記事ソース/リー微分の導出方法(ベクトルと1形式)
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リー微分の導出方法(ベクトルと1形式)
=========================================================...
最近、リー微分を勉強していたのですが、
ベクトルと一形式の両方を素直な方法で求めている本が無かっ...
下に挙げる参考文献 理論物理学のための幾何学とトポロジーI ...
この記事を読むといいと思います。
ベクトルのリー微分
=========================
ベクトルのリー微分の定義は、
<tex>
\mathcal{L}_X Y = \lim_{\varepsilon \to 0} \dfrac{1}{\var...
</tex>
です。
直感的なイメージは、曲面上に滑らかなベクトル場 $X(s)$ ( $...
ここで $X$ に沿って微小量 $s=\varepsilon$ だけ進める操作...
ここで、両者の微分を考えるわけです。しかし、ベクトル $Y$ ...
よって、その補正を $(\sigma_{-\varepsilon})_*$ で行う訳で...
これは簡単に言うと、 $\sigma_{\varepsilon(x)}$ のベクトル...
それを踏まえて、式 $(1)$ を計算します。
<tex>
Y|_{\sigma_\varepsilon(x)} &= Y^\mu (x^\nu + \varepsilon ...
&\simeq \left[ Y^\mu + \varepsilon X^\nu (\partial_\nu Y^...
</tex>
ここで $Y^\mu (x^\nu + \varepsilon X^\nu )$ のカッコは引...
また $\simeq$ を使いましたが、以降では $\varepsilon$ の二...
では、基底ベクトルを変換しましょう。先にある( $s$ の大き...
<tex>
(\sigma_{-\varepsilon})_* e_\mu|_{x + \varepsilon X} = \p...
</tex>
式 $(2)$ と $(3)$ を合わせて、リー微分を求めましょう。
<tex>(\sigma_{-\varepsilon})_* Y|_{\sigma_\varepsilon(x)}...
&= \left[ Y^\mu + \varepsilon X^\nu (\partial_\nu Y^\mu) ...
&= \left[ Y^\mu + \varepsilon X^\lambda (\partial_\lambda...
&= Y^\mu e_\mu|_x + \varepsilon \left[ X^\lambda (\partia...
&= Y^\mu e_\mu|_x + \varepsilon \left[ X^\mu (\partial_\m...
</tex>
ですから、
<tex>
\mathcal{L}_X Y = \left[ X^\mu (\partial_\mu Y^\nu) - Y^\...
</tex>
となります。ちなみに $(\partial X)$ は偏微分がカッコの外...
1形式のリー微分
=========================
自分が調べた限りでは、多くの文献では内部積と言う概念を用...
2形式、3形式などへの拡張が容易だからです。参考文献では...
1形式のリー微分の定義は、
<tex>
\mathcal{L}_X \omega = \lim_{\varepsilon \to 0} \dfrac{1}...
</tex>
です。
引き戻しと言う概念を必要とします。
今回使う形は、 $(\sigma_\varepsilon)^*$ です。微分写像と...
微分写像はベクトルに作用します。一方、引き戻しは1形式に...
"引き戻しの定義"は、
<tex>
\langle \sigma^* \omega \ , \ Y \rangle = \langle \omega ...
</tex>
を満たす演算です。ここで、 $\langle , \rangle$ は内積です。
内積は対応する(同一点から伸びる)双対空間のペアで行われ...
を代入します。すると、式 $(7)$ の右辺は、
<tex>
&\langle e^\mu|_{x + \varepsilon X} \ , \ (\sigma_\vareps...
&= e^\mu|_{x + \varepsilon X} \partial_\nu (x^\lambda + \...
&= \delta_\lambda^\mu \partial_\nu (x^\lambda + \varepsil...
&= \partial_\nu (x^\mu + \varepsilon X^\mu) \\
&= \partial_\lambda (x^\mu + \varepsilon X^\mu) \delta^\l...
&= \partial_\lambda (x^\mu + \varepsilon X^\mu) e^\lambda...
&= \langle(\sigma_\varepsilon)^* e^\mu|_{x + \varepsilon ...
</tex>
と、式 $(7)$ の左辺にたどり着けることが分かります。ここで...
<tex>
(\sigma_{\varepsilon})^* e^\mu|_{x + \varepsilon X} = \pa...
