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#rst2hooktail_source
=========================================================...
ラグランジュの運動方程式
=========================================================...
解析力学には,ラグランジュの運動方程式なるものが登場しま...
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\ri...
</tex>
というものなのですが,これ,いったい何なのでしょうか.
実は,最終的にはニュートンの運動方程式と同じものなのです.
ここでは,ラグランジュの方程式がニュートンの運動方程式と
同等であることを(特殊な場合に限って)簡単に示してみます.
ニュートンの運動方程式
======================
あるポテンシャル $U$ から力を受ける2次元 $(x, y)$ 平面で...
まず,ニュートンの運動方程式ですが
<tex>
m\ddot{x}=F_x, \quad m\ddot{y}=F_y \tag{1}
</tex>
という形をしています.ここで
<tex>
\ddot{x}
</tex>
は,位置 $x$ を時間 $t$ で2階微分したもの,すなわち加速度...
また,ドットが一つなら1階微分です.つまり
<tex>
\dot{x}=\frac{dx}{dt}, \quad
\ddot{x}=\frac{d^2x}{dt^2}
</tex>
です.この表記はどんな変数の時間微分も簡潔に書けるため便...
また,左辺の力 $F$ ですが,ここではポテンシャルから受ける...
ポテンシャル $U$ の偏微分
<tex>
F_x = -\frac{\partial U}{\partial x}, \quad
F_y=-\frac{\partial U}{\partial y}
</tex>
で表せます.したがって,ニュートンの運動方程式(1)は
<tex>
m\ddot{x} = -\frac{\partial U}{\partial x}, \quad
m\ddot{y} = -\frac{\partial U}{\partial y} \tag{2}
</tex>
と書いても同じ事です.これを変形してラグランジュの方程式...
とりあえずこの状況でニュートンの運動方程式とラグランジュ...
ラグランジアン
==============
質点の運動エネルギーを $T$ ,ポテンシャルエネルギーを $U$...
これらの差 $T-U$ なる量はラグランジアンと呼ばれます.運動...
<tex>
T
&= \frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}m\dot{y}^2\\
&= \frac{m}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)
</tex>
で表わせます.これは $\dot{x}$ と $\dot{y}$ の関数です.
関数の変数がなんであるかをハッキリさせたいときは,
<tex>
T = T(\dot{x},\dot{y})
</tex>
のように関数名の後に変数を丸括弧で括ってくっつけておきま...
ポテンシャルエネルギーの具体的な形は様々ですが,
<tex>
U = U(x,y)
</tex>
というふうに $x$ と $y$ の関数であると表すことができます.
したがってラグランジアン $L$ は
<tex>
L
&= T-U\\
&= T(\dot{x},\dot{y}) - U(x,y)\\
&= \frac{m}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right) - U(x,y)
</tex>
です.運動エネルギー $T$ は $ \dot{x}$ と $ \dot{y}$ にの...
ポテンシャルエネルギー $U$ は $x$ と $y$
にのみ依存している形になっているのがポイントです.
このことから,ラグランジアン $L$ を $\dot{x}$ , $ \dot{y}...
$T$ を $\dot{x}$ , $ \dot{y}$ で偏微分したものに等しくな...
<tex>
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}
= \frac{\partial T}{\partial \dot{x}}
= m\dot{x}
, \quad
\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}
= \frac{\partial T}{\partial \dot{y}}
= m\dot{y}
</tex>
です.同様に,「ラグランジアンを $x, y$ で偏微分したもの」
は「 $-U$ を $x,y$ で偏微分したもの」に等しくなります.
<tex>
\frac{\partial L}{\partial x}
= -\frac{\partial U}{\partial x}
,\quad
\frac{\partial L}{\partial y}
= -\frac{\partial U}{\partial y}
</tex>
ニュートンの運動方程式とラグランジュの運動方程式
================================================
いま示そうとしていることは,ニュートンの運動方程式(再掲)
<tex>
m\ddot{x} = -\frac{\partial U}{\partial x}
, \quad
m\ddot{y} = -\frac{\partial U}{\partial y} \tag{2}
</tex>
がラグランジュの方程式と同等であるということです. $x$ に...
