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=========================================================...
リー環の随伴表現とは
=========================================================...
リー環とは
================
リー環、もしくは、同じものですがリー代数 $X_a$ において、...
次の様に定めます。
<tex>
[X_a,X_b] = i f_{ab}^{ \ \ c} X_c \tag{##}
</tex>
ここで、 $i$ は虚数単位で、交換子は $[X_a,X_b] = X_a X_b ...
また、アインシュタインの縮約規則を用いて、 $c$ は全ての元...
リー環というと、特定の代数演算の関係が決められた抽象的な
代数ですが、それと同じ関係を満たす行列で具体的に表すこと...
その代数の行列化をリー環の「表現」と言います。
表現にはいろいろな種類がありますが、その中で今回は随伴表...
ここで、 $\rho(X_a)$ は表現(行列)で $\rho(X_a)_b^{ \ \ ...
不思議な事にこれは元のリー環の一つの表現になっているので...
ヤコビ積
=================
リー環には、交換子からなるヤコビ恒等式があります。
それは、
<tex>
Z = [X_a,[X_b,X_c]] + [X_a,[X_b,X_c]] + [X_a,[X_b,X_c]] =...
</tex>
という任意のリー環に対して恒等的に成り立つ関係式です。
ただし、右辺の $0$ はリー環のゼロ元です。
この関係は、実際に行列を持ち出すことなく、
代数的に展開してやれば、確認できます。
さて、式 $(2)$ を式 $(1)$ の関係を用いて、
変形していきましょう。
<tex>
[X_a,[X_b,X_c]]
&= [X_a,i f_{bc}^{ \ \ d} X_d] \\
&= i f_{bc}^{ \ \ d} [X_a,X_d] \\
&= i^2 f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} X_e \\
&= - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} X_e
\tag{##}
</tex>
の様に計算していくと、ヤコビ恒等式は、
<tex>
Z = - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} X_e - f_{ab}^{ \ \ ...
\tag{##}
</tex>
ここで、任意の $e$ に対して、上式は成立するので、 $X_e$ ...
<tex>
Z^\prime = - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} - f_{ab}^{ \...
\tag{##}
</tex>
随伴表現
==============
さて、随伴表現との対応を見てみましょう。
<tex>
\rho(X_a)_b^{ \ c} = - i f_{ab}^{ \ \ c}
\tag{##}
</tex>
の様に決めると、式 $(5)$ は、
<tex>
Z^\prime
&= - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} - f_{ab}^{ \ \ d} f_...
&= (-i f_{bc}^{ \ \ d})(-i f_{ad}^{ \ \ e}) + (-i f_{ab}^...
&= \rho(X_b)_c^{ \ d} \rho(X_a)_d^{ \ e} + \rho(X_a)_b^{ ...
\tag{##}
</tex>
ここで全体の符号を反転させて、 $f_{ab}^{ \ \ c} = -f_{ba}...
<tex>
-Z^\prime
&= - \rho(X_b)_c^{ \ d} \rho(X_a)_d^{ \ e} - \rho(X_a)_b^...
&= - \rho(X_b)_c^{ \ d} \rho(X_a)_d^{ \ e} + \rho(X_a)_b^...
&= \rho(X_a)_c^{ \ d} \rho(X_b)_d^{ \ e} - \rho(X_b)_c^...
&= \rho(X_a X_b)_c^{ \ e} - \rho(X_b X_a)_c^{ \ e} -i f...
&= \rho(X_a X_b - X_b X_a)_c^{ \ e} -i f_{ab}^{ \ \ d} ...
&= 0
\tag{##}
</tex>
となり、よって、
<tex>
\rho(X_a X_b - X_b X_a)_c^{ \ e} = i f_{ab}^{ \ \ d} \rho...
\tag{##}
</tex>
ですから、これは、リー環が満たす代数関係
<tex>
[X_a,X_b] = X_a X_b - X_b X_a = i f_{ab}^{ \ \ d} X_d
\tag{##}
</tex>
に対応しています。(単連結な)リー代数の構造は構造定数に...
