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加速度座標系と慣性力
=========================================================...
剛体の回転シーリズ第6弾です。前の記事は 慣性モーメント_ ...
次の記事は オイラー方程式_ です。
注:この記事は、「 回転する剛体上の座標_ (Joh著)」とこれ...
同じことを扱った記事です。
加速度座標系と慣性力
==========================
あなたが巨人の指先に乗っているとします。
ただし、きちんと固定されていて振り回されても落ちないよう...
巨人が指を振っているときに、ボールをなげてみるとどうなる...
あなたにとってボールは放物線を描くことなく、複雑な軌道を...
これはあなたが慣性座標系 [*]_ でなく、加速度座標系にいる...
このとき加速度座標系から見たボールは、重力以外の力も受け...
複雑な軌道を描いたと考えることができます。
その見かけの力を慣性力と言います。
.. [*] 慣性座標系とは、ニュートンの運動第一法則がなりたつ...
座標の変換
==========================
慣性力は座標の変換を数式で表すことにより求められます。
ここでは、直交座標系を採用します。
加速度座標系の慣性座標系に対する運動は、二つの運動に分解...
ひとつは、原点の移動(座標の平行移動)。
もうひとつは、向きの変化(座標の回転)。
原点の移動は、慣性座標系の原点を始点とした位置ベクトル [*...
加速度座標系から見たベクトル量を考えたとき、
ベクトル量の中でも位置ベクトルのみが影響を受けます。
.. [*] 位置ベクトルとは、ベクトルの中でも特に始点を固定し...
向きの変化は、角速度ベクトル $\bm{\omega}$ で記述できます。
ただし、一般的にはこの角速度ベクトルは時間と共に向きと大...
同じく加速度座標系から見たベクトル量を考えたとき、
この変化による影響は位置ベクトルを含むすべての種類のベク...
慣性座標の単位長さの基底ベクトルを、「慣性座標系」を英語...
$\bm{i}_I$ 、 $\bm{j}_I$ 、 $\bm{k}_I$ で表わします。
一方、加速度座標系の時間に依存して向きを変える単位長さの...
$\bm{i}(t)$ 、 $\bm{j}(t)$ 、 $\bm{k}(t)$ で表わします。
以下、これを略記して、
<tex>
\bm{i} = \bm{i}(t) \ ,\ \ \bm{j} = \bm{j}(t) \ ,\ \ \bm{k...
</tex>
と書きます。
ここで、この空間内にあるあるベクトル $\bm{A}$ (これは位...
原点の位置は問題としないのです。)を考えます。すると、ふ...
<tex>
\bm{A} &= A_{Ix}\bm{i}_I +A_{Iy}\bm{j}_I +A_{Iz}\bm{k}_I \\
&= A_x \bm{i} + A_y \bm{j} + A_z \bm{k}
</tex>
ここで、 $\bm{A}$ の時間変化を見るため時間微分をとってみ...
注意するべき点は、
ひとつは、慣性座標系の基底ベクトルは変化しない為、時間微...
もうひとつは、角速度ベクトル $\omega$ で回転する座標系で...
基底ベクトル $\bm{i}$ の始点がどこにあっても、
結局、時間微分は、時間変化前と時間変化後のふたつのベクト...
始点をそろえたときの変化量をみるので、その角度変化のみが...
いくつか前の記事 角運動量を持つ系の例_ で出てきた(位置...
の時間微分の公式、
.. [*] 座標の回転が加速度座標系から見たベクトルに与える影...
<tex>
\bm{v} = \frac{d\bm{r}}{dt} = \bm{\omega} \times \bm{r}
</tex>
を適用できて、
<tex>
\frac{d\bm{i}}{dt} = \bm{\omega} \times \bm{i} \ ,\ \
\frac{d\bm{j}}{dt} = \bm{\omega} \times \bm{j} \ ,\ \
\frac{d\bm{k}}{dt} = \bm{\omega} \times \bm{k}
</tex>
です。
よって、ベクトル $\bm{A}$ の時間微分は慣性座標系では次の...
