記事ソース/一様に帯電した無限平面板の作り出す電場(CO著)
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一様に帯電した無限平面板の作り出す電場
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この記事では「一様に帯電した無限平面板」が作り出す電場に...
平行平面板コンデンサを考えるときなどに応用できます。
------------------
状況設定
------------------
まずは状況を設定しましょう。
無限に広がった平面板を考えます。
この平面板は一様な平面電荷密度 $\sigma$ で帯電しています。
これは言い換えると単位面積あたり $\sigma$ の電荷があると...
求めたいのは、平面板から距離 $d$ だけ離れた点 ${\rm P}$ ...
.. figure:: co-electro-plane01.png
問題を考えるために座標系を設定しましょう。
空間の対称性から、平面板に垂直な方向に $z$ 軸をとります。
そして平面板上の適当な点を原点 $O$ としてとり、 $O$ を中...
-------------------
物理の問題
-------------------
では物理の問題を考えていきましょう。
電場は `重ね合わせの原理`_ が効きます。
なので、まず平面板上の原点から $r$ だけ離れた点 ${\rm Q}$...
.. _`重ね合わせの原理` : http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9...
点 ${\rm Q}$ の周りの微小面積 ${\rm d}A$ は
<tex>
{\rm d}A = r {\rm d}r {\rm d}\phi
</tex>
と表すことができます。この微小面積には $\sigma {\rm d}A$ ...
この電荷が点 ${\rm P}$ に作り出す電場の大きさ ${\rm d}E$ ...
<tex>
{\rm d}E & = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\sigma {\rm d...
& = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0}\frac{r{\rm d}r...
</tex>
となります。
空間の対称性から、 $z$ 方向以外の成分は全面積にわたって積...
したがって私たちは $z$ 方向の成分だけを計算すれば良いこと...
電場の $z$ 方向成分 ${\rm d}E_z$ は $\angle {\rm OPQ} \eq...
<tex>
{\rm d}E_z = {\rm d}E \cos \theta \label{eq2}
</tex>
と書けます。ここで $\cos \theta = d/\sqrt{r^2+d^2}$ です。
では平面板全体が ${\rm P}$ 点に作り出す電場を求めるために...
ここからは単なる計算です。
<tex>
E_z & = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0} \int_0^{2\pi} {\rm ...
& = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0} \int_0^{2\pi} {\rm ...
& = \frac{\sigma d}{2\epsilon_0} \left[ \frac{-1}{\sq...
& = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \label{eq3}
</tex>
となります。
実はこの結果は `ガウスの法則`_ を用いれば簡単に求めること...
ただしガウスの法則がいつも使えるとは限りませんので、この...
.. _`ガウスの法則`: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A...
------------------
結果
------------------
以上より、一様に帯電した無限平面板が点 ${\rm P}$ に作り出...
電場は平面板に垂直な向きで、その **大きさは距離** $d$ **...
結果はシンプルですが非常に応用範囲が広いので、覚えておい...
@@author: CO@@
@@accept: 査読中@@
@@category: 電磁気学@@
@@id: electro-infinite-plane@@
終了行:
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一様に帯電した無限平面板の作り出す電場
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この記事では「一様に帯電した無限平面板」が作り出す電場に...
平行平面板コンデンサを考えるときなどに応用できます。
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状況設定
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まずは状況を設定しましょう。
無限に広がった平面板を考えます。
この平面板は一様な平面電荷密度 $\sigma$ で帯電しています。
これは言い換えると単位面積あたり $\sigma$ の電荷があると...
求めたいのは、平面板から距離 $d$ だけ離れた点 ${\rm P}$ ...
.. figure:: co-electro-plane01.png
問題を考えるために座標系を設定しましょう。
空間の対称性から、平面板に垂直な方向に $z$ 軸をとります。
そして平面板上の適当な点を原点 $O$ としてとり、 $O$ を中...
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物理の問題
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では物理の問題を考えていきましょう。
電場は `重ね合わせの原理`_ が効きます。
なので、まず平面板上の原点から $r$ だけ離れた点 ${\rm Q}$...
.. _`重ね合わせの原理` : http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9...
点 ${\rm Q}$ の周りの微小面積 ${\rm d}A$ は
<tex>
{\rm d}A = r {\rm d}r {\rm d}\phi
</tex>
と表すことができます。この微小面積には $\sigma {\rm d}A$ ...
この電荷が点 ${\rm P}$ に作り出す電場の大きさ ${\rm d}E$ ...
<tex>
{\rm d}E & = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\sigma {\rm d...
& = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0}\frac{r{\rm d}r...
</tex>
となります。
空間の対称性から、 $z$ 方向以外の成分は全面積にわたって積...
したがって私たちは $z$ 方向の成分だけを計算すれば良いこと...
電場の $z$ 方向成分 ${\rm d}E_z$ は $\angle {\rm OPQ} \eq...
<tex>
{\rm d}E_z = {\rm d}E \cos \theta \label{eq2}
</tex>
と書けます。ここで $\cos \theta = d/\sqrt{r^2+d^2}$ です。
では平面板全体が ${\rm P}$ 点に作り出す電場を求めるために...
ここからは単なる計算です。
<tex>
E_z & = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0} \int_0^{2\pi} {\rm ...
& = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0} \int_0^{2\pi} {\rm ...
& = \frac{\sigma d}{2\epsilon_0} \left[ \frac{-1}{\sq...
& = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \label{eq3}
</tex>
となります。
実はこの結果は `ガウスの法則`_ を用いれば簡単に求めること...
ただしガウスの法則がいつも使えるとは限りませんので、この...
.. _`ガウスの法則`: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A...
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結果
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以上より、一様に帯電した無限平面板が点 ${\rm P}$ に作り出...
電場は平面板に垂直な向きで、その **大きさは距離** $d$ **...
結果はシンプルですが非常に応用範囲が広いので、覚えておい...
@@author: CO@@
@@accept: 査読中@@
@@category: 電磁気学@@
@@id: electro-infinite-plane@@
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