<tex>
m\ddot{x} = -\frac{\partial U}{\partial x} \tag{3}
</tex>
に着目してみましょう.式(3)の左辺の $m\ddot{x}$
というのは $m\dot{x}$ を時間 $t$ で1階微分したものです.
$m\dot{x}$ はラグランジアン $L$ を $ \dot{x}$ で偏微分し...
<tex>
m\ddot{x} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial...
</tex>
と表すことができます.式(3)の右辺は,ラグランジアン $L$ ...
<tex>
-\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial L}{\part...
</tex>
式(4),(5)を式(3)の運動方程式に代入すると
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\ri...
</tex>
移項して
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\ri...
</tex>
となり, $y$ の式についても同様ですから,運動方程式は結局
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\ri...
- \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = 0
, \quad
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\ri...
- \frac{\partial L}{\partial x} = 0
</tex>
という形に書き直せることになります.これは最初に示したラ...
ラグランジュの方程式の利点
==========================
以上の例(位置に比例するポテンシャルと,運動エネルギーを...
ニュートンの運動方程式とは別にラグランジュの方程式なるも...
それらは結局,同等なものになっています(そうじゃなきゃ困...
さて,わざわざ別の基礎方程式を導入したからには,なにか利...
それは,加速度を直接方程式に含めなくてよい,という点が大...
運動方程式を立てる座標系は,直線座標の場合もあれば,
曲線であったり角度を変数としている場合もあります.
普通,時間についての2階微分である加速度を,このように様々...
ラグランジュの方程式はラグランジアンさえ分かれば立てるこ...
そしてラグランジアンに加速度は含まれていません.
ラグランジュの方程式はどのような座標系でも同じ形になると...
@@author: 崎間@@
@@accept: 2002-03-19@@
@@category: 解析力学@@
@@id:equationOfLagrange@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
ラグランジュの運動方程式
=========================================================...
解析力学には,ラグランジュの運動方程式なるものが登場しま...
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\ri...
</tex>
というものなのですが,これ,いったい何なのでしょうか.
実は,最終的にはニュートンの運動方程式と同じものなのです.
ここでは,ラグランジュの方程式がニュートンの運動方程式と
同等であることを(特殊な場合に限って)簡単に示してみます.
ニュートンの運動方程式
======================
あるポテンシャル $U$ から力を受ける2次元 $(x, y)$ 平面で...
まず,ニュートンの運動方程式ですが
<tex>
m\ddot{x}=F_x, \quad m\ddot{y}=F_y \tag{1}
</tex>
という形をしています.ここで
<tex>
\ddot{x}
</tex>
は,位置 $x$ を時間 $t$ で2階微分したもの,すなわち加速度...
また,ドットが一つなら1階微分です.つまり
<tex>
\dot{x}=\frac{dx}{dt}, \quad
\ddot{x}=\frac{d^2x}{dt^2}
</tex>
です.この表記はどんな変数の時間微分も簡潔に書けるため便...
また,左辺の力 $F$ ですが,ここではポテンシャルから受ける...
ポテンシャル $U$ の偏微分
<tex>
F_x = -\frac{\partial U}{\partial x}, \quad
F_y=-\frac{\partial U}{\partial y}
</tex>
で表せます.したがって,ニュートンの運動方程式(1)は
<tex>
m\ddot{x} = -\frac{\partial U}{\partial x}, \quad
m\ddot{y} = -\frac{\partial U}{\partial y} \tag{2}
</tex>
と書いても同じ事です.これを変形してラグランジュの方程式...
とりあえずこの状況でニュートンの運動方程式とラグランジュ...
ラグランジアン
==============
質点の運動エネルギーを $T$ ,ポテンシャルエネルギーを $U$...
これらの差 $T-U$ なる量はラグランジアンと呼ばれます.運動...