<tex>
\frac{d\bm{A}}{dt} &= \frac{d}{dt}(A_{Ix}\bm{i}_I +A_{Iy}...
&= (\frac{dA_{Ix}}{dt}\bm{i}_I +\frac{dA_{Iy}}{dt}\bm{j}_...
+ (A_{Ix}\frac{d\bm{i}_I}{dt} +A_{Iy}\frac{d\bm{j}_I}{dt}...
&= \frac{dA_{Ix}}{dt}\bm{i}_I +\frac{dA_{Iy}}{dt}\bm{j}_I...
</tex>
これは、普通のベクトルの微分ですね。一方、加速度座標系で...
<tex>
\frac{d\bm{A}}{dt} &= \frac{d}{dt}(A_{x}\bm{i} +A_{y}\bm{...
&= (\frac{dA_{x}}{dt}\bm{i} +\frac{dA_{y}}{dt}\bm{j} +\fr...
+ (A_{x}\frac{d\bm{i}}{dt} +A_{y}\frac{d\bm{j}}{dt} +A_{z...
&= \frac{dA_{x}}{dt}\bm{i} +\frac{dA_{y}}{dt}\bm{j} +\fra...
+ \bm{\omega} \times (A_{x}\bm{i} +A_{y}\bm{j} +A_{z}\bm{...
&= \frac{\delta \bm{A}}{\delta t} + \bm{\omega} \times \b...
</tex>
ここで、最後の行の $\frac{\delta \bm{A}}{\delta t}$ は、...
簡潔に書くと、
<tex>
\frac{d\bm{A}}{dt} = \frac{\delta \bm{A}}{\delta t} + \bm...
</tex>
という公式が得られました。
ベクトルの時間変化は、その座標系から見た変化に、座標系自...
加速度座標から見た運動方程式
=============================
こうして得られた式で、加速度座標系から見た運動方程式を考...
元となる式は、質点 $m$ の位置 $\bm{r}_I$ の変化に関する方...
<tex>
m \frac{d^2\bm{r}_I}{dt^2}=\bm{F} \tag{##}
</tex>
この左辺は、位置ベクトルですから、座標の原点の移動のこと...
慣性座標系から見た加速度座標系の原点の位置が $\bm{R}$ だ...
慣性、加速度座標系から見た質点の位置は、それぞれ $\bm{r}_...
<tex>
\bm{r}_I = \bm{r} + \bm{R}
</tex>
の関係が成り立ちます。二回時間微分を施すと、
<tex>
\frac{d^2\bm{r}_I}{dt^2} = \frac{d^2\bm{r}}{dt^2} + \frac...
</tex>
右辺第一項は加速度座標系から見た位置なので、加速度座標系...
<tex>
\frac{d^2 \bm{r}}{dt^2}
&= \frac{d}{dt}(\frac{d\bm{r}}{dt}) \\
&= \frac{d}{dt}(\frac{\delta \bm{r}}{\delta t} + \bm{\ome...
&= \frac{\delta}{\delta t}(\frac{\delta \bm{r}}{\delta t}...
+ \bm{\omega} \times (\frac{\delta \bm{r}}{\delta t} + \b...
&= \frac{\delta^2 \bm{r}}{\delta t^2} + \frac{\delta \bm{...
+ 2 \bm{\omega} \times \frac{\delta \bm{r}}{\delta t} + ...
</tex>
ここで、式 $( 1 )$ で $\bm{A} = \bm{\omega}$ として、
<tex>
\frac{d \bm{\omega}}{dt} = \frac{\delta \bm{\omega}}{\del...
</tex>
が得られます。また、
<tex>
\frac{\delta^2 \bm{r}}{\delta t^2} &= \frac{d^2 x}{dt^2}\...