</tex>
が言えました。リー微分は次の計算から求まります。
<tex>
(\sigma_{\varepsilon})^* \omega|_{\sigma_\varepsilon(x)} ...
&= \left[ \omega_\mu + \varepsilon X^\lambda(\partial_\la...
&= \left[ \omega_\mu + \varepsilon X^\lambda(\partial_\la...
&= \omega_\mu \delta_\nu^\mu e^\nu|_x + \varepsilon X^\la...
&= \omega_\mu e^\mu|_x + \varepsilon \left[ X^\nu(\partia...
</tex>
となることから、
<tex>
\mathcal{L}_X \omega = \left[ X^\nu(\partial_\nu \omega_\...
となります。
おまけ
=====================
ここで使った、ベクトルの変換について、少し補足を書いてお...
<tex>
(\sigma_{-\varepsilon})_\ast e_\nu|_{x + \varepsilon X} &...
(\sigma_{\varepsilon})^\ast e^\mu|_{x + \varepsilon X} &=...
</tex>
でした。行列として考えるなら、 $(\sigma_{-\varepsilon})_\...
実際、
<tex>
&\langle (\sigma_{\varepsilon})^\ast e^\mu|_{x + \varepsi...
&= e^\kappa|_{x} (\delta_\kappa^\mu + \varepsilon \partia...
&= \delta_\lambda^\kappa (\delta_\kappa^\mu + \varepsilon...
&= \delta_\kappa^\mu \delta_\lambda^\kappa \delta_\nu^\la...
&= \delta_\nu^\mu + \varepsilon \partial_\nu X^\mu - \var...
&= \delta_\nu^\mu \\
&= \langle e^\mu|_{x + \varepsilon X} \ , \ e_\nu|_{x + \...
となります。ここでも、 $e^\mu|_x$ と $e_\nu|_x$ は双対ベ...
最初と最後から、 $(\sigma_{\varepsilon})^\ast (\sigma_{-\...
今日はここまで。お疲れさまでした。
@@reference: 中原幹夫,理論物理学のための幾何学とトポロジ...
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-04-02@@
@@category:微分・位相幾何学@@
@@id:lieDerivative@@
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リー微分の導出方法(ベクトルと1形式)
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最近、リー微分を勉強していたのですが、
ベクトルと一形式の両方を素直な方法で求めている本が無かっ...
下に挙げる参考文献 理論物理学のための幾何学とトポロジーI ...
この記事を読むといいと思います。
ベクトルのリー微分
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ベクトルのリー微分の定義は、
<tex>
\mathcal{L}_X Y = \lim_{\varepsilon \to 0} \dfrac{1}{\var...
</tex>
です。
直感的なイメージは、曲面上に滑らかなベクトル場 $X(s)$ ( $...
ここで $X$ に沿って微小量 $s=\varepsilon$ だけ進める操作...
ここで、両者の微分を考えるわけです。しかし、ベクトル $Y$ ...
よって、その補正を $(\sigma_{-\varepsilon})_*$ で行う訳で...
これは簡単に言うと、 $\sigma_{\varepsilon(x)}$ のベクトル...
それを踏まえて、式 $(1)$ を計算します。
<tex>
Y|_{\sigma_\varepsilon(x)} &= Y^\mu (x^\nu + \varepsilon ...
&\simeq \left[ Y^\mu + \varepsilon X^\nu (\partial_\nu Y^...
</tex>
ここで $Y^\mu (x^\nu + \varepsilon X^\nu )$ のカッコは引...
また $\simeq$ を使いましたが、以降では $\varepsilon$ の二...
では、基底ベクトルを変換しましょう。先にある( $s$ の大き...
<tex>
(\sigma_{-\varepsilon})_* e_\mu|_{x + \varepsilon X} = \p...
</tex>
式 $(2)$ と $(3)$ を合わせて、リー微分を求めましょう。
<tex>(\sigma_{-\varepsilon})_* Y|_{\sigma_\varepsilon(x)}...
&= \left[ Y^\mu + \varepsilon X^\nu (\partial_\nu Y^\mu) ...
&= \left[ Y^\mu + \varepsilon X^\lambda (\partial_\lambda...
&= Y^\mu e_\mu|_x + \varepsilon \left[ X^\lambda (\partia...
&= Y^\mu e_\mu|_x + \varepsilon \left[ X^\mu (\partial_\m...
</tex>
ですから、
<tex>
\mathcal{L}_X Y = \left[ X^\mu (\partial_\mu Y^\nu) - Y^\...
</tex>
となります。ちなみに $(\partial X)$ は偏微分がカッコの外...
1形式のリー微分
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自分が調べた限りでは、多くの文献では内部積と言う概念を用...
2形式、3形式などへの拡張が容易だからです。参考文献では...
1形式のリー微分の定義は、
<tex>
\mathcal{L}_X \omega = \lim_{\varepsilon \to 0} \dfrac{1}...
</tex>
です。
引き戻しと言う概念を必要とします。
今回使う形は、 $(\sigma_\varepsilon)^*$ です。微分写像と...
微分写像はベクトルに作用します。一方、引き戻しは1形式に...
"引き戻しの定義"は、
<tex>
\langle \sigma^* \omega \ , \ Y \rangle = \langle \omega ...
</tex>
を満たす演算です。ここで、 $\langle , \rangle$ は内積です。
内積は対応する(同一点から伸びる)双対空間のペアで行われ...
を代入します。すると、式 $(7)$ の右辺は、
<tex>
&\langle e^\mu|_{x + \varepsilon X} \ , \ (\sigma_\vareps...
&= e^\mu|_{x + \varepsilon X} \partial_\nu (x^\lambda + \...
&= \delta_\lambda^\mu \partial_\nu (x^\lambda + \varepsil...
&= \partial_\nu (x^\mu + \varepsilon X^\mu) \\
&= \partial_\lambda (x^\mu + \varepsilon X^\mu) \delta^\l...
&= \partial_\lambda (x^\mu + \varepsilon X^\mu) e^\lambda...
&= \langle(\sigma_\varepsilon)^* e^\mu|_{x + \varepsilon ...
</tex>
と、式 $(7)$ の左辺にたどり着けることが分かります。ここで...
<tex>
(\sigma_{\varepsilon})^* e^\mu|_{x + \varepsilon X} = \pa...
</tex>
が言えました。リー微分は次の計算から求まります。
<tex>
(\sigma_{\varepsilon})^* \omega|_{\sigma_\varepsilon(x)} ...
&= \left[ \omega_\mu + \varepsilon X^\lambda(\partial_\la...
&= \left[ \omega_\mu + \varepsilon X^\lambda(\partial_\la...
&= \omega_\mu \delta_\nu^\mu e^\nu|_x + \varepsilon X^\la...
&= \omega_\mu e^\mu|_x + \varepsilon \left[ X^\nu(\partia...
</tex>
となることから、
<tex>
\mathcal{L}_X \omega = \left[ X^\nu(\partial_\nu \omega_\...
となります。
おまけ
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ここで使った、ベクトルの変換について、少し補足を書いてお...
<tex>
(\sigma_{-\varepsilon})_\ast e_\nu|_{x + \varepsilon X} &...
(\sigma_{\varepsilon})^\ast e^\mu|_{x + \varepsilon X} &=...
</tex>
でした。行列として考えるなら、 $(\sigma_{-\varepsilon})_\...
実際、
<tex>
&\langle (\sigma_{\varepsilon})^\ast e^\mu|_{x + \varepsi...
&= e^\kappa|_{x} (\delta_\kappa^\mu + \varepsilon \partia...
&= \delta_\lambda^\kappa (\delta_\kappa^\mu + \varepsilon...
&= \delta_\kappa^\mu \delta_\lambda^\kappa \delta_\nu^\la...
&= \delta_\nu^\mu + \varepsilon \partial_\nu X^\mu - \var...
&= \delta_\nu^\mu \\
&= \langle e^\mu|_{x + \varepsilon X} \ , \ e_\nu|_{x + \...
となります。ここでも、 $e^\mu|_x$ と $e_\nu|_x$ は双対ベ...
最初と最後から、 $(\sigma_{\varepsilon})^\ast (\sigma_{-\...
今日はここまで。お疲れさまでした。
@@reference: 中原幹夫,理論物理学のための幾何学とトポロジ...
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-04-02@@
@@category:微分・位相幾何学@@
@@id:lieDerivative@@
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