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#rst2hooktail_source
===========================================
運動群
===========================================
古典的なユークリッド幾何学では、図形を移動すると言ったら...
1. 平行移動
2. 回転移動
3. 線対称移動
これらの移動方法は、以下に順に見ていくように群をなします...
.. [*] 結晶学では結晶格子の構造を考えるのに点群と言われる...
平行移動
--------------------------------------------
まずは図形の平行移動が群をなすことを見てみましょう。
1. 異なる平行移動を連続的に行っても、やはりこれも一種の平...
2. 結合則がなりたちます。3種類の平行移動を順番に行う場合...
.. image:: Joh-Translat2.gif
:align: center
3. 単位元があります。 (動かさないことです。)
4. 逆元があります。 (反対向きに平行移動することです。)
回転移動
---------------------------------------------
次に、回転移動も群をなすことを見てみます。
1. 図形を連続的に回転させても、結果はやはり回転変換になり...
2. 結合則がなりたちます。
3. 単位元があります。 (回さないことです。)
4. 逆元があります。 (反対向きに回すことです。)
線対称移動
---------------------------------------------
線対称移動も群をなすことも確認します。(実は、 群の定義_ ...
1. 図形を線対称移動させたものを、もう一回線対称移動させる...
2. 結合則がなりたちます。
3. 単位元があります。(線対称移動させない=なんにもしない...
4. 線対称移動の操作 $T$ の逆元は、 $T$ 自身です。
式で書くと、3.と4.は次のように書けます。
<tex>
T\cdot T = T^{2} = I
</tex>
<tex>
T^{-1} = T
</tex>
ある一本の線に対して、線対称移動は、 $\{ T,I\} $ という、...
合同変換
--------------------------------------------------
ユークリッド幾何では、平行移動、回転、線対称移動の3つの...
補足:合同変換の行列表示
--------------------------------------------------
線形代数の復習になりますが、図形の合同変換は行列で表記す...
合同変換によって、点 $(x,y)$ が点 $(X,Y)$ に移動されたこ...
1. 回転変換(それぞれ、 $z$ 軸、 $y$ 軸、 $x$ 軸まわりに角...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
X \\
Y \\
Z \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
</tex>
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
X \\
Y \\
Z \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos \theta & 0 & \sin \theta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin \theta & 0 & \cos \theta \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
</tex>
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
X \\
Y \\
Z \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & -\sin \theta \\
0 & \sin \theta & \cos \theta \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
</tex>
2. 平行移動( $x$ 軸方向へ $a$ , $y$ 軸方向へ $b$ 、 $z$ ...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
X \\
Y \\
Z \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{ccc}
a \\
b \\
c \\
\end{array}
\right)
</tex>
四次の行列で書いても良い。
<tex>
\left(
\begin{array}{cccc}
X \\
Y \\
Z \\
1 \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & a \\
0 & 1 & 0 & b \\
0 & 0 & 1 & c \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z \\
1 \\
\end{array}
\right)
</tex>
3. 対称移動(xz平面、yz平面、xy平面に関する面対称移動。そ...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
X \\
Y \\
Z \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
</tex>
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
X \\
Y \\
Z \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
</tex>
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
X \\
Y \\
Z \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
</tex>
.. _三次方程式の解の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
.. _群の定義: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/GroupA...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: MotionGroup@@
終了行:
#rst2hooktail_source
===========================================
運動群
===========================================
古典的なユークリッド幾何学では、図形を移動すると言ったら...
1. 平行移動
2. 回転移動
3. 線対称移動
これらの移動方法は、以下に順に見ていくように群をなします...
.. [*] 結晶学では結晶格子の構造を考えるのに点群と言われる...
平行移動
--------------------------------------------
まずは図形の平行移動が群をなすことを見てみましょう。
1. 異なる平行移動を連続的に行っても、やはりこれも一種の平...
2. 結合則がなりたちます。3種類の平行移動を順番に行う場合...
.. image:: Joh-Translat2.gif
:align: center
3. 単位元があります。 (動かさないことです。)
4. 逆元があります。 (反対向きに平行移動することです。)
回転移動
---------------------------------------------
次に、回転移動も群をなすことを見てみます。
1. 図形を連続的に回転させても、結果はやはり回転変換になり...
2. 結合則がなりたちます。
3. 単位元があります。 (回さないことです。)
4. 逆元があります。 (反対向きに回すことです。)
線対称移動
---------------------------------------------
線対称移動も群をなすことも確認します。(実は、 群の定義_ ...
1. 図形を線対称移動させたものを、もう一回線対称移動させる...
2. 結合則がなりたちます。
3. 単位元があります。(線対称移動させない=なんにもしない...
4. 線対称移動の操作 $T$ の逆元は、 $T$ 自身です。
式で書くと、3.と4.は次のように書けます。
<tex>
T\cdot T = T^{2} = I
</tex>
<tex>
T^{-1} = T
</tex>
ある一本の線に対して、線対称移動は、 $\{ T,I\} $ という、...
合同変換
--------------------------------------------------
ユークリッド幾何では、平行移動、回転、線対称移動の3つの...
補足:合同変換の行列表示
--------------------------------------------------
線形代数の復習になりますが、図形の合同変換は行列で表記す...
合同変換によって、点 $(x,y)$ が点 $(X,Y)$ に移動されたこ...
1. 回転変換(それぞれ、 $z$ 軸、 $y$ 軸、 $x$ 軸まわりに角...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
X \\
Y \\
Z \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
</tex>
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
X \\
Y \\
Z \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos \theta & 0 & \sin \theta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin \theta & 0 & \cos \theta \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
</tex>
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
X \\
Y \\
Z \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & -\sin \theta \\
0 & \sin \theta & \cos \theta \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
</tex>
2. 平行移動( $x$ 軸方向へ $a$ , $y$ 軸方向へ $b$ 、 $z$ ...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
X \\
Y \\
Z \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{ccc}
a \\
b \\
c \\
\end{array}
\right)
</tex>
四次の行列で書いても良い。
<tex>
\left(
\begin{array}{cccc}
X \\
Y \\
Z \\
1 \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & a \\
0 & 1 & 0 & b \\
0 & 0 & 1 & c \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z \\
1 \\
\end{array}
\right)
</tex>
3. 対称移動(xz平面、yz平面、xy平面に関する面対称移動。そ...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
X \\
Y \\
Z \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
</tex>
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
X \\
Y \\
Z \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
</tex>
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
X \\
Y \\
Z \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)
</tex>
.. _三次方程式の解の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
.. _群の定義: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/GroupA...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: MotionGroup@@
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