</tex>
という意味です。式 $( 3 )$ に式 $( 4 )$ を代入して、
<tex>
\frac{d^2\bm{r}_I}{dt^2} = \frac{\delta^2 \bm{r}}{\delta ...
+ 2 \bm{\omega} \times \frac{\delta \bm{r}}{\delta t} + ...
</tex>
これと式 $( 2 )$ から、
<tex>
m \frac{\delta^2 \bm{r}}{\delta t^2} = \bm{F} -m [\bm{\om...
+ 2 \bm{\omega} \times \frac{\delta \bm{r}}{\delta t} + ...
</tex>
最初の話の繰り返しになりますが、この式の意味するところは、
加速度座標系から見た質点が軌道を書くとき、そこには外力 $\...
見えるということを表していて、この見かけの力のことを「慣...
式 $( 6 )$ の右辺の中カッコ内の力の名前は、
第一項 $ -m \bm{\omega} \times ( \bm{\omega} \times \bm{r...
第二項 $-2m \bm{\omega} \times \frac{\delta \bm{r}}{\del...
第三項 $-m \dot{\bm{\omega}} \times \bm{r} $ :オイラー力...
第四項 $-m \frac{d^2\bm{R}}{dt^2} $ :直進力
次の話では、回転する物体に張り付いた加速度座標系から見た...
続きは こちら_
@@reference: V.D.バーガー・M.G.オルソン,力学 ‐新しい視点...
.. _角運動量を持つ系の例: http://hooktail.sub.jp/mechanic...
.. _慣性モーメント: http://hooktail.sub.jp/mechanics/mome...
.. _回転する剛体上の座標: http://hooktail.sub.jp/mechanic...
.. _オイラー方程式: http://hooktail.sub.jp/mechanics/eule...
.. _こちら: http://hooktail.sub.jp/mechanics/eulerEquation/
@@author:クロメル@@
@@accept:2007-10-02@@
@@category:力学@@
@@id:acCoordinates@@
終了行:
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加速度座標系と慣性力
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剛体の回転シーリズ第6弾です。前の記事は 慣性モーメント_ ...
次の記事は オイラー方程式_ です。
注:この記事は、「 回転する剛体上の座標_ (Joh著)」とこれ...
同じことを扱った記事です。
加速度座標系と慣性力
==========================
あなたが巨人の指先に乗っているとします。
ただし、きちんと固定されていて振り回されても落ちないよう...
巨人が指を振っているときに、ボールをなげてみるとどうなる...
あなたにとってボールは放物線を描くことなく、複雑な軌道を...
これはあなたが慣性座標系 [*]_ でなく、加速度座標系にいる...
このとき加速度座標系から見たボールは、重力以外の力も受け...
複雑な軌道を描いたと考えることができます。
その見かけの力を慣性力と言います。
.. [*] 慣性座標系とは、ニュートンの運動第一法則がなりたつ...
座標の変換
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慣性力は座標の変換を数式で表すことにより求められます。
ここでは、直交座標系を採用します。
加速度座標系の慣性座標系に対する運動は、二つの運動に分解...
ひとつは、原点の移動(座標の平行移動)。
もうひとつは、向きの変化(座標の回転)。
原点の移動は、慣性座標系の原点を始点とした位置ベクトル [*...
加速度座標系から見たベクトル量を考えたとき、
ベクトル量の中でも位置ベクトルのみが影響を受けます。
.. [*] 位置ベクトルとは、ベクトルの中でも特に始点を固定し...
向きの変化は、角速度ベクトル $\bm{\omega}$ で記述できます。
ただし、一般的にはこの角速度ベクトルは時間と共に向きと大...
同じく加速度座標系から見たベクトル量を考えたとき、
この変化による影響は位置ベクトルを含むすべての種類のベク...
慣性座標の単位長さの基底ベクトルを、「慣性座標系」を英語...