完全に決定されます。よって、 $\rho(X_a)$ はリー環の表現だ...
具体例(su(2)とso(3))
=====================
最後に具体例として、同じ構造定数を持つ $\mathfrak{su}(2)$...
見て終わりにします。その構造定数は例えば、パウリ行列 $\si...
<tex>
\sigma_1 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\
\sigma_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}...
\sigma_3 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
で、
<tex>
X_1 &= (1/2)\sigma_1 \\
X_2 &= (1/2)\sigma_2 \\
X_3 &= (1/2)\sigma_3
\tag{##}
</tex>
とすれば、
<tex>
[X_1,X_2] &= i X_3 \\
[X_2,X_3] &= i X_1 \\
[X_3,X_1] &= i X_2
\tag{##}
</tex>
より、ゼロにならないのは、
<tex>
f_{12}^{ \ \ 3} &= f_{23}^{ \ \ 1} = f_{31}^{ \ \ 2} = 1 \\
f_{13}^{ \ \ 2} &= f_{21}^{ \ \ 3} = f_{32}^{ \ \ 1} = -1
\tag{##}
</tex>
と分かるので、随伴表現の行列 $J_a$ は、
<tex>
J_1
&= \begin{pmatrix} -if_{11}^{ \ \ 1} & -if_{11}^{ \ \ 2} ...
= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \e...
J_2 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 &...
J_3 &= \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 &...
</tex>
より、随伴表現が表現として成立しているか確かめると、
確かに例えば、
<tex>
J_1 J_2 - J_2 J_1
&=
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \...
\begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \...
-\begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \...
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \...
&= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \...
&= i J_3
\tag{##}
</tex>
となり、確かに元のリー代数と同じ構造定数を持つ表現になっ...
@@reference: ジョージアィ著 九後汰一郎訳,物理学における...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-01-21@@
@@category:微分・位相幾何学@@
@@id:adjointRep@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
リー環の随伴表現とは
=========================================================...
リー環とは
================
リー環、もしくは、同じものですがリー代数 $X_a$ において、...
次の様に定めます。
<tex>
[X_a,X_b] = i f_{ab}^{ \ \ c} X_c \tag{##}
</tex>
ここで、 $i$ は虚数単位で、交換子は $[X_a,X_b] = X_a X_b ...
また、アインシュタインの縮約規則を用いて、 $c$ は全ての元...
リー環というと、特定の代数演算の関係が決められた抽象的な
代数ですが、それと同じ関係を満たす行列で具体的に表すこと...
その代数の行列化をリー環の「表現」と言います。
表現にはいろいろな種類がありますが、その中で今回は随伴表...
ここで、 $\rho(X_a)$ は表現(行列)で $\rho(X_a)_b^{ \ \ ...
不思議な事にこれは元のリー環の一つの表現になっているので...
ヤコビ積
=================
リー環には、交換子からなるヤコビ恒等式があります。
それは、
<tex>
Z = [X_a,[X_b,X_c]] + [X_a,[X_b,X_c]] + [X_a,[X_b,X_c]] =...
</tex>
という任意のリー環に対して恒等的に成り立つ関係式です。
ただし、右辺の $0$ はリー環のゼロ元です。
この関係は、実際に行列を持ち出すことなく、
代数的に展開してやれば、確認できます。
さて、式 $(2)$ を式 $(1)$ の関係を用いて、
変形していきましょう。
<tex>
[X_a,[X_b,X_c]]
&= [X_a,i f_{bc}^{ \ \ d} X_d] \\
&= i f_{bc}^{ \ \ d} [X_a,X_d] \\
&= i^2 f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} X_e \\
&= - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} X_e
\tag{##}
</tex>
の様に計算していくと、ヤコビ恒等式は、
<tex>
Z = - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} X_e - f_{ab}^{ \ \ ...
\tag{##}
</tex>
ここで、任意の $e$ に対して、上式は成立するので、 $X_e$ ...
<tex>
Z^\prime = - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} - f_{ab}^{ \...
\tag{##}
</tex>
随伴表現
==============
さて、随伴表現との対応を見てみましょう。
<tex>
\rho(X_a)_b^{ \ c} = - i f_{ab}^{ \ \ c}
\tag{##}
</tex>
の様に決めると、式 $(5)$ は、
<tex>
Z^\prime
&= - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} - f_{ab}^{ \ \ d} f_...
&= (-i f_{bc}^{ \ \ d})(-i f_{ad}^{ \ \ e}) + (-i f_{ab}^...
&= \rho(X_b)_c^{ \ d} \rho(X_a)_d^{ \ e} + \rho(X_a)_b^{ ...
\tag{##}
</tex>
ここで全体の符号を反転させて、 $f_{ab}^{ \ \ c} = -f_{ba}...
<tex>
-Z^\prime
&= - \rho(X_b)_c^{ \ d} \rho(X_a)_d^{ \ e} - \rho(X_a)_b^...
&= - \rho(X_b)_c^{ \ d} \rho(X_a)_d^{ \ e} + \rho(X_a)_b^...
&= \rho(X_a)_c^{ \ d} \rho(X_b)_d^{ \ e} - \rho(X_b)_c^...
&= \rho(X_a X_b)_c^{ \ e} - \rho(X_b X_a)_c^{ \ e} -i f...
&= \rho(X_a X_b - X_b X_a)_c^{ \ e} -i f_{ab}^{ \ \ d} ...
&= 0
\tag{##}
</tex>
となり、よって、
<tex>
\rho(X_a X_b - X_b X_a)_c^{ \ e} = i f_{ab}^{ \ \ d} \rho...
\tag{##}
</tex>
ですから、これは、リー環が満たす代数関係
<tex>
[X_a,X_b] = X_a X_b - X_b X_a = i f_{ab}^{ \ \ d} X_d
\tag{##}
</tex>
に対応しています。(単連結な)リー代数の構造は構造定数に...
完全に決定されます。よって、 $\rho(X_a)$ はリー環の表現だ...
具体例(su(2)とso(3))
=====================
最後に具体例として、同じ構造定数を持つ $\mathfrak{su}(2)$...
見て終わりにします。その構造定数は例えば、パウリ行列 $\si...
<tex>
\sigma_1 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\
\sigma_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}...
\sigma_3 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
で、
<tex>
X_1 &= (1/2)\sigma_1 \\
X_2 &= (1/2)\sigma_2 \\
X_3 &= (1/2)\sigma_3
\tag{##}
</tex>
とすれば、
<tex>
[X_1,X_2] &= i X_3 \\
[X_2,X_3] &= i X_1 \\
[X_3,X_1] &= i X_2
\tag{##}
</tex>
より、ゼロにならないのは、
<tex>
f_{12}^{ \ \ 3} &= f_{23}^{ \ \ 1} = f_{31}^{ \ \ 2} = 1 \\
f_{13}^{ \ \ 2} &= f_{21}^{ \ \ 3} = f_{32}^{ \ \ 1} = -1
\tag{##}
</tex>
と分かるので、随伴表現の行列 $J_a$ は、
<tex>
J_1
&= \begin{pmatrix} -if_{11}^{ \ \ 1} & -if_{11}^{ \ \ 2} ...
= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \e...
J_2 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 &...
J_3 &= \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 &...
</tex>
より、随伴表現が表現として成立しているか確かめると、
確かに例えば、
<tex>
J_1 J_2 - J_2 J_1
&=
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \...
\begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \...
-\begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \...
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \...
&= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \...
&= i J_3
\tag{##}
</tex>
となり、確かに元のリー代数と同じ構造定数を持つ表現になっ...
@@reference: ジョージアィ著 九後汰一郎訳,物理学における...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-01-21@@
@@category:微分・位相幾何学@@
@@id:adjointRep@@
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