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ラプラス場
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ベクトル場 $\bm{A}$ が、 $\nabla \cdot \bm{A}= 0$ を満た...
<tex>
\nabla \cdot \bm{A} = 0, \ \ \ \nabla \times \bm{A} = \bm...
</tex>
ラプラス場が単連結領域で定義されている場合、この流れは ラ...
<tex>
\bm{A} = \nabla \phi , \ \ \ s.t. \ \ \triangle \phi ...
</tex>
式 $(2)$ で表現される $\bm{A}$ が、式 $(1)$ の条件を両方...
.. [*] 以下の諸性質は、ベクトル場の問題というよりは調和関...
性質1
---------------------------------------------------
閉曲面 $S$ 上で、調和関数 $\phi$ の法線方向の方向微分の、...
<tex>
\int \int \limits _{S} \frac{\partial \phi}{\partial n}dS...
</tex>
この関係は、 ガウスの発散定理_ に $\nabla \phi$ を代入し...
<tex>
\int \int \int \limits _{V} \triangle \phi dV = \int \int...
</tex>
性質2
-----------------------------------------------------
閉曲面 $S$ 上で、二つの調和関数 $\phi , \psi$ に対し グリ...
<tex>
\int \int \limits _{S}\left( \phi \frac{\partial \psi}{\p...
</tex>
これは閉領域で定義された二つの調和関数が満たす関係式とし...
性質3
-----------------------------------------------------------
次の公式を グリーンの定理_ の最後で求めました。
<tex>
\phi (M) = -\frac{1}{4\pi} \int \int \int \limits _{V} \f...
</tex>
この右辺は $\triangle \phi =0$ を代入すると第一項が消えて...
<tex>
\phi (M) = -\frac{1}{4\pi}\int \int \limits _{S} \left[ \...
</tex>
また、式 $(7)$ の曲面 $S$ を点 $M$ を中心とする半径 $\rho...
<tex>
\phi (M) = -\frac{1}{4\pi \rho^{2}}\int \int \limits _{K_...
</tex>
球対称なポテンシャルの分布を考える問題は、割合によく物理...
.. [*] これは著しく美しい調和関数の性質です。例えば、代表...
性質4
---------------------------------------------------------...
調和関数 $\phi$ が領域 $D$ 内で定数関数ではないとすると、...
.. admonition:: proof
例えば、もし $D$ 内の点 $M_{1}$ で $\phi$ が最大値を取っ...
性質5【ディリクレ問題の定理】
---------------------------------------------------------...
.. admonition:: theorem
領域 $V$ の境界は閉曲面 $S$ だとします。調和関数 $\phi$ ...
(式 $(6)$ で $\phi=c$ と置けば示せます。)
性質6
`````````````````````````````````````````````````````````...
.. admonition:: theorem
ラプラス方程式 $\triangle \phi =0$ は、境界 $S$ 上の境界...
.. admonition:: proof
もし $\triangle \phi =0$ が二つの解 $\phi_{1},\phi_{2}$ ...
.. [*] ラプラス方程式 $\triangle \phi =0$ に、境界条件と...
性質7【ノイマン問題の定理】
---------------------------------------------------------...
.. admonition:: theorem
ラプラス方程式 $\triangle \phi =0$ が、境界 $S$ 上で $\f...
.. admonition:: proof
これは、 グリーンの第一定理_ の系 $\int \int \int \limit...
性質8
`````````````````````````````````````````````````````````...
.. admonition:: theorem
ラプラス方程式 $\triangle \phi =0$ の二つの解 $\phi_{1},...
.. admonition:: proof
二解の差 $\phi_{3}= \phi_{1}-\phi_{2}$ の方向微分を取っ...
.. _ラプラス方程式: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _グリーンの第一定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
.. _ガウスの発散定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
.. _グリーンの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: LaplacianField@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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ラプラス場
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ベクトル場 $\bm{A}$ が、 $\nabla \cdot \bm{A}= 0$ を満た...
<tex>
\nabla \cdot \bm{A} = 0, \ \ \ \nabla \times \bm{A} = \bm...
</tex>
ラプラス場が単連結領域で定義されている場合、この流れは ラ...
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\bm{A} = \nabla \phi , \ \ \ s.t. \ \ \triangle \phi ...
</tex>
式 $(2)$ で表現される $\bm{A}$ が、式 $(1)$ の条件を両方...
.. [*] 以下の諸性質は、ベクトル場の問題というよりは調和関...
性質1
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閉曲面 $S$ 上で、調和関数 $\phi$ の法線方向の方向微分の、...
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\int \int \limits _{S} \frac{\partial \phi}{\partial n}dS...
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この関係は、 ガウスの発散定理_ に $\nabla \phi$ を代入し...
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\int \int \int \limits _{V} \triangle \phi dV = \int \int...
</tex>
性質2
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閉曲面 $S$ 上で、二つの調和関数 $\phi , \psi$ に対し グリ...
<tex>
\int \int \limits _{S}\left( \phi \frac{\partial \psi}{\p...
</tex>
これは閉領域で定義された二つの調和関数が満たす関係式とし...
性質3
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次の公式を グリーンの定理_ の最後で求めました。
<tex>
\phi (M) = -\frac{1}{4\pi} \int \int \int \limits _{V} \f...
</tex>
この右辺は $\triangle \phi =0$ を代入すると第一項が消えて...
<tex>
\phi (M) = -\frac{1}{4\pi}\int \int \limits _{S} \left[ \...
</tex>
また、式 $(7)$ の曲面 $S$ を点 $M$ を中心とする半径 $\rho...
<tex>
\phi (M) = -\frac{1}{4\pi \rho^{2}}\int \int \limits _{K_...
</tex>
球対称なポテンシャルの分布を考える問題は、割合によく物理...
.. [*] これは著しく美しい調和関数の性質です。例えば、代表...
性質4
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調和関数 $\phi$ が領域 $D$ 内で定数関数ではないとすると、...
.. admonition:: proof
例えば、もし $D$ 内の点 $M_{1}$ で $\phi$ が最大値を取っ...
性質5【ディリクレ問題の定理】
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.. admonition:: theorem
領域 $V$ の境界は閉曲面 $S$ だとします。調和関数 $\phi$ ...
(式 $(6)$ で $\phi=c$ と置けば示せます。)
性質6
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.. admonition:: theorem
ラプラス方程式 $\triangle \phi =0$ は、境界 $S$ 上の境界...
.. admonition:: proof
もし $\triangle \phi =0$ が二つの解 $\phi_{1},\phi_{2}$ ...
.. [*] ラプラス方程式 $\triangle \phi =0$ に、境界条件と...
性質7【ノイマン問題の定理】
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.. admonition:: theorem
ラプラス方程式 $\triangle \phi =0$ が、境界 $S$ 上で $\f...
.. admonition:: proof
これは、 グリーンの第一定理_ の系 $\int \int \int \limit...
性質8
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.. admonition:: theorem
ラプラス方程式 $\triangle \phi =0$ の二つの解 $\phi_{1},...
.. admonition:: proof
二解の差 $\phi_{3}= \phi_{1}-\phi_{2}$ の方向微分を取っ...
.. _ラプラス方程式: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _グリーンの第一定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
.. _ガウスの発散定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
.. _グリーンの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: LaplacianField@@
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