$\bm{i}_I$ 、 $\bm{j}_I$ 、 $\bm{k}_I$ で表わします。
一方、加速度座標系の時間に依存して向きを変える単位長さの...
$\bm{i}(t)$ 、 $\bm{j}(t)$ 、 $\bm{k}(t)$ で表わします。
以下、これを略記して、
<tex>
\bm{i} = \bm{i}(t) \ ,\ \ \bm{j} = \bm{j}(t) \ ,\ \ \bm{k...
</tex>
と書きます。
ここで、この空間内にあるあるベクトル $\bm{A}$ (これは位...
原点の位置は問題としないのです。)を考えます。すると、ふ...
<tex>
\bm{A} &= A_{Ix}\bm{i}_I +A_{Iy}\bm{j}_I +A_{Iz}\bm{k}_I \\
&= A_x \bm{i} + A_y \bm{j} + A_z \bm{k}
</tex>
ここで、 $\bm{A}$ の時間変化を見るため時間微分をとってみ...
注意するべき点は、
ひとつは、慣性座標系の基底ベクトルは変化しない為、時間微...
もうひとつは、角速度ベクトル $\omega$ で回転する座標系で...
基底ベクトル $\bm{i}$ の始点がどこにあっても、
結局、時間微分は、時間変化前と時間変化後のふたつのベクト...
始点をそろえたときの変化量をみるので、その角度変化のみが...
いくつか前の記事 角運動量を持つ系の例_ で出てきた(位置...
の時間微分の公式、
.. [*] 座標の回転が加速度座標系から見たベクトルに与える影...
<tex>
\bm{v} = \frac{d\bm{r}}{dt} = \bm{\omega} \times \bm{r}
</tex>
を適用できて、
<tex>
\frac{d\bm{i}}{dt} = \bm{\omega} \times \bm{i} \ ,\ \
\frac{d\bm{j}}{dt} = \bm{\omega} \times \bm{j} \ ,\ \
\frac{d\bm{k}}{dt} = \bm{\omega} \times \bm{k}
</tex>
です。
よって、ベクトル $\bm{A}$ の時間微分は慣性座標系では次の...
<tex>
\frac{d\bm{A}}{dt} &= \frac{d}{dt}(A_{Ix}\bm{i}_I +A_{Iy}...
&= (\frac{dA_{Ix}}{dt}\bm{i}_I +\frac{dA_{Iy}}{dt}\bm{j}_...
+ (A_{Ix}\frac{d\bm{i}_I}{dt} +A_{Iy}\frac{d\bm{j}_I}{dt}...
&= \frac{dA_{Ix}}{dt}\bm{i}_I +\frac{dA_{Iy}}{dt}\bm{j}_I...
</tex>
これは、普通のベクトルの微分ですね。一方、加速度座標系で...
<tex>
\frac{d\bm{A}}{dt} &= \frac{d}{dt}(A_{x}\bm{i} +A_{y}\bm{...
&= (\frac{dA_{x}}{dt}\bm{i} +\frac{dA_{y}}{dt}\bm{j} +\fr...
+ (A_{x}\frac{d\bm{i}}{dt} +A_{y}\frac{d\bm{j}}{dt} +A_{z...
&= \frac{dA_{x}}{dt}\bm{i} +\frac{dA_{y}}{dt}\bm{j} +\fra...
+ \bm{\omega} \times (A_{x}\bm{i} +A_{y}\bm{j} +A_{z}\bm{...
&= \frac{\delta \bm{A}}{\delta t} + \bm{\omega} \times \b...
</tex>
ここで、最後の行の $\frac{\delta \bm{A}}{\delta t}$ は、...
簡潔に書くと、
<tex>
\frac{d\bm{A}}{dt} = \frac{\delta \bm{A}}{\delta t} + \bm...
</tex>
という公式が得られました。
ベクトルの時間変化は、その座標系から見た変化に、座標系自...