<tex>
T
&= \frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}m\dot{y}^2\\
&= \frac{m}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)
</tex>
で表わせます.これは $\dot{x}$ と $\dot{y}$ の関数です.
関数の変数がなんであるかをハッキリさせたいときは,
<tex>
T = T(\dot{x},\dot{y})
</tex>
のように関数名の後に変数を丸括弧で括ってくっつけておきま...
ポテンシャルエネルギーの具体的な形は様々ですが,
<tex>
U = U(x,y)
</tex>
というふうに $x$ と $y$ の関数であると表すことができます.
したがってラグランジアン $L$ は
<tex>
L
&= T-U\\
&= T(\dot{x},\dot{y}) - U(x,y)\\
&= \frac{m}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right) - U(x,y)
</tex>
です.運動エネルギー $T$ は $ \dot{x}$ と $ \dot{y}$ にの...
ポテンシャルエネルギー $U$ は $x$ と $y$
にのみ依存している形になっているのがポイントです.
このことから,ラグランジアン $L$ を $\dot{x}$ , $ \dot{y}...
$T$ を $\dot{x}$ , $ \dot{y}$ で偏微分したものに等しくな...
<tex>
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}
= \frac{\partial T}{\partial \dot{x}}
= m\dot{x}
, \quad
\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}
= \frac{\partial T}{\partial \dot{y}}
= m\dot{y}
</tex>
です.同様に,「ラグランジアンを $x, y$ で偏微分したもの」
は「 $-U$ を $x,y$ で偏微分したもの」に等しくなります.
<tex>
\frac{\partial L}{\partial x}
= -\frac{\partial U}{\partial x}
,\quad
\frac{\partial L}{\partial y}
= -\frac{\partial U}{\partial y}
</tex>
ニュートンの運動方程式とラグランジュの運動方程式
================================================
いま示そうとしていることは,ニュートンの運動方程式(再掲)
<tex>
m\ddot{x} = -\frac{\partial U}{\partial x}
, \quad
m\ddot{y} = -\frac{\partial U}{\partial y} \tag{2}
</tex>
がラグランジュの方程式と同等であるということです. $x$ に...
<tex>
m\ddot{x} = -\frac{\partial U}{\partial x} \tag{3}
</tex>
に着目してみましょう.式(3)の左辺の $m\ddot{x}$
というのは $m\dot{x}$ を時間 $t$ で1階微分したものです.
$m\dot{x}$ はラグランジアン $L$ を $ \dot{x}$ で偏微分し...
<tex>
m\ddot{x} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial...
</tex>
と表すことができます.式(3)の右辺は,ラグランジアン $L$ ...
<tex>
-\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial L}{\part...
</tex>
式(4),(5)を式(3)の運動方程式に代入すると
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\ri...
</tex>
移項して
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\ri...
</tex>
となり, $y$ の式についても同様ですから,運動方程式は結局
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\ri...
- \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = 0
, \quad
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\ri...
- \frac{\partial L}{\partial x} = 0
</tex>
という形に書き直せることになります.これは最初に示したラ...
ラグランジュの方程式の利点
==========================
以上の例(位置に比例するポテンシャルと,運動エネルギーを...
ニュートンの運動方程式とは別にラグランジュの方程式なるも...
それらは結局,同等なものになっています(そうじゃなきゃ困...
さて,わざわざ別の基礎方程式を導入したからには,なにか利...
それは,加速度を直接方程式に含めなくてよい,という点が大...
運動方程式を立てる座標系は,直線座標の場合もあれば,
曲線であったり角度を変数としている場合もあります.
普通,時間についての2階微分である加速度を,このように様々...
ラグランジュの方程式はラグランジアンさえ分かれば立てるこ...
そしてラグランジアンに加速度は含まれていません.
ラグランジュの方程式はどのような座標系でも同じ形になると...
@@author: 崎間@@
@@accept: 2002-03-19@@
@@category: 解析力学@@
@@id:equationOfLagrange@@
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