記事ソース/ローレンツ力は電流の作る磁場と静磁場との相互作用であること
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ローレンツ力は電流の作る磁場と静磁場との相互作用であること
==========================================================
今回は、長さ $\ell$ の直線電流が静磁場中 $\bm{B}=(0,B_0,0...
こうあるべき結果
================
下から上に静磁場 $B_0$ があり、奥から手前に $\ell$ の長さ...
右へに $x$ 軸、上に $y$ 軸があり、手前に $z$ 軸がある右手...
高校で習ったローレンツ力の式(の応用)は、
<tex>
\bm{F} = (- B_0 I \ell , 0 , 0 ) ...
</tex>
でした。それを磁場由来の力で説明できることを以下で示しま...
磁場の作る作用
==============
それには、マクスウェルの応力テンソルと言うものを使います...
<tex>
T_e = \varepsilon_0
\begin{pmatrix}
E_x^2-\bm{E}^2/2 & E_xE_y & E_x E_z \\
E_y E_x & E_y^2-\bm{E}^2/2 & E_y E_z \\
E_z E_x & E_z E_y & E_z^2 -\bm{E}^2/2
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
<tex>
T_m = \dfrac{1}{\mu_0}
\begin{pmatrix}
B_x^2-\bm{B}^2/2 & B_xB_y & B_x B_z \\
B_y B_x & B_y^2-\bm{B}^2/2 & B_y B_z \\
B_z B_x & B_z B_y & B_z^2 -\bm{B}^2/2
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
と表されるもので、ある閉曲面に作用する力 $\bm{F}$ は
<tex>
\bm{F} = \int (T_e + T_m) \cdot \bm{n} dS \tag{##}
</tex>
という計算により、力が求まります。今回は電場は存在しない...
まず、 $xy$ 平面で考えて、最後に $z$ 軸方向の積分をします...
<tex>
B 2 \pi r = \mu_0 I \\
B= \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} \tag{##}
</tex>
となり、平面座標 $xy$ で考えると、 :math:` x= r cos theta...
<tex>
\bm{B} &= \left( \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} \times - \sin \...
&= \left( \dfrac{-\mu_0 I y}{2 \pi r^2},\dfrac{\mu...
</tex>
ですから、
静磁場を考慮したトータルの磁場 $\bm{B}_t$ は、
<tex>
\bm{B}_t &= \left( \dfrac{-\mu_0 I y}{2 \pi r^2},B_0 + \...
</tex>
です。また、式(4)において、導線表面の閉曲面を考えて、
<tex>
\bm{n} dS &= (\cos \theta , \sin \theta) r d \theta \\
&= (x,y) d \theta \tag{##}
</tex>
です。 $r d \theta$ の $r$ は円筒座標のヤコビアンです。
さて、式(4)を考えるのですが $F_x$ に注目します。一気に書...
<tex>
F_x &= \dfrac{1}{\mu_0} \int T_{mxx} x + T_{mxy} y d \the...
&= \dfrac{1}{\mu_0} \int_{0}^{2\pi} \left( \dfrac{B_x^2}{...
&= \int_0^{2\pi} \left( \dfrac{\mu_0 I^2 y^2}{8 \pi^2 r^4...
&- \int_0^{2\pi} \left( \dfrac{B_0 I y}{2 \pi r^2} + \dfr...
&= - \int_0^{2\pi}\dfrac{\mu_0 I^2 (x^2+y^2)x}{8 \pi^2 r^...
</tex>
最後の結果の第一項と第二項はゼロになります。注目すべきは...
<tex>
F_x &= -0 -0 - \int_0^{2\pi} \dfrac{B_0 I (x^2+y^2)}{2 \p...
&= - \int_0^{2\pi} \dfrac{B_0 I}{2 \pi} d \theta \\
&= - B_0 I
\tag{##}
</tex>
となります。これを奥行き $\int_0^{\ell} dz$ の積分を行え...
<tex>
F_x = - B_0 I \ell
\tag{##}
</tex>
となり、式(1)に見事に一致しますね。 $\bm{F}$ の $y,z$ 成...
@@author:クロメル@@
@@accept:2015-10-16@@
@@category:電磁気学@@
@@id:lorentzForce@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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ローレンツ力は電流の作る磁場と静磁場との相互作用であること
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今回は、長さ $\ell$ の直線電流が静磁場中 $\bm{B}=(0,B_0,0...
こうあるべき結果
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下から上に静磁場 $B_0$ があり、奥から手前に $\ell$ の長さ...
右へに $x$ 軸、上に $y$ 軸があり、手前に $z$ 軸がある右手...
高校で習ったローレンツ力の式(の応用)は、
<tex>
\bm{F} = (- B_0 I \ell , 0 , 0 ) ...
</tex>
でした。それを磁場由来の力で説明できることを以下で示しま...
磁場の作る作用
==============
それには、マクスウェルの応力テンソルと言うものを使います...
<tex>
T_e = \varepsilon_0
\begin{pmatrix}
E_x^2-\bm{E}^2/2 & E_xE_y & E_x E_z \\
E_y E_x & E_y^2-\bm{E}^2/2 & E_y E_z \\
E_z E_x & E_z E_y & E_z^2 -\bm{E}^2/2
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
<tex>
T_m = \dfrac{1}{\mu_0}
\begin{pmatrix}
B_x^2-\bm{B}^2/2 & B_xB_y & B_x B_z \\
B_y B_x & B_y^2-\bm{B}^2/2 & B_y B_z \\
B_z B_x & B_z B_y & B_z^2 -\bm{B}^2/2
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
と表されるもので、ある閉曲面に作用する力 $\bm{F}$ は
<tex>
\bm{F} = \int (T_e + T_m) \cdot \bm{n} dS \tag{##}
</tex>
という計算により、力が求まります。今回は電場は存在しない...
まず、 $xy$ 平面で考えて、最後に $z$ 軸方向の積分をします...
<tex>
B 2 \pi r = \mu_0 I \\
B= \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} \tag{##}
</tex>
となり、平面座標 $xy$ で考えると、 :math:` x= r cos theta...
<tex>
\bm{B} &= \left( \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} \times - \sin \...
&= \left( \dfrac{-\mu_0 I y}{2 \pi r^2},\dfrac{\mu...
</tex>
ですから、
静磁場を考慮したトータルの磁場 $\bm{B}_t$ は、
<tex>
\bm{B}_t &= \left( \dfrac{-\mu_0 I y}{2 \pi r^2},B_0 + \...
</tex>
です。また、式(4)において、導線表面の閉曲面を考えて、
<tex>
\bm{n} dS &= (\cos \theta , \sin \theta) r d \theta \\
&= (x,y) d \theta \tag{##}
</tex>
です。 $r d \theta$ の $r$ は円筒座標のヤコビアンです。
さて、式(4)を考えるのですが $F_x$ に注目します。一気に書...
<tex>
F_x &= \dfrac{1}{\mu_0} \int T_{mxx} x + T_{mxy} y d \the...
&= \dfrac{1}{\mu_0} \int_{0}^{2\pi} \left( \dfrac{B_x^2}{...
&= \int_0^{2\pi} \left( \dfrac{\mu_0 I^2 y^2}{8 \pi^2 r^4...
&- \int_0^{2\pi} \left( \dfrac{B_0 I y}{2 \pi r^2} + \dfr...
&= - \int_0^{2\pi}\dfrac{\mu_0 I^2 (x^2+y^2)x}{8 \pi^2 r^...
</tex>
最後の結果の第一項と第二項はゼロになります。注目すべきは...
<tex>
F_x &= -0 -0 - \int_0^{2\pi} \dfrac{B_0 I (x^2+y^2)}{2 \p...
&= - \int_0^{2\pi} \dfrac{B_0 I}{2 \pi} d \theta \\
&= - B_0 I
\tag{##}
</tex>
となります。これを奥行き $\int_0^{\ell} dz$ の積分を行え...
<tex>
F_x = - B_0 I \ell
\tag{##}
</tex>
となり、式(1)に見事に一致しますね。 $\bm{F}$ の $y,z$ 成...
@@author:クロメル@@
@@accept:2015-10-16@@
@@category:電磁気学@@
@@id:lorentzForce@@
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