加速度座標から見た運動方程式
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こうして得られた式で、加速度座標系から見た運動方程式を考...
元となる式は、質点 $m$ の位置 $\bm{r}_I$ の変化に関する方...
<tex>
m \frac{d^2\bm{r}_I}{dt^2}=\bm{F} \tag{##}
</tex>
この左辺は、位置ベクトルですから、座標の原点の移動のこと...
慣性座標系から見た加速度座標系の原点の位置が $\bm{R}$ だ...
慣性、加速度座標系から見た質点の位置は、それぞれ $\bm{r}_...
<tex>
\bm{r}_I = \bm{r} + \bm{R}
</tex>
の関係が成り立ちます。二回時間微分を施すと、
<tex>
\frac{d^2\bm{r}_I}{dt^2} = \frac{d^2\bm{r}}{dt^2} + \frac...
</tex>
右辺第一項は加速度座標系から見た位置なので、加速度座標系...
<tex>
\frac{d^2 \bm{r}}{dt^2}
&= \frac{d}{dt}(\frac{d\bm{r}}{dt}) \\
&= \frac{d}{dt}(\frac{\delta \bm{r}}{\delta t} + \bm{\ome...
&= \frac{\delta}{\delta t}(\frac{\delta \bm{r}}{\delta t}...
+ \bm{\omega} \times (\frac{\delta \bm{r}}{\delta t} + \b...
&= \frac{\delta^2 \bm{r}}{\delta t^2} + \frac{\delta \bm{...
+ 2 \bm{\omega} \times \frac{\delta \bm{r}}{\delta t} + ...
</tex>
ここで、式 $( 1 )$ で $\bm{A} = \bm{\omega}$ として、
<tex>
\frac{d \bm{\omega}}{dt} = \frac{\delta \bm{\omega}}{\del...
</tex>
が得られます。また、
<tex>
\frac{\delta^2 \bm{r}}{\delta t^2} &= \frac{d^2 x}{dt^2}\...
</tex>
という意味です。式 $( 3 )$ に式 $( 4 )$ を代入して、
<tex>
\frac{d^2\bm{r}_I}{dt^2} = \frac{\delta^2 \bm{r}}{\delta ...
+ 2 \bm{\omega} \times \frac{\delta \bm{r}}{\delta t} + ...
</tex>
これと式 $( 2 )$ から、
<tex>
m \frac{\delta^2 \bm{r}}{\delta t^2} = \bm{F} -m [\bm{\om...
+ 2 \bm{\omega} \times \frac{\delta \bm{r}}{\delta t} + ...
</tex>
最初の話の繰り返しになりますが、この式の意味するところは、
加速度座標系から見た質点が軌道を書くとき、そこには外力 $\...
見えるということを表していて、この見かけの力のことを「慣...
式 $( 6 )$ の右辺の中カッコ内の力の名前は、
第一項 $ -m \bm{\omega} \times ( \bm{\omega} \times \bm{r...
第二項 $-2m \bm{\omega} \times \frac{\delta \bm{r}}{\del...
第三項 $-m \dot{\bm{\omega}} \times \bm{r} $ :オイラー力...
第四項 $-m \frac{d^2\bm{R}}{dt^2} $ :直進力
次の話では、回転する物体に張り付いた加速度座標系から見た...
続きは こちら_
@@reference: V.D.バーガー・M.G.オルソン,力学 ‐新しい視点...
.. _角運動量を持つ系の例: http://hooktail.sub.jp/mechanic...
.. _慣性モーメント: http://hooktail.sub.jp/mechanics/mome...
.. _回転する剛体上の座標: http://hooktail.sub.jp/mechanic...
.. _オイラー方程式: http://hooktail.sub.jp/mechanics/eule...
.. _こちら: http://hooktail.sub.jp/mechanics/eulerEquation/
@@author:クロメル@@
@@accept:2007-10-02@@
@@category:力学@@
@@id:acCoordinates@@
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