n}C_{2} = \frac{1}{2}n(n-1) ...
</tex>
同様に、 $V \land V \land V$ の基底は一般に $\sigma^{i} \...
<tex>
\sigma^{1} \land \sigma^{2} \land ...\land \sigma^{i} \la...
& = \pm \sigma^{1} \land \sigma^{2} \land ...\land ( \sig...
& = 0
</tex>
一行目から二行目へは、ウェッジ積のルール $2$ を使って順番...
.. important::
一般に $V$ を $n$ 次元のベクトル空間とすると、外積代数の...
ここまでの説明を読んで、 テンソル代数_ を思い出した人がい...
いま考えている外積代数でも、もとのベクトル空間 $V$ から $...
.. [*] あとで見るように、実際、外積空間はテンソル空間に『...
例えば三次元のベクトル空間では
---------------------------------------------------------...
例えば、三次元のベクトル空間 $V$ から外積代数を構成してみ...
.. _ベクトル空間と線形写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _七次元の外積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _テンソル代数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _ホッジ作用素: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-06@@
@@category: 微分形式@@
@@id: ExteriorAlgebra@@
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外積代数
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これから、今まで知っていた代数と少し異なる新しい代数を勉...
復習・ベクトルの外積
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外積代数を見る前に、三次元ユークリッド空間における、ベク...
【参考・ベクトルの外積】
1. $\bm{A} \times \bm{A} = 0 $
2. $\bm{A} \times \bm{B} = - \bm{B} \times \bm{A}$ ( *...
3. $(a\bm{A} + b \bm{B})\times \bm{C} = a\bm{A} \times ...
4. $\bm{A} \times \bm{B} \perp \bm{A}, \ \bm{B}$
しかし、このような計算は三次元ユークリッド空間以外では、...
このように $1,2,3$ のルールだけに従うことにした、より一般...
.. [*] このように、ベクトルの外積の計算を自然に拡張した形...
ウェッジ積の計算
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このように定義したウェッジ積がどのような演算規則を満たす...
1. $\alpha \land \alpha = 0$ (前セクションのルール $1$ )
2. $ \alpha \land \beta = - \beta \land \alpha$ (前セク...
3. $ (a \alpha + b \beta ) \land \gamma= a \alpha \land ...
4. $(\alpha \land \beta )\land \gamma =\alpha \land ( \b...
外積代数とは、ベクトル空間 $V$ の元が、このようなルールに...
私達がよく知っていたベクトルの外積の計算では、ベクトル $\...
<tex>
\alpha , \beta \ \in V \ \ \longmapsto \ \ \alpha \land \...
</tex>
補足ですが、ルール $1$ は、ルール $2$ で $\alpha = \beta$...
.. [*] なんだか、ベクトルの外積と違うことが増えてきました...
.. [*] 実は、ベクトルの外積はウェッジ積から導ける特別な場...
基底を用いた表現と高次のウェッジ積
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いま、 $V$ を実数上の $n$ 次元のベクトル空間とすると、 $V...
さて、 $V$ から二階の外積空間 $V \land V$ を構成してみま...
<tex>
A_{ij}\sigma^{i} \land \sigma^{j} \tag{2}
</tex>
基底には ${}_{n}C_{2}$ 個の種類があるはずです。
.. [*] $n$ 個の $\sigma^{i}$ から、二つ選んで $\sigma^{i}...
これより、 $V \land V$ の次元は ${}_{n}C_{2}$ だと言えま...
<tex>
{\rm dim} (V \land V ) = {}_{n}C_{2} = \frac{1}{2}n(n-1) ...
</tex>
同様に、 $V \land V \land V$ の基底は一般に $\sigma^{i} \...
<tex>
\sigma^{1} \land \sigma^{2} \land ...\land \sigma^{i} \la...
& = \pm \sigma^{1} \land \sigma^{2} \land ...\land ( \sig...
& = 0
</tex>
一行目から二行目へは、ウェッジ積のルール $2$ を使って順番...
.. important::
一般に $V$ を $n$ 次元のベクトル空間とすると、外積代数の...
ここまでの説明を読んで、 テンソル代数_ を思い出した人がい...
いま考えている外積代数でも、もとのベクトル空間 $V$ から $...
.. [*] あとで見るように、実際、外積空間はテンソル空間に『...
例えば三次元のベクトル空間では
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例えば、三次元のベクトル空間 $V$ から外積代数を構成してみ...
.. _ベクトル空間と線形写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _七次元の外積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _テンソル代数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _ホッジ作用素: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-06@@
@@category: 微分形式@@
@@id: ExteriorAlgebra